Maxsus funksiyalar Reja

Maxsus funksiyalar 

Reja: 

1. 

Lejandr polinomi 

2. 

Chebishev-Ermit polinomi 

3. 

Chebishev-Lagerr polinomi 

4. 

Gamma funksiya 

 

Kvant mexanikasi, atom fizikasi va nazariy fizikada 

0











cW

W

b

W

a

 

ko’rinishdagi tenglamalarni yechishga to’g’ri keladi va ularning yechimlari maxsus funksiyalar 

deyiladi. Bunday tenglamalarning birinchisi. 

)

1

(

0

2

2

)

1

(

2













W

W

x

W

x

 

ko’rinishda bo’lib, Lejandr tenglamasi deyiladi. Bu tenglamani yechimini 











0

)

2

(

n

n

n

x

a

W

 

 ko’rinishda  qidiramiz.  Noma’lum  a

n

  larni  topish  uchun  hosilalar  olib,  (1)  tenglamaga  oborib 

qo’yamiz. 

























.

)

1

(

.

2

1

n

n

n

n

x

n

n

a

W

nx

a

W

 



























0

2

)

1

(

)

1

(

2

n

n

n

n

n

n

n

n

x

a

nx

a

x

n

n

a

x

n

n

a



 

























.

0

2

)

1

(

)

2

(

)

1

(

2

n

n

n

n

n

n

n

n

x

a

x

n

a

x

n

n

a

x

n

n

a



 





.

0

)

)

1

(

(

)

2

)(

1

(

2

















n

n

n

x

n

n

a

n

n

a



 

Bu yerdan 

.

)

2

)(

1

(

)

1

(

2

n

n

a

n

n

n

n

a

















 

 

Bu formula noma’lum koeffisientlarni topish uchun rekkurent formula deyiladi. 

 

a

0 

nolga teng bo’lganda barcha juft hadlar, 

 

a

1

 nolga teng bo’lganda barcha toq hadlar nolga aylanadi. 

 

Bu hadlarni topib (2) ifodaga qo’ysak, (1) tenglamaning yechimi 

).

3

(

)

1

(

!

2

1

)

(

)

(

2

n

n

n

n

n

x

dx

d

n

x

P

x

W









 

ko’rinishda  bo’ladi.  Bu  funksiyalar  Lejandr  polinomlari  deyiladi.  Poli  –ko’phad  ma’nosini 

bildiradi. 

Lejandr  polinomlari  vodorodsimon  atomlar  to’lqin  funksiyalarining  burchak  qismlarini 

tavsiflashda ishlatiladi. 

   Dastlabki nomerli Lejandr polinomlarini hisoblaymiz. 

 

Misol.   

.

1

)

1

(

!

0

2

1

)

(

0

2

0

0

0

0







x

dx

d

x

P

 

.

)

1

(

!

1

2

1

)

(

1

2

1

1

1

1

x

x

dx

d

x

P







 

 

Tenglamalarning 2-chisi 

)

4

(

0

2











W

W

x

W



 

ko’rinishda  bo’lib,  Chebishev-  Ermit  tenglamasi  deyiladi,  bu  tenglama  yechimini  ham  (2) 

ko’rinishda qidiramiz. Hosilalarni olib, tenglamaga qo’yib noma’lumlarni topsak, tenglamaning 

yechimi 

)

5

(

)

1

(

)

(

)

(

2

2

x

n

n

x

n

n

e

dx

d

e

x

H

x

W











 

ko’rinishda bo’ladi. Bu formula Chebishev – Ermit polinomlari deyiladi.  

Chebishev  –  Ermit  polinomlari  garmonik  ossilyatorning  to’lqin  funksiyalarini  tavsiflashda 

ishlatiladi. 

Misol 

1) 

1

)

1

(

)

(

2

2

0

0

0

0











x

x

e

dx

d

e

x

H

 

2) 

x

e

dx

d

e

x

H

x

x

2

)

1

(

)

(

2

2

1

1

1

1











 

 

Tenglamalarning 3-chi ko’rinishi quyidagicha , 

).

6

(

0

)

1

(













W

W

x

W

x



 

Chebishev – Lagerr tenglamasi deyiladi. 

 

Yuqoridagi amallarni bajargandan keyin tenglamaning yechimi 

).

