Метрическое пространство и произвольный бесконечный кардинал. Тогда следующие условия эквивалентны

Теорема 2.2.3. Пусть Х – метрическое пространство и – произвольный бесконечный кардинал. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. 
   пространство Х имеет -сеть мощности ;
   
2. 
   пространство Х имеет -базу мощности ;
   
3. 
   пространство Х имеет базу мощности ;
   
4. 
   пространство Х имеет сеть мощности ;
   
5. 
   каждое открытое покрытие пространства Х имеет подпокрытие мощности ;
   
6. 
   каждое замкнутое дискретное подпространство пространства Х имеет мощность ;
   
7. 
   каждое дискретное подпространство пространства Х имеет мощность ;
   
8. 
   каждое семейство попарно не пересекающихся непустых открытых подмножеств пространства Х имеет мощность ;
   
9. 
   пространство Х имеет слабую плотность мощности ;
   
10. 
    пространство Х имеет всюду плотное подмножество мощности .
    

Доказательство. (1)  (2). Пусть Х – метрическое пространство и -сеть пространства Х. Из каждого множества выберем точку и положим . Ясно, что . Рассмотрим . Очевидно, . Покажем, что семейство является -базой в Х. Пусть G – произвольное открытое множество в метрическом пространстве Х. Семейство является -сетью пространства Х, поэтому существует такое, что . Тогда , следовательно, . Множество G открыто и – внутренняя точка для G, значит, существует такое, что . Выберем индекс n такой что . Тогда и . Значит, семейство v есть -база в метрическом пространстве Х.

Импликация (1)  (2) доказана.

(2)  (3) следует из работы [15, стр.85].

Доказательство импликаций (2) … (8) см. [77].

Из утверждения 2.1.3 и теоремы 1.1.10 ((6)  (7)) получаем . Импликации (8)  (9) и (9)  (10) доказана.

(10)  (1). Пусть и всюду плотно в метрическом пространстве Х. Обозначим через . Положим . Ясно, что центрированная система для каждого так как содержит хотя бы одну точку . Покажем, что является -сетью в метрическом пространстве Х. Пусть непустое открытое множество в . Тогда существуют , что в силу всюду плотности множества . Пространство метрическое, то существует такой номер , что . Ясно, что . В силу утверждения 2.1.1 имеем, что . Импликация (10)  (1) доказана. Теорема 2.2.3 доказана.

Следствие 2.2.1. Пусть Х – метрическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1. 
   пространство Х имеет счетную -сеть;
   

2. 
   пространство Х имеет счетную -базу;
   
3. 
   пространство Х имеет счетную базу;
   
4. 
   пространство Х имеет счетную сеть;
   
5. 
   пространство Х финально компактно;
   
6. 
   каждое замкнутое дискретное подпространство пространства Х счетное;
   
7. 
   каждое дискретное подпространство пространства Х счетное;
   
8. 
   пространство Х удовлетворяет условию Суслина;
   
9. 
   пространство Х слабо сепарабельно;
   
10. 
    пространство Х – сепарабельно.