Microsoft Word 172-187 vektor va skalyar maydonlar. Gradiyent va yoˇnalish boˇyicha hosila. Divergensiya va rotor

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
172 
VEKTOR VA SKALYAR MAYDONLAR. GRADIYENT VA YO’NALISH 
BO’YICHA HOSILA. DIVERGENSIYA VA ROTOR. SATH CHIZIQLARI. 
GRADIYENT MAYDONLAR. OQIMLAR
Toshkent axborot
Annotatsiya: Ushbu maqolada matematikaning eng qiziq mavzularidan biri bo’lgan 
Vektor va skalyar maydonlar, Gradiyent va yo’nalish bo’yicha hosila, 
Sath chiziqlari, Gradiyent maydonlar, Oqimlar haqida ma’lumotlar berib o’tildi va mavjud 
muanmolarga ilmiy yondashildi hamda muanmolarni hal etish uchun tegishli tavsiyalar berib 
o’tildi. 
Kalit So’zlar: Sath sirtlari, Sath 
invariant aniqlash, Vektor maydoni, Vektor chiziqlar, Vektor naychalari, Sirt orqali o’tadigan 
vektor maydon oqimi, Uning tezliklar maydonidagi fizik ma’nosi.
Fizikada, mexanikadagi ko’’gina masalalarda sk
to’g’ri keladi. 
Skalyar kattalik o’zining son qiymati bilan to’la ifodalanadi (masalan, hajm, massa, zichlik, 
harorat, va hokazolar). 
1-Ta’rif. Fazoning biror qismi (yoki butun fazoning ) har bir M nuqtasida biror
miqdorning son qiymati aniqlangan bolsa, bu miqdorning skalyar maydoni berilgan deyiladi. 
Masalan, harorat maydoni, bir jinslimas muhitda zichlik maydoni, kuch maydoni potensi
Agar u kattalik t vaqtga bog’liq bo’lmasa,
deyiladi. 
Aks holda nostatsionar (yoki 
maydonlarni qarab chiqamiz. Shunday qilib,
faqat M nuqtaning fazodagi o’rniga bog’liq bo’ladi, ya’ni u kattalik M nuqtaning funksiyasi 
sifatida qaraladi va u=u(M)
ataymiz. 
Agar fazoda Oxyz koordinatalar 
koordinatalarga ega bo’ladi va 
u=u(x,y,z). 
Shunday qilib, biz uch o’zgaruvchili funksiyaning fizik talqiniga keldik.
Tekislikning qismida (yoki butun tekislikda) aniqlanadigan skalyar maydonni ham qarab chiqish 
mumkin, uning har bir M nuqtasiga 
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
VEKTOR VA SKALYAR MAYDONLAR. GRADIYENT VA YO’NALISH 
BO’YICHA HOSILA. DIVERGENSIYA VA ROTOR. SATH CHIZIQLARI. 
GRADIYENT MAYDONLAR. OQIMLAR
Usmonov Maxsud Tulqin o‘g’li 
Toshkent axborot texnologiyalari universiteti Qarshi filiali 4
Qodirov Farrux Ergash o’g’li 
Ilmiy rahbar 
Ushbu maqolada matematikaning eng qiziq mavzularidan biri bo’lgan 
Vektor va skalyar maydonlar, Gradiyent va yo’nalish bo’yicha hosila, 
Sath chiziqlari, Gradiyent maydonlar, Oqimlar haqida ma’lumotlar berib o’tildi va mavjud 
muanmolarga ilmiy yondashildi hamda muanmolarni hal etish uchun tegishli tavsiyalar berib 
Sath sirtlari, Sath chiziqlari, Skalyar maydon gradient, Gradientni 
invariant aniqlash, Vektor maydoni, Vektor chiziqlar, Vektor naychalari, Sirt orqali o’tadigan 
vektor maydon oqimi, Uning tezliklar maydonidagi fizik ma’nosi.
Fizikada, mexanikadagi ko’’gina masalalarda skalyar va vektor kattaliklar bilan ish ko’rishga 
Skalyar kattalik o’zining son qiymati bilan to’la ifodalanadi (masalan, hajm, massa, zichlik, 
Fazoning biror qismi (yoki butun fazoning ) har bir M nuqtasida biror
miqdorning son qiymati aniqlangan bolsa, bu miqdorning skalyar maydoni berilgan deyiladi. 
Masalan, harorat maydoni, bir jinslimas muhitda zichlik maydoni, kuch maydoni potensi
kattalik t vaqtga bog’liq bo’lmasa, bu kattalik statsionar (yoki 
(yoki barqaror bo’lmagan) maydon deyiladi. Biz faqat statsionar 
maydonlarni qarab chiqamiz. Shunday qilib, u skalyar kattalik t vaqtga bog’liq bo’lmasdan, balki 
faqat M nuqtaning fazodagi o’rniga bog’liq bo’ladi, ya’ni u kattalik M nuqtaning funksiyasi 
u=u(M) ko’rinishda belgilanadi. Bu funksiyani 
koordinatalar sistemasini kiritsak, u holda har bir M nuqta ma’lum x,y,z 
koordinatalarga ega bo’ladi va u skalyar funksiya shu koordinatalarning funksiyasi bo’ladi: 
Shunday qilib, biz uch o’zgaruvchili funksiyaning fizik talqiniga keldik.
