Метрическое пространство и произвольный бесконечный кардинал. Тогда следующие условия эквивалентны


Download 82.23 Kb.
Sana18.05.2020
Hajmi82.23 Kb.
#107338
Bog'liq
Метрик фазолар. Документ Microsoft Office Word
2 5208474155158078978, Универсальное заявление 3, Универсальное заявление 3, 1 маъруза Халқ оғзаки ижоди сўз санъати сифатида Халқ оғзаки ижодининг, Shakirova PHD. O'zmu.Skopuss., курс иши мавзуси, курс иши мавзуси, kimyoviy birikmalarning izomeriyasi va nomenklaturasi, Mening kelajakdagi maqsadlarim, Islom tarixi, TAYYOR, бозорда маркетинг стратегияси., Hamd G'azal, kinematikaning boshlangich tushunchalari

Теорема 2.2.3. Пусть Х – метрическое пространство и – произвольный бесконечный кардинал. Тогда следующие условия эквивалентны:

  1. пространство Х имеет -сеть мощности ;

  2. пространство Х имеет -базу мощности ;

  3. пространство Х имеет базу мощности ;

  4. пространство Х имеет сеть мощности ;

  5. каждое открытое покрытие пространства Х имеет подпокрытие мощности ;

  6. каждое замкнутое дискретное подпространство пространства Х имеет мощность ;

  7. каждое дискретное подпространство пространства Х имеет мощность ;

  8. каждое семейство попарно не пересекающихся непустых открытых подмножеств пространства Х имеет мощность ;

  9. пространство Х имеет слабую плотность мощности ;

  10. пространство Х имеет всюду плотное подмножество мощности .

Доказательство. (1)  (2). Пусть Х – метрическое пространство и -сеть пространства Х. Из каждого множества выберем точку и положим . Ясно, что . Рассмотрим . Очевидно, . Покажем, что семейство является -базой в Х. Пусть G – произвольное открытое множество в метрическом пространстве Х. Семейство является -сетью пространства Х, поэтому существует такое, что . Тогда , следовательно, . Множество G открыто и – внутренняя точка для G, значит, существует такое, что . Выберем индекс n такой что . Тогда и . Значит, семейство v есть -база в метрическом пространстве Х.

Импликация (1)  (2) доказана.

(2)  (3) следует из работы [15, стр.85].

Доказательство импликаций (2) … (8) см. [77].



Из утверждения 2.1.3 и теоремы 1.1.10 ((6)  (7)) получаем . Импликации (8)  (9) и (9)  (10) доказана.

(10)  (1). Пусть и всюду плотно в метрическом пространстве Х. Обозначим через . Положим . Ясно, что центрированная система для каждого так как содержит хотя бы одну точку . Покажем, что является -сетью в метрическом пространстве Х. Пусть непустое открытое множество в . Тогда существуют , что в силу всюду плотности множества . Пространство метрическое, то существует такой номер , что . Ясно, что . В силу утверждения 2.1.1 имеем, что . Импликация (10)  (1) доказана. Теорема 2.2.3 доказана.

Следствие 2.2.1. Пусть Х – метрическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

  1. пространство Х имеет счетную -сеть;

  1. пространство Х имеет счетную -базу;

  2. пространство Х имеет счетную базу;

  3. пространство Х имеет счетную сеть;

  4. пространство Х финально компактно;

  5. каждое замкнутое дискретное подпространство пространства Х счетное;

  6. каждое дискретное подпространство пространства Х счетное;

  7. пространство Х удовлетворяет условию Суслина;

  8. пространство Х слабо сепарабельно;

  9. пространство Х – сепарабельно.

Download 82.23 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling