Metoda uvol ň ování metoda redukce

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

metoda uvol

ň

ování

metoda redukce

Dynamika mechanismů pojednává o vztahu mezi silami, působícími na soustavu těles -

mechanismus, a pohybem mechanismu, těmito silami způsobeném.

Seznámíme se se dvěma základními metodami

řešení dynamiky mechanismů.

Obě metody představíme na příkladech.

Dynamika mechanismů

G

2

G

1

G

2

G

1

metoda uvol

ň

ování

a

a = ?

Metoda uvolňování spočívá v kombinaci 

již známých postupů ze statiky, 

kinematiky, dynamiky a matematiky.

Dvě tělesa o hmotnostech 

m

1

a 

m

2

jsou spojena tuhým, ohebným lanem,

převedeným přes kladku o momentu setrvačnosti 

I

.

Na obě tělesa působí tíhové síly 

G

1

a 

G

2

.

Těleso 

m

1

leží na nakloněné rovině, skloněné pod úhlem 

αααα

, s koeficientem tření

f

,

těleso 

m

2

volně visí.

Určete s jakým zrychlením 

a

se budou obě tělesa pohybovat.

m

2

m

1

αααα

f

I

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

G

2

G

1

a

a

εεεε

S

1

S

1

S

2

S

2

T

αααα

r

N

metoda uvol

ň

ování

Prvním krokem je příspěvek ze statiky -

uvolnění soustavy těles.

(Připomeňme na tomto místě že 

uvolňování je jeden z nejdůležitějších 

postupů v mechanice.)

Uvolnit těleso znamená pomyslně

odstranit vazby a nahradit je příslušnými 

vazbovými účinky (silami a momenty), 

které vazba přenáší.

V tomto případě uvolníme lano mezi 

tělesem 

m

1

a kladkou - přenáší sílu 

S

1

,

a lano mezi kladkou a tělesem 

m

2

-

přenáší sílu 

S

2

.

I

m

2

m

1

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

G

2

G

1

a

a

εεεε

S

1

S

1

S

2

S

2

T

αααα

r

N

I

Druhým krokem je příspěvek z dynamiky -

sestavení pohybových rovnic jednotlivých 

těles - členů mechanismu.

V pohybových rovnicích jsou kromě

vnějších sil i vnitřní - vazbové síly (nebo 

momenty).

Těleso 

m

1

:

T

G

S

a

m

1

1

1

−

α

⋅

−

=

⋅

sin

m

2

m

1

Z rovnice rovnováhy pro směr kolmo 

ke směru pohybu vyplývá :

α

⋅

=

cos

1

G

N

A třecí síla tedy je :

f

G

T

1

⋅

α

⋅

=

cos

Pohybová rovnice tělesa 

m

1

:

(

)

α

⋅

+

α

⋅

−

=

⋅

cos

sin

f

G

S

a

m

1

1

1

metoda uvol

ň

ování

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

G

2

G

1

a

a

εεεε

S

1

S

1

S

2

S

2

T

αααα

r

N

metoda uvol

ň

ování

I

Druhým krokem je příspěvek z dynamiky -

sestavení pohybových rovnic jednotlivých 

těles - členů mechanismu.

V pohybových rovnicích jsou kromě

vnějších sil i vnitřní - vazbové síly (nebo 

momenty).

Kladka :

m

2

m

1

r

S

r

S

I

1

2

⋅

−

⋅

=

ε

⋅

(

)

α

⋅

+

α

⋅

−

=

⋅

cos

sin

f

G

S

a

m

1

1

1

Těleso 

m

1

:

Poznámka :

V pohybové rovnici by mohl figurovat ještě

moment čepového tření.

V tomto příkladu je čepové tření zanedbáno.

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

G

2

G

1

a

a

εεεε

S

1

S

1

S

2

S

2

T

αααα

r

N

I

Druhým krokem je příspěvek z dynamiky -

sestavení pohybových rovnic jednotlivých 

těles - členů mechanismu.

V pohybových rovnicích jsou kromě

vnějších sil i vnitřní - vazbové síly (nebo 

momenty).

Kladka :

m

2

m

1

r

S

r

S

I

1

2

⋅

−

⋅

=

ε

⋅

Těleso 

m

2

:

2

2

2

S

G

a

m

−

=

⋅

(

)

α

⋅

+

α

⋅

−

=

⋅

cos

sin

f

G

S

a

m

1

1

1

Těleso 

m

1

:

metoda uvol

ň

ování

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

G

2

G

1

a

a

εεεε

S

1

S

1

S

2

S

2

T

αααα

r

N

metoda uvol

ň

ování

I

Druhým krokem je příspěvek z dynamiky -

sestavení pohybových rovnic jednotlivých 

těles - členů mechanismu.

V pohybových rovnicích jsou kromě

vnějších sil i vnitřní - vazbové síly (nebo 

momenty).

Kladka :

m

2

m

1

r

S

r

S

I

1

2

⋅

−

⋅

=

ε

⋅

Těleso 

m

2

:

2

2

2

S

G

a

m

−

=

⋅

(

)

α

⋅

+

α

⋅

−

=

⋅

cos

sin

f

G

S

a

m

1

1

1

Těleso 

m

1

:

V soustavě tří pohybových rovnic se zdají

být čtyři neznámé :

a

- zrychlení těles m1 a m2,

εεεε

- úhlové zrychlení kladky,

S

1

- síla v laně mezi tělesem 

m

1

a kladkou,

S

2

- síla v laně mezi kladkou a tělesem 

m

2

.

Nadchází však třetí krok.

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

G

2

G

1

a

a

εεεε

S

1

S

1

S

2

S

2

T

αααα

r

N

metoda uvol

ň

ování

I

Třetím krokem je příspěvek z kinematiky -

vztahy mezi zrychlením nebo úhlovým 

zrychlením jednotlivých těles.

Tento krok může být velmi jednoduchý, 

může však představovat (zejména u 

mechanismů s proměnným převodem) 

nejsložitější část řešení.

m

2

m

1

V naší úloze je příspěvek z kinematiky 

velmi jednoduchý. Je to vztah :

r

a

=

ε

r

S

r

S

r

a

I

1

2

⋅

−

⋅

=

⋅

2

2

2

S

G

a

m

−

=

⋅

(

)

α

⋅

+

α

⋅

−

=

⋅

cos

sin

f

G

S

a

m

1

1

1

jsou pak právě tři neznámé :

a

- zrychlení těles m1 a m2,

S

1

- síla v laně mezi tělesem 

m

1

a kladkou,

S

2

- síla v laně mezi kladkou a tělesem 

m

2

.

V upravené soustavě tří pohybových rovnic :

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

G

2

G

1

a

a

εεεε

S

1

S

1

S

2

S

2

T

αααα

r

N

metoda uvol

ň

ování

I

Konečně čtvrtým krokem je příspěvek z 

matematiky - řešení soustavy rovnic.

Standardním postupem pak je vyloučení

vazbových sil. Tím získáme tzv. „vlastní

pohybovou rovnici“.

m

2

m

1

Např. : Z první a třetí pohybové rovnice  

vyjádříme síly v lanech 

S

1

a 

S

2

a 

dosadíme do druhé pohybové rovnice.

r

S

r

S

r

a

I

1

2

⋅

−

⋅

=

⋅

2

2

2

S

G

a

m

−

=

⋅

(

)

α

⋅

+

α

⋅

−

=

⋅

cos

sin

f

G

S

a

m

1

1

1

(

)

α

⋅

+

α

⋅

+

⋅

=

cos

sin

f

G

a

m

S

1

1

1

a

m

G

S

2

2

2

⋅

−

=

Vlastní pohybová rovnice pak má tvar :

(

)

α

⋅

+

α

⋅

−

=

⋅













+

+

cos

sin

f

G

G

a

r

I

m

m

1

2

2

2

1

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

metoda uvol

ň

ování

Postup sestavení vlastní pohybové rovnice mechanismu

můžeme rozdělit do čtyř kroků :

1) Statika. Uvolnění jednotlivých těles - členů mechanismu, zavedení vazbových 

silových účinků (sil a/nebo momentů).

2) Dynamika. Sestavení pohybových rovnic jednotlivých těles. (V pohybových 

rovnicích figurují vazbové síly.)

3) Kinematika. Vyjádření zrychlení (resp. úhlového zrychlení) jednotlivých těles 

jako násobku zrychlení jednoho zvoleného členu mechanismu.

4) Matematika. Vyloučení vazbových sil z pohybových rovnic.

Výsledkem je vlastní pohybová rovnice mechanismu.