Tekislikning qismida (yoki butun tekislikda) aniqlanadigan skalyar maydonni ham qarab chiqish 
mumkin, uning har bir M nuqtasiga u skalyar kattalikning son qiymati mos keladi, ya’ni 
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
VEKTOR VA SKALYAR MAYDONLAR. GRADIYENT VA YO’NALISH 
BO’YICHA HOSILA. DIVERGENSIYA VA ROTOR. SATH CHIZIQLARI. 
GRADIYENT MAYDONLAR. OQIMLAR 
Qarshi filiali 4-kurs talabasi 
Ushbu maqolada matematikaning eng qiziq mavzularidan biri bo’lgan 
Vektor va skalyar maydonlar, Gradiyent va yo’nalish bo’yicha hosila, Divergensiya va rotor, 
Sath chiziqlari, Gradiyent maydonlar, Oqimlar haqida ma’lumotlar berib o’tildi va mavjud 
muanmolarga ilmiy yondashildi hamda muanmolarni hal etish uchun tegishli tavsiyalar berib 
chiziqlari, Skalyar maydon gradient, Gradientni 
invariant aniqlash, Vektor maydoni, Vektor chiziqlar, Vektor naychalari, Sirt orqali o’tadigan 
alyar va vektor kattaliklar bilan ish ko’rishga 
Skalyar kattalik o’zining son qiymati bilan to’la ifodalanadi (masalan, hajm, massa, zichlik, 
Fazoning biror qismi (yoki butun fazoning ) har bir M nuqtasida biror u skalyar 
miqdorning son qiymati aniqlangan bolsa, bu miqdorning skalyar maydoni berilgan deyiladi. 
Masalan, harorat maydoni, bir jinslimas muhitda zichlik maydoni, kuch maydoni potensiali. 
(yoki barqaror ) kattalik 
) maydon deyiladi. Biz faqat statsionar 
t vaqtga bog’liq bo’lmasdan, balki 
faqat M nuqtaning fazodagi o’rniga bog’liq bo’ladi, ya’ni u kattalik M nuqtaning funksiyasi 
ko’rinishda belgilanadi. Bu funksiyani maydon funksiyasi deb 
ak, u holda har bir M nuqta ma’lum x,y,z 
skalyar funksiya shu koordinatalarning funksiyasi bo’ladi: 
Shunday qilib, biz uch o’zgaruvchili funksiyaning fizik talqiniga keldik. 
Tekislikning qismida (yoki butun tekislikda) aniqlanadigan skalyar maydonni ham qarab chiqish 
skalyar kattalikning son qiymati mos keladi, ya’ni u=u(M). 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
173 
Agar tekislikning Oxy koordinatalar sistemasi kiritilsa, u holda ha
koordinatalarga ega bo’ladi va 
u=u(x,z). 
Skalyar maydonlarning xossalarini satx sirtlari yoki satx chiziqlari yordamida o’rganish mumkin, 
ular shu maydonlarning geometri
1. Sath sirtlari. 
2-Ta’rif. Skalyar maydonning
unda maydon funksiyasi u=u(x,y,z) 
Bu sirtlar 
u(x,y)=C. 
tenglama bilan aniqlanishi ravshan, bu
C ga turli qiymatlar berib, sath sirtlari oilasini hosil qilamiz. Bu sirtlarda skalyar funksiya 
o’zgarmas bo’lib qoladi. 
Agar, masalan, maydon 
u=x
2
+y
2
+z
2
funksiya bilan ifodalangan bo’lsa, u holda markazi koordinatalar boshida 
x
2
+y
2
+z
2
=C (C>0) 
sfera sath sirti vazifasini bajaradi.
2. Sath chiziqlari. Yassi skalyar maydon geometrik jihatdan sath chiziqlari yordamida 
tasvirlanadi. 
3-Ta’rif. Yassi skalyar maydonning 
aytiladiki, unda u=u(x,y) maydon funksiyasi o’zgarmas qiymatga ega bo’ladi.
Bu chiziqlar 
u(x,y)=C 
tenglama bilan aniqlanadi, bunda C
C ga turli qiymatlar berib, sath chiziqlari oilasini hosi
doimiy bo’lib qoladi. Shaklda sath chiziqlarining bir
ning ma’lum qiymatlariga moslarini chizish qabul qilingan, masalan, 
u=30, u=35 (85
S
shunchalik tez o’sib boradi.
Agar, masalan, skalyar maydonlar 
bilan berilgan bo’lsa, ular uchun sath chiziqlari vazifasini mos 
ravishda giperbolalar va 
shakllar).
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
koordinatalar sistemasi kiritilsa, u holda har bir M nuqta ma’lum x, y 
koordinatalarga ega bo’ladi va u skalyar funksiya shu koordinatalarning funksiyasi bo’ladi:
Skalyar maydonlarning xossalarini satx sirtlari yoki satx chiziqlari yordamida o’rganish mumkin, 
ular shu maydonlarning geometrik tasviri hisoblanadi. 
Skalyar maydonning sath sirti deb fazoning shunday nuqtalari to’lamiga aytiladiki, 
u=u(x,y,z) o’zgarmas qiymatga ega bo’ladi. 
tenglama bilan aniqlanishi ravshan, bunda C –– o’zgarmas son.
C ga turli qiymatlar berib, sath sirtlari oilasini hosil qilamiz. Bu sirtlarda skalyar funksiya 
funksiya bilan ifodalangan bo’lsa, u holda markazi koordinatalar boshida 
sfera sath sirti vazifasini bajaradi. 
Yassi skalyar maydon geometrik jihatdan sath chiziqlari yordamida 
Yassi skalyar maydonning sath chizig’i deb tekislikning shunday nuqtalari to’lamiga 
maydon funksiyasi o’zgarmas qiymatga ega bo’ladi.
tenglama bilan aniqlanadi, bunda C –– o’zgarmas son. 
C ga turli qiymatlar berib, sath chiziqlari oilasini hosil qilamiz. Bu chiziqlarda skalyar funksiya 
doimiy bo’lib qoladi. Shaklda sath chiziqlarining bir-biridan teng oraliqlardan keyin keladigan 
ning ma’lum qiymatlariga moslarini chizish qabul qilingan, masalan, u=10,u=15, u=20, u=25, 
u=30, u=35 (85-shakl). 
Satx chiziqlari bir-biriga qanchalik yaqin qilib chizilgan bo’lsa, 
shunchalik tez o’sib boradi. 
Agar, masalan, skalyar maydonlar u=xy yoki 
bilan berilgan bo’lsa, ular uchun sath chiziqlari vazifasini mos 
ravishda giperbolalar va konsentrik aylanalar oilasi bajaradi (86, 87
shakllar). 
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
r bir M nuqta ma’lum x, y 
skalyar funksiya shu koordinatalarning funksiyasi bo’ladi: 
Skalyar maydonlarning xossalarini satx sirtlari yoki satx chiziqlari yordamida o’rganish mumkin, 
deb fazoning shunday nuqtalari to’lamiga aytiladiki, 
C ga turli qiymatlar berib, sath sirtlari oilasini hosil qilamiz. Bu sirtlarda skalyar funksiya 
funksiya bilan ifodalangan bo’lsa, u holda markazi koordinatalar boshida bo’lgan 
Yassi skalyar maydon geometrik jihatdan sath chiziqlari yordamida 
deb tekislikning shunday nuqtalari to’lamiga 
maydon funksiyasi o’zgarmas qiymatga ega bo’ladi. 
l qilamiz. Bu chiziqlarda skalyar funksiya 
biridan teng oraliqlardan keyin keladigan u 
u=10,u=15, u=20, u=25, 
biriga qanchalik yaqin qilib chizilgan bo’lsa, u 
yoki u=x
2
+y
2 
funksiyalar 
bilan berilgan bo’lsa, ular uchun sath chiziqlari vazifasini mos 
konsentrik aylanalar oilasi bajaradi (86, 87-

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
174 
Skalyar maydonning muxim tushunchasi berilgan yo’nalish bo’yicha 
skalyar maydonning differentsnallanuvchi funksiyasi 
u = u (x,y,z) berilgan bo’lsin. Bu maydondaga biror
biror 𝑙⃗ nurni qaraymiz. Bu nurning 
γorqali belgilaymiz (88- shakl). Agar
quyidagiga ega bo’lamiz: 
Faraz qilaylik, biror M
1 
orasidagi masofani ∆l bilan belgilaymiz: 
ayirmasini shu funksiyaiing 
belgilaymiz. U holda 
∆
l
u =u(M
1
)-u(M) 
yoki 
∆𝑙u =u(x+∆x, y+∆y,z+∆z)-u(x,y,z)
4-Ta’rif.u=u(x,y,z)funksiyalarning 
M(x,y,z) nuqtadagi hosilasi
deb 
lim
∆ →
limitga aytiladi, bu limit 
= lim
∆ →
∆
∆
. 
Agar M nuqta tayinlangan bo’lsa, u xolda hosilaning kattaligii faqat 
bog’liq bo’ladi. 
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
im tushunchasi berilgan yo’nalish bo’yicha 
skalyar maydonning differentsnallanuvchi funksiyasi
berilgan bo’lsin. Bu maydondaga biror M(x,y,z) nuqtani va shu nuqtadan chiquvchi 
nurni qaraymiz. Bu nurning Ox, Oy, Oz o’qlari bilan tashkil qilgan burchaklarini 
shakl). Agar birlik vektor bu nur bo’yicha yo’nalgan bo’lsa, u holda 
1 
(x+∆x, y+∆y,z+∆z) nuqtashunurda yotgan bo’lsin. 
lan belgilaymiz: ∆l=| M M
1
|. Skalyar maydo
ayirmasini shu funksiyaiing 𝑙⃗ yo’nalishda shu nuqtalardagi orttirmasi deb aytamiz va 
u(x,y,z) 
funksiyalarning 
𝑙⃗
yo’nalish 
M(x,y,z) nuqtadagi hosilasi 
lim
∆𝑙𝑢
∆𝑙
tarzida belgilanadi. Shunday qilib, 
nuqta tayinlangan bo’lsa, u xolda hosilaning kattaligii faqat 𝑙⃗ 
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
im tushunchasi berilgan yo’nalish bo’yicha hosiladir. Faraz qilaylik, 
nuqtani va shu nuqtadan chiquvchi 
ri bilan tashkil qilgan burchaklarini α, β, 
k vektor bu nur bo’yicha yo’nalgan bo’lsa, u holda 
) nuqtashunurda yotgan bo’lsin. MvaM
1
nuqtalar 
|. Skalyar maydon funksiyasi qiymatlari 
yo’nalishda shu nuqtalardagi orttirmasi deb aytamiz va ∆
l
u bilan 
bo’yicha 
⃗ nurning yo’nalishigagina 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
175 
𝑙⃗yo’nalish bo’yicha hosila hususiy hosilalarga o’xshash 
o’zgarish tezligini xarakterlaydi. H
tezlikning kattaligini aniqlaydi, hosilaning ishorasi esa 
aniqlaydi: agar 
> 0 bo’lsa, o’ xolda funksiya bu yo’nalishda o’sadi, agar 
kamayadi. 
Berilgan yo’nalish bo’yicha hosilani hisoblash qo’yidagi teorema yordamida amalga oshiriladi.
T e o r e m a . Agar u ( x , y , z )
yo’nalishi bo’yicha hosilasi mavjud va quyidagiga teng:
Bunda cos𝛼, cos𝛽, cos𝛾 —
Isboti.ufunksiya teoremaning shartiga ko’ra differensial
M( x , y , z ) nuqtadagi ∆u orttirmasini
∆𝑢 =
∆x +
∆y +
∆
ko’rinishida yozish mumkin, bunda 
ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor, ya’ni 
Agar funksiya orttirmasi →
∆𝑥
bo’lishi ravshan. U xolda (2.1) tenglik bunday ko’rinishni oladi:
∆ 𝑢
Tenglikning ikkala qismini 
=
cos 𝛼 +
cos 𝛽 +
chunki 
,
,
ho’so’siy hosilalar va yo’naltir
Shunday qilib, teorema isbotlandi. 
yo’nalishlaridan biri bilan 
hosilaga teng, masalan, agar
uchun 𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1, 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛾
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
yo’nalish bo’yicha hosila hususiy hosilalarga o’xshash u funksiyaning mazkur yo’nalishdagi 
o’zgarish tezligini xarakterlaydi. Hosilaning 𝑙⃗ yo’nalish bo’yicha absolyut miqdori 
aniqlaydi, hosilaning ishorasi esa u funksiya o’
> 0 bo’lsa, o’ xolda funksiya bu yo’nalishda o’sadi, agar 
Berilgan yo’nalish bo’yicha hosilani hisoblash qo’yidagi teorema yordamida amalga oshiriladi.
u ( x , y , z ) funksiya differensiallanuvchi bo’lsa, u holda uning ixtiyoriy
bo’yicha hosilasi mavjud va quyidagiga teng: 
𝜕𝑢
𝜕𝑙
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
cos 𝛼 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
cos 𝛽 +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
cos 𝛾
— 𝑙⃗vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari. 
teoremaning shartiga ko’ra differensiallanuvchi bo’lsa, u holda uning 
orttirmasini 
∆z + 𝜀(2.1) 
da yozish mumkin, bunda 𝜀 kattalik
𝜌 =
(∆𝑥) + (∆𝑦) + (∆𝑧)
ori tartibli cheksiz kichik miqdor, ya’ni lim
→
= 0. 
→ vektor yo’nalishidagi nur bo’ylab qaralsa, u holda
∆𝑢 = ∆ 𝑢, 𝜌 = ∆𝑢 
𝑥 = ∆𝑙 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛼, ∆𝑦 = ∆𝑙 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛽, ∆𝑧 = ∆𝑙 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝛾
xolda (2.1) tenglik bunday ko’rinishni oladi: 
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
∆𝑙 cos 𝛼 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
∆𝑙 cos 𝛽 +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
∆𝑙 cos 𝛾 +
ismini ∆𝑙 ga bo’lamiz va∆𝑙 → 0 da limitga o’tamiz. Natijada
+
cos 𝛾(2)
lim
∆ →
𝜀
∆𝑙
= lim
→
𝜀
𝜌
= 0, 
hosilalar va yo’naltiruvchi kosinuslar∆𝑙bog’liqbo’lmaydi.
isbotlandi. (2) formulada, agar 𝑙⃗ yo’nalish koordinatalar 
yo’nalishlaridan biri bilan bir xil bo’lsa, u holda bu yo’nalish bo’yicha hosila tegishli hususiy 
agar𝑙⃗=𝑙⃗bo’lsa, u holda 𝛼 = 0, 𝛽 = 𝛾 = , r = 
𝑐𝑜𝑠𝛾 =0 va binobarin, 
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
funksiyaning mazkur yo’nalishdagi 
yo’nalish bo’yicha absolyut miqdori 
funksiya o’zgarishining xarakterini 
> 0 bo’lsa, o’ xolda funksiya bu yo’nalishda o’sadi, agar 
<0 bo’lsa, 
Berilgan yo’nalish bo’yicha hosilani hisoblash qo’yidagi teorema yordamida amalga oshiriladi. 
sa, u holda uning ixtiyoriy 
lanuvchi bo’lsa, u holda uning 
vektor yo’nalishidagi nur bo’ylab qaralsa, u holda 
𝑐𝑜𝑠𝛾 
+ 𝜀
da limitga o’tamiz. Natijada 
liqbo’lmaydi. 
yo’nalish koordinatalar o’qining 
xil bo’lsa, u holda bu yo’nalish bo’yicha hosila tegishli hususiy 
, r = u - u bo’ladi, shuning 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
176 
(2) formuladan ko’rinadiki, 
bo’yicha teskari ishora bilan 
Haqiqatan bunda,𝛼, 𝛽, 𝛾 burchaklar 
natijada quyidagini hosil qilamiz:
𝜕𝑢
𝜕𝑙
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
Bu yo’nalish qarama-qarshisiga o’zgarganda , funksiyaning o’zgarish tezligining absolyut 
miqdori o’zgarmaydi, uning fa
Agar, masalan, 𝑙⃗ yo’nalishda funksiya o’ssa, u xolda qarama
aksincha. Agar maydon tekis bo’lsa, u holda 
og’ish burchagi 𝛼 bilan to’la_ aniqlanadi. 
maydon holida (2) formuladan olish mumkin, bunda
deb olinadi. U holda 
M i s o l . i = xyz funksiyaning 
yo’nalishdagi hosilasini toping.
Y e c h i s h . 𝑀 𝑀1⃗vektorni topamiz:
𝑀 𝑀1⃗ = (
va o’ngga mos birlik vektorni xam topamiz:
𝑙 ⃗=
𝑀
𝑀
Shunday qilib, 𝑙⃗ vektor q
Endi xyz funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz: 
vaularni M( — 1 , 2, 4) nuqtada hisoblaymiz:
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
𝜕𝑢
𝜕𝑙
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
(2) formuladan ko’rinadiki, 𝑙⃗ yo’nalishgaqarama-qarshi 𝑙
`
⃗ yo’nalishi bo’yicha hosila
ishora bilan olingan hosilasiga teng. 
burchaklar 𝜋 ga o’zgarishi kerak, 
osil qilamiz: 
𝜕𝑢
𝜕𝑥
cos(𝜋 + 𝛼) +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
cos(𝜋 + 𝛽) +
𝜕𝑢
𝜕𝑧
cos(𝜋 +
−
𝜕𝑢
𝜕𝑥
cos 𝛼 −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
cos𝛽 −
𝜕𝑢
𝜕𝑧
cos𝛾 = −
𝜕𝑢
𝜕𝑙
.
qarshisiga o’zgarganda , funksiyaning o’zgarish tezligining absolyut 
miqdori o’zgarmaydi, uning faqat yo’nalishi o’zgaradi xolos. 
yo’nalishda funksiya o’ssa, u xolda qarama-qarshi𝑙⃗ yo’nalishda u kamayadi, va 
aksincha. Agar maydon tekis bo’lsa, u holda 𝑙⃗ nurning yo’nalshi u uning abssissalar o’qiga 
bilan to’la_ aniqlanadi. 𝑙⃗ yo’nalish bo’yicha hosila uchun formu
formuladan olish mumkin, bunda 
𝛽 =
𝜋
2
− 𝛼, 𝛾 =
𝜋
2
𝜕𝑢
𝜕𝑙
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
cos 𝛼 +
𝜕𝑢
𝜕𝑦
sin 𝛼 
funksiyaning M(-1, 2 , 4 ) nuqtada shu nuqtadan M
1
yo’nalishdagi hosilasini toping. 
vektorni topamiz: 
(−3 + 1) 𝚤⃗ +(4 − 2) 𝚥⃗ + (5 − 4) 𝑘⃗ = −2 𝚤⃗ +
va o’ngga mos birlik vektorni xam topamiz: 
𝑀 𝑀1⃗
𝑀 𝑀1⃗
=
−2 𝚤⃗ + 2 𝚥⃗ + 𝑘⃗
(−2) + 2 + 1
= −
2
3
𝚤⃗ +
2
3
𝚥⃗ +
quyidagi yo’naltiruvchi kosinuslarga ega.
𝑐𝑜𝑠𝛼 = −
2
3
, 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
2
3
, 𝑐𝑜𝑠𝛾 =
1
3
funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz:
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= 𝑦𝑧,
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑥𝑧 
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝑥𝑦 
2, 4) nuqtada hisoblaymiz: 
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
alishi bo’yicha hosila 𝑙⃗ yo’nalish 
( + 𝛾) =
qarshisiga o’zgarganda , funksiyaning o’zgarish tezligining absolyut 
yo’nalishda u kamayadi, va 
nurning yo’nalshi u uning abssissalar o’qiga 
yo’nalish bo’yicha hosila uchun formulani tekis 
(—3,4,5) nuqtaga tomon 
+ 2 𝚥⃗ + 𝑘⃗ 
+
1
3
𝑘⃗ 
ega. 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
177 
Xususiy hosilalarning va yo’naltiruvchi kosinuslarning topilgan qiymatlarini (2) 
formulaga qo’yamiz: 
𝜕𝑢
𝜕𝑙
= 8
«—» ishora berilgan yo’nalishda 
3. Skalyar maydon gradienti. Gradientni invariant aniqlash
5 - T a ’ r i f : u = u(x, u, z) 
maydonning M ( x , y,z ) nuqtadagi gradi
aytilib, uning proeksiyalari vazifasini shu funksiyaning xususiy hosilalari qiymatlari, 
bajaradi, ya’ni 
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 =
𝚤⃗ +
𝚥⃗ +
𝑘⃗
Gradientning proeksiyalari 
nuqtaning koordinatalari o’zgarishi bilan o’zgaradi. Binobarin, 
berilgan skalyar maydonning har bir nuqtasiga ma’lu
gradienti mos qo’yiladi 
Gradientning ta’rifidan foydalanib, 
formulani quyidagi ko’rinishda 
= 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢 ∙𝑙⃗ , (4) 
Bunda 𝑙⃗ = cos 𝛼 𝚤⃗ +cos 𝛾
yo’nalish bo’yicha hosila funksiya gradienti shu 
teng. Skalyar ko’paytma ta’rifidan foydalanib, (3.2) form
ko’rinishda ifodalash mumkin, bunda 
shakl). 𝑙⃗ = 1bo’lgani uchun
= |𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢| cos 𝜑(3.3) 
bo’ladi. Bundan yo’nalish bo’yicha hosila
qiymatga erishadi. Shu bilan birga bu eng katta qiymat 
max
= |grad𝑢| =
(
Shunday qilib, |gradu| kattalik
bo’ladi, gradu ning yo’nalishi esa 
tushadiki u bo’ylab funksiya hammasidan ko’ra tezrok, o’zgaradi, ya’ni gradientning yo’nalishi 
funksiyaning eng tez ortishidagi 
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
susiy hosilalarning va yo’naltiruvchi kosinuslarning topilgan qiymatlarini (2) 
8 ∙ −
2
3
− 4 ∙
2
3
− 2 ∙
1
3
=
2
3
(−8 − 4 − 1) =
» ishora berilgan yo’nalishda u = xyzfunksiya kamayishini ko’rsatadi.
Skalyar maydon gradienti. Gradientni invariant aniqlash 
u = u(x, u, z) differentsiallanuvchi funksiya bilan berilgan skalyar 
nuqtadagi gradienti deb, gradu bilan belgilanuvchi vektorga 
aytilib, uning proeksiyalari vazifasini shu funksiyaning xususiy hosilalari qiymatlari, 
𝑘⃗ (3) 
ksiyalari M (x, u, z) nuqtani tanlashga bog’liq bo’ladi va shu 
nuqtaning koordinatalari o’zgarishi bilan o’zgaradi. Binobarin, u(x, u
lyar maydonning har bir nuqtasiga ma’lum bir vektor 
Gradientning ta’rifidan foydalanib, 𝑙⃗ yo’nalish bo’yicha hosilani ifodalovchi (2) 
formulani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin: 
𝛾 𝚥⃗ + cos 𝛾 𝑘⃗ + 𝑙⃗yo’nalishdagi birlik vektor. Demak, berilgan 
yo’nalish bo’yicha hosila funksiya gradienti shu u yo’nalishning𝑙⃗ birlik vektori ko’paytmasiga 
lyar ko’paytma ta’rifidan foydalanib, (3.2) formulani 
𝜕𝑢
𝜕𝑙
= |𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢| ∙ 𝑙⃗ cos 𝜑 
ko’rinishda ifodalash mumkin, bunda 𝜑— birlik vektor 𝑙⃗
0
bilan gradient orasidagi burchak (89
bo’lgani uchun 
ndan yo’nalish bo’yicha hosila cos 𝜑 = 1bo’lganda, ya’ni
iymatga erishadi. Shu bilan birga bu eng katta qiymat |𝑔𝑟𝑎𝑑𝑢| ga teng, ya’ni bu holda
) + ( ) + ( ) . (3.4) 
| kattalik hosilaning M nuqtadagi mumkin bo’lgan eng katta qiymati 
ning yo’nalishi esa M nuqtadan chiquvchi shunday nurning yo’nalishi bilan mos 
tushadiki u bo’ylab funksiya hammasidan ko’ra tezrok, o’zgaradi, ya’ni gradientning yo’nalishi 
funksiyaning eng tez ortishidagi yo’nalishidir. Bu yuqorida keltirilgan grad
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
susiy hosilalarning va yo’naltiruvchi kosinuslarning topilgan qiymatlarini (2) 
)
−
26
3
funksiya kamayishini ko’rsatadi. 
differentsiallanuvchi funksiya bilan berilgan skalyar 
bilan belgilanuvchi vektorga 
aytilib, uning proeksiyalari vazifasini shu funksiyaning xususiy hosilalari qiymatlari, 
nuqtani tanlashga bog’liq bo’ladi va shu 
u(x, u, z) funksiya bilan 
m bir vektor — shu funksiyaning 
yo’nalish bo’yicha hosilani ifodalovchi (2) 
tor. Demak, berilgan 𝑙⃗u 
birlik vektori ko’paytmasiga 
dient orasidagi burchak (89- 
bo’lganda, ya’ni𝜑 = 0 da eng katta 
ga teng, ya’ni bu holda 
nuqtadagi mumkin bo’lgan eng katta qiymati 
nuqtadan chiquvchi shunday nurning yo’nalishi bilan mos 
tushadiki u bo’ylab funksiya hammasidan ko’ra tezrok, o’zgaradi, ya’ni gradientning yo’nalishi 
o’nalishidir. Bu yuqorida keltirilgan gradientning koordinatalar 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
178 
sistemasidan foydalanilgan ta’rifi o’rniga endi boshqa, koordinatalar sistemasini tanlashga 
bog’liq bo’lmagan invariant ta’rifni berishga 
6 - T a ’ r i f . u(x,y,z)skalyar maydonning 
tezliginn ifodalovchi vektorga aytiladi.
Agar cos 𝜑 = −1 (𝜑 = 𝜋)
qiymat bo’ladi. Bu yo’nalishda (qarama
kamayadi. 
cos 𝜑 =
ga teng. Endi skalyar maydonning gradienti yo’nalishi bilan satx sirtlari or
o’rganamiz. 
u = u ( x , u , g ) funksiyaning maydonning har bir nuqtasidagi gradientining 
nuqtadan o’tuvchi skalyar maydon
mos tushishini isbotlaymiz. Buning 
shakl). Bu nuqtadan o’tuvchi
= u ( x
0
, u
0
, z
0
). 
M
0
(x
0
,u
0
, z
0
) nuqtadan shu tekislikka o’tkazilgan normalining tenglamasini tuzamiz:
Bundan, 
proeksiyalarga ega bo’lgan normalning yo’naltiruvchi vektori 
z
0
) nuqtadagi gradienti bo’ladi.
Shunday qilib, har bir nuq
urinma tekislikka perpendikulyar bo’ladi, ya’ni uning tekislikka proeksiyasi nolga teng. 
berilgai nuqtadan o’tuvchi satx sirti
teng. Yaqqollik uchun olingan natijani geometrik jihatdan tasvirlaymiz (91
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
sistemasidan foydalanilgan ta’rifi o’rniga endi boshqa, koordinatalar sistemasini tanlashga 
bog’liq bo’lmagan invariant ta’rifni berishga imkon beradi. 
skalyar maydonning gradienti deb, bu maydon o’zgarishining eng katta 
tezliginn ifodalovchi vektorga aytiladi. 
)bo’lsa, u xolda yo’nalish buiicha hosila |grad
qiymat bo’ladi. Bu yo’nalishda (qarama-qarshi yo’nalishda) u funksiya xammasidan tezro
= 0 (𝜑 = ± )bo’lsa yo’nalish bo’yicha hosila nol
ga teng. Endi skalyar maydonning gradienti yo’nalishi bilan satx sirtlari or
funksiyaning maydonning har bir nuqtasidagi gradientining 
nuqtadan o’tuvchi skalyar maydonning satx tekisligiga o’tkazilgan normalning yo’nalishi bilan 
i isbotlaymiz. Buning uchun ixtiyoriy M
0
(x
0
, y
0
z
0
) nuqtani tanlab olamiz (90
vchi satx sirti tenglamasi u( x , u , z ) =u
0 
ko’rinishda yoziladi, bunda 
) nuqtadan shu tekislikka o’tkazilgan normalining tenglamasini tuzamiz:
proeksiyalarga ega bo’lgan normalning yo’naltiruvchi vektori u(x,y
,
z) 
nuqtadagi gradienti bo’ladi. 
qtadagi gradient berilgan nuqtadan o’tuvchi sat
urinma tekislikka perpendikulyar bo’ladi, ya’ni uning tekislikka proeksiyasi nolga teng. 
berilgai nuqtadan o’tuvchi satx sirtiga urinma bo’lgan istagan yo’nalish bo’yicha hosila nolga 
teng. Yaqqollik uchun olingan natijani geometrik jihatdan tasvirlaymiz (91
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
sistemasidan foydalanilgan ta’rifi o’rniga endi boshqa, koordinatalar sistemasini tanlashga 
deb, bu maydon o’zgarishining eng katta 
grad 𝑢|ga teng eng kichik 
funksiya xammasidan tezroq 
yo’nalish bo’yicha hosila nol
ga teng. Endi skalyar maydonning gradienti yo’nalishi bilan satx sirtlari orasidagi bog’lanishni 
funksiyaning maydonning har bir nuqtasidagi gradientining yo’nalishi shu 
ning satx tekisligiga o’tkazilgan normalning yo’nalishi bilan 
nuqtani tanlab olamiz (90-
ko’rinishda yoziladi, bunda u
0
) nuqtadan shu tekislikka o’tkazilgan normalining tenglamasini tuzamiz: 
) funksiyaning M
0
(x
0
,u
0
, 
tadagi gradient berilgan nuqtadan o’tuvchi sath sirtiga o’tkazilgan 
urinma tekislikka perpendikulyar bo’ladi, ya’ni uning tekislikka proeksiyasi nolga teng. Demak, 
lish bo’yicha hosila nolga 
teng. Yaqqollik uchun olingan natijani geometrik jihatdan tasvirlaymiz (91-shakl). Buning uchun 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
179 
M
0
(x
0
,u
0
, z
0
) nuqtada grad
nuqta—i(x, u, z)=u
0 
satx sirti bila
𝜑 < 𝑏𝑜’𝑙𝑔𝑎𝑛𝑑𝑎 
|grad
𝜑 = 𝑏𝑜’𝑙𝑔𝑎𝑛𝑑𝑎 
= 0 
chunki bu holda 𝑙⃗ yo’nalish sath sir
3) 
grad𝑢 ∙ 𝑢 = 𝑢 grad
4) 
grad 𝑓(𝑢) = 𝑓`(𝑢)grad
Bu xossalar funksiyaning hosilasini topish qoidalari bi
M i s o l 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 funksiya
Ye ch i sh . Avval hususiy hosilalarni hisoblaymiz:
=
=
=
=
=
=
(3) formulaga muvofiq ixtiyoriy 
Skalyar maydonning sath 
radiusi bo’ylab yo’nalgan bo’ladi, shu bilan birga
|grad𝑢| =
+
+
=
ya’niu funksiya o’sishining eng katta tezligi 1 ga teng.
4. Vektor maydoni 
Ko’pgina masalalarni yechishda skalyar kattaliklardan tashqari vektor kattaliklarga ham 
murojaat qilishga to’g’ri keladi. Agar skalyar kattalik o’zining son qiymati bilan to’la ifodalansa, 
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
nuqtada gradu vektorni va bu vektor diametr bo’ladigan sfe
satx sirti bilan urinish nuqtasi. Quyidagilar ravshan:
grad 𝑢| ∙ cos 𝜑 = 𝑀 𝑀⃗ ; 
, 
yo’nalish sath sirtiga o’tkazilgan urinmaning yo’nalishi bilan mos tushadi:
= |grad 𝑢|, 𝑏𝑢𝑛𝑑𝑎 𝜑 =
chunki bu xolda 𝑙⃗ yo’nalish normalni
sirtiga o’tkazilgan 
gradu ning yo’nalishiga mos keladi.
Funksiya 
gradientining 
ba’zi 
x
ko’rsatamiz: 
1) 
grad𝐶𝑢 = 𝐶grad𝑢bunda 
kattalik. 
2) 
grad(𝑢 + 𝑢 ) = grad
grad𝑢 + 𝑢 grad𝑢 ; 
( )grad 𝑢 
Bu xossalar funksiyaning hosilasini topish qoidalari bilan mos teshishi ravshan.
funksiyaning M (x, y, z) nuqtadagi gradientini hisoblan
hususiy hosilalarni hisoblaymiz: 
= . 
= . 
= . 
(3) formulaga muvofiq ixtiyoriy M (x, y,z)nuqtadagi gradientning ifodasi quyidagicha 
grad 𝑢 =
𝑥
𝑢
𝚤⃗ +
𝑦
𝑢
𝚥⃗ +
𝑧
𝑢
𝑘⃗ 
sirtlari kontsentrik sferalardan iborat bo’lgani uchun grad
radiusi bo’ylab yo’nalgan bo’ladi, shu bilan birga 
=
=
= 1. 
o’sishining eng katta tezligi 1 ga teng. 
ina masalalarni yechishda skalyar kattaliklardan tashqari vektor kattaliklarga ham 
murojaat qilishga to’g’ri keladi. Agar skalyar kattalik o’zining son qiymati bilan to’la ifodalansa, 
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
vektorni va bu vektor diametr bo’ladigan sferani yasaymiz, M
0
urinish nuqtasi. Quyidagilar ravshan: 
shi bilan mos tushadi: 
0 , 
yo’nalish normalning yoki sath 
ning yo’nalishiga mos keladi. 
Funksiya 
gradientining 
ba’zi 
xossalarini 
bunda 
𝐶- 
o’zgarmas 
grad𝑢 + grad𝑢 , 
lan mos teshishi ravshan. 
i hisoblang. 
nuqtadagi gradientning ifodasi quyidagicha bo’ladi: 
sirtlari kontsentrik sferalardan iborat bo’lgani uchun gradu uning 
ina masalalarni yechishda skalyar kattaliklardan tashqari vektor kattaliklarga ham 
murojaat qilishga to’g’ri keladi. Agar skalyar kattalik o’zining son qiymati bilan to’la ifodalansa, 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
180 
vektor kattalik uchun bu yetarli bo’lmaydi. Uni ifodalash uchun yana bu kattalikning yo’nalishini 
ham (masalan, tezlik, kuch) bilish zarur. Skalyar maydon tushunchasnga o’xshash vektor 
maydon tushunchasi ham kiritiladi.
7-T a ‘r i f. Har bir M nuqtasiga biror 
fazo) vektor maydon deyiladi.
Kuch maydoni (og’irlik kuch
R = R(x, y, z), Q= Q(x, y
Shunday qilib, bunday yozish mumkin:
𝛼⃗ = 𝛼⃗(𝑀) = 𝛼⃗(𝑥, 𝑦, z) = 𝑃
Agar ‘, Q, R— o’zgarmas kattaliklar bo’lsa, 
vektor maydon bir jiksli deyiladi, masalan, og’irlik kuchi maydoni bir jinslidir.
Agar maydon tekislikda berilgan bo’lsa, ya’ni uning proeksiyalaridan biri nolga teng 
bo’lib, kolgan proeksiyalari esa teg
oqayotgan suyuqlikning tezliklari may
faqat M nuqtaning vaziyatiga bog’liq bo’ladigan va vaqtga bog’liqbo’lmaydigan 
statsionar maydonlarni qarab chiqamiz.
Agar fazoda Oxyz koordinatalar sistemasi kiritilsa, 
z koordinatalarga ega bo’ladi va 
𝛼⃗ = 𝛼⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧).𝛼⃗vektorning koordinatalar o’qidagi proeksiyalarini 
belgilaymiz. ular ham koordinata
koordinataga bog’liq bo’lmasa, u holda 
𝛼⃗(𝑥, 𝑦) = 𝑃(𝑥, 𝑦)𝚤⃗ + 𝑄(𝑥, 𝑦
5. V e k t o r c h i z i q l a r . V e k t o r n a y c h a l a r i .
8-Ta‘rif.𝛼⃗(𝑀)vektor maydonning 
xar bir nuqtasida urinmaning yo’nalishi shu nuqtaga mos kelgan 
yo’nalishi bