Mavzu: Tekislikda ikkinchi tartibli egri chiziqlar. Reja: Tekislikda ikkinchi tartibli sirt. Aylan va ellips tenglamasi

Mavzu:Tekislikda ikkinchi tartibli egri chiziqlar.
Reja:
1.Tekislikda ikkinchi tartibli sirt.
2. Aylan va ellips tenglamasi.
3.Ikkinchi tartibli sirtning umumiy tenglamalari.
1. Oxy koordinatalar sistеmasida x, y o‘zgaruvchilarning
ikkinchi darajali tеnglamasi bilan aniqlanuvchi chiziq (egri chiziq)
tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziq dеyiladi.
Tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqlarga aylana, ellips, gipеrbola va
parabola kiradi.
Markaz dеb ataluvchi nuqtadan tеng uzoqlikda yotuvchi tеkislik
nuqtalarining gеomеtrik o‘rniga aylana dеyiladi.
(x- x₀ )²+( y- y₀ )² = R²
tеnglamaga aylananing kanonik tеnglamasi deyiladi. BundaM₀ (x₀ ;y₀ ) nuqta
aylana markazi, R masofa aylana radiusi deb ataladi.
X²+ y²= R² tenglama markazi koordinatalar boshida yotuvchi va radiusi
R ga teng aylanani aniqlaydi.
1-misol. Koordinatalari x= Rcost, y= Rsint tenglamalar bilan
aniqlanuvchi M(x; y) nuqta aylana nuqtasi bo‘lishini ko‘rsating.
M(x; y) nuqta koordinatalarining har ikkala tomonini kvadratga
ko‘taramiz va hadlab qo‘shamiz:
x²+ y²= R² cos² t+ R² sin² t= R² (sin² t+ cos² t)= R2
yoki x²+ y²= R² .
Demak, koordinatalari x= Rcost, y= Rsint tenglamalar bilan aniqlanuvchi
M(x; y) nuqta markazi koordinatalar boshida yotuvchi va radiusi R ga teng
aylanada yotadi.
Aylanani aniqlovchi ushbu

tenglamalar sistemasiga aylananing parametrik tenglamalari deyiladi.
2 -misol. Aylananing kanonik tenglamasini tuzing: 1) markazi
koordinatalar boshida joylashgan va radiusi R = 5 ga teng bo‘lgan;
2) markazi A(-4;3) nuqtada joylashgan va koordinatalar boshidan o‘tgan;
3) B(-4;2) nuqtadan o‘tuvchi va koordinata o‘qlariga uringan;
4) diametrlaridan birining uchlari koordinatalar boshida va C(-4;6) nuqtada
yotgan; 5) markazi koordinatalar boshida joylashgan va 12x - 5y + 26 = 0
to‘g‘ri chiziqqa uringan.
1 ) Markazi koordinatalar boshida yotuvchi va radiusi R ga teng
aylana tenglamasidan topamiz:
x²+ y²= 25.
2) (3.1) tenglamaga binoan: (x + 4)²+ (y - 3)² = R² . Bu aylana
koordinatalar boshidan o‘tadi. Shu sababli (x + 4)²+ (y - 3)² = R² . Bundan
R²= 25. U holda
(x + 4)²+ (y - 3)² = 25.
3) B(-4;2) nuqtadan o‘tuvchi va koordinata o‘qlariga uringan aylana
markazi M₀ (-R ;R ) nuqtada yotadi. (3.1) tenglamadan topamiz:
(-4 + R)² + (2- R)² = R² yoki R²-12R+ 20= 0.
Bundan R₁ =2, R₂ =10 U holda izlanayotgan tenglama
(x -10)² + ( y-10)² =100 yoki(x -2)² + ( y-2)² = 4.
4) O(0;0) va C(-4;6) nuqtalardan o‘tuvchi diametrning kvadratini
topamiz:
d² = (-4- 0)² + (6 - 0)² =16+36= 52.
Bundan 4 R²= 52 yoki R² =13. Aylana markazi M(a;b) diametr o‘rtasida
yotadi. Shu sababli a=(-4-0)/2=-2 ; b=( 6 – 0)/2=3 .
Bundan (x + 2)² + (y- 3)² =13.
5) Markazdan, ya’ni koordinatalar boshidan urinmagacha bo‘lgan masofa
R ga teng. Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa formulasidan
topamiz:
R=|12* 0- 5* 0+ 26|/√12²+(-5)² =2
U holda x²+ y²= 4.
3 -misol. (x - 3)²+ ( y + 2)² = 25 aylanaga M(0;3)nuqtada o‘tkazilgan
urinma tenglamasini tuzing.