Poznámka k počtu stupňů volnosti mechanismu :

Popsaný postup se týká mechanismu s jedním stupněm volnosti. Pohyb mechanismu

s 

n

stupni volnosti je popsán 

n

nezávislými vlastními pohybovými rovnicemi.

Mechanismus s 

n

stupni volnosti je též poháněn 

n

nezávislými hnacími členy

s 

n

nezávislými kinematickými parametry (rychlostí a zrychlením).

Zrychlení (resp. úhlové zrychlení) každého jednotlivého tělesa (viz bod 3)

je pak vyjádřeno z 

n

nezávislých zrychlení

n

nezávislých hnacích členů.

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

metoda uvol

ň

ování

Postup sestavení vlastní pohybové rovnice mechanismu

můžeme rozdělit do čtyř kroků :

1) Statika. Uvolnění jednotlivých těles - členů mechanismu, zavedení vazbových 

silových účinků (sil a/nebo momentů).

2) Dynamika. Sestavení pohybových rovnic jednotlivých těles. (V pohybových 

rovnicích figurují vazbové síly.)

3) Kinematika. Vyjádření zrychlení (resp. úhlového zrychlení) jednotlivých těles 

jako násobku zrychlení jednoho zvoleného členu mechanismu.

4) Matematika. Vyloučení vazbových sil z pohybových rovnic.

Výsledkem je vlastní pohybová rovnice mechanismu.

Poznámka k charakteru převodu mechanismu :

U mechanismu s konstantním převodem lze zrychlení (resp. úhlové zrychlení) kteréhokoliv 

členu mechanismu vyjádřit jako prostý násobek zrychlení (resp. úhlového zrychlení) 

hnacího členu (viz bod 3).

a

hnaný

= p·a

hnací

U mechanismu s proměnným převodem lze zrychlení (resp. úhlové zrychlení) kteréhokoliv 

členu mechanismu vyjádřit jako součet násobku zrychlení a násobku kvadrátu rychlosti 

hnacího členu. 

a

hnaný

= p·a

hnací

+ q·v

hnací

2

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

F

ω,ε

ω,ε

ω,ε

ω,ε

v,a

M

M

Derivací zdvihové závislosti získáme řešení rychlosti :

φ

⋅

+

=

sin

e

r

y

φ

⋅

⋅

ω

=

φ

⋅

φ

⋅

=

=

cos

cos

e

e

y

v

&

&

ω

=

φ

&

φ

⋅

φ

⋅

ω

⋅

−

φ

⋅

ω

⋅

=

=

&

&

&

sin

cos

e

e

v

a

φ

⋅

⋅

ω

−

φ

⋅

⋅

ε

=

sin

cos

e

e

a

2

ε

=

ω

&

metoda uvol

ň

ování

Postup demonstrujeme ještě jednou na příkladu vačkového 

mechanismu.

Hnacím členem je vačka o poloměru 

r

, uložená

s excentricitou 

e

(vzdálenost středu vačky od středu rotace),

rotující s úhlovou rychlostí

ω

ω

ω

ω

a s úhlovým zrychlením 

εεεε

.

Hnaným členem je zvedátko, konající posuvný, přímočarý, 

vratný pohyb rychlostí

v 

se zrychlením 

a

.

Začít můžeme kinematickým rozborem.

Vačkový mechanismus je mechanismem s jedním 

stupněm volnosti, jeho poloha je dána jednou 

nezávislou souřadnicí (tzv. souřadnice mechanismu).

Za souřadnici mechanismu si zvolíme úhel 

φφφφ

, určující

polohu vačky. Naopak souřadnice zvedátka 

y

je 

souřadnicí závislou. Zdvihová závislost je :

Další derivací pak získáme řešení zrychlení :

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

e

e

·s

in

φ

y

 =

 r

+

e

·s

in

φ

φφφφ

r

metoda uvol

ň

ování

Dalším krokem je uvolnění obou těles.

Mezi vačkou a zvedátkem je obecná vazba. Ta přenáší (zanedbáme-li tření) pouze sílu 

R

,

kolmou ke společné dotykové rovině obou povrchů.

φφφφ

F

ω,ε

ω,ε

ω,ε

ω,ε

v,a

M

M

R

e·cos

φφφφ

εεεε

M

M

φφφφ

R

F

a

e

Dynamika II, 9. p

ř

ednáška

metoda uvol

ň

ování

φφφφ

F

ω,ε

ω,ε

ω,ε

ω,ε