7

(

)

(

)

(

)

(

x

n

n

n

x

n

e

x

dx

d

e

x

L

x

W













 

ko’rinishda bo’ladi. Bu Chebishev – Lagerr  polinomlari deyiladi. 

Chebishev – Lagerr polinomlari vodorodsimon atomlar to’lqin funksiyalarining radial qismlarini 

tavsiflashda ishlatiladi. 

Misol 

1) 

1

)

(

)

(

0

0

0

0













x

x

e

x

dx

d

e

x

L

 

2) 

x

e

x

dx

d

e

x

L

x

x















1

)

(

)

(

1

1

1

1

 

 

Maxsus funksiyalarning 4-chisini 











0

1

).

8

(

)

(

dx

e

x

p

F

x

p

 

integral orqali aniqlanib, gamma funksiya deyiladi. Bu yerda p



1 

1

0

)

1

(

0

















x

x

e

dx

e

Г

 

)!

1

(

)

(





n

n

Г

 

 

 

Demak, Gamma funksiya ixtiyoriy 1 dan katta haqiqiy sonlarning faktoriali ekan. 

 

 

Mustaqil ishlash uchun misollar 

1. 

P

n

(x)=? 

2. 

P

2

(x)=? 

3. 

P

3

(x)=? 

4. 

H

n

(x)=? 

5. 

H

2

(x)=? 

6. 

H

3

(x)=? 

7. 

L

n

(x)=? 

8. 

L

2

(x)=? 

9. 

L

3

(x)=? 

10. 

G(n)=? 

11. 

G(2)=? 

12. 

G(3)=? 

13. 

G(4)=? 

14. 

G(1/2)=? 

15. 

G(3/2)=? 

 

Test savollari 

1. P

1

(x)=? 

a) x,    b) 1,   c) 2x,        d) 1-x 

2. L

1

(x)=? 

a) x,    b) 1,   c) 2x,        d) 1-x 

3. H

1

(x)=? 

a) x,    b) 1,   c) 2x,        d) 1-x 

4. P

2

(x)=? 

a) (3x

2

-1)/2,    b) 2(2x

2

-1),   c) x

2

-4x+2,        d) 1-x 

5. H

2

(x)=? 

a) (3x

2

-1)/2,    b) 2(2x

2

-1),   c) x

2

-4x+2,        d) 1-x 

6. L

2

(x)=? 

a) (3x

2

-1)/2,    b) 2(2x

2

-1),   c) x

2

-4x+2,        d) 1-x 

7. (1-x

2

)y’’-2xy’+



y=0 tenglama kimning nomi bilan ataladi?   

Besselь 

Lejandr 

Chebishev



Ermit 

Chebishev



Lagerr 

8. y’’-2xy’+



y=0 tenglama kimning nomi bilan ataladi?   

Chebishev



Ermit 

Lejandr 

Chebishev



Lagerr 

Besselь 

9. xy’’+(1



x)y’+



y=0 tenglama kimning nomi bilan ataladi?   

Chebishev



Lagerr 

Lejandr 

Chebishev



Ermit 

Besselь 

10. y’’+y’/x+(1-p

2

/x

2

) y=0 tenglama kimning nomi bilan ataladi?   

Lejandr 

Chebishev



Ermit 

Chebishev



Lagerr 

Besselь 

11. 

 ifoda nima deb ataladi? 

Ermit polinomi 

Lagerr polinomi 

Gamma funktsiya 

Lejandr polinomi 

12. 

 ifoda nima deb ataladi? 

Lejandr polinomi 

Lagerr polinomi 

Gamma funktsiya 

n

n

n

n

n

x

dx

d

n

x

P

)

1

(

!

2

1

)

(

2





2

2

)

1

(

)

(

x

n

n

x

n

n

e

dx

d

e

x

H







Ermit polinomi 

13.

 ifoda nima deb ataladi? 

Lagerr polinomi 

Lejandr polinomi 

Ermit polinomi 

Gamma funktsiya 

14. 

 ifoda nima deb ataladi? 

Gamma funktsiya 

Lejandr polinomi 

Ermit polinomi 

Lagerr polinomi 

15. Г(1



2)



? 



/3  



2 

0 



 

 

 

)

(

)

(

x

n

n

n

x

n

e

x

dx

d

e

x

L















0

1

)

(

dx

e

x

p

Г

x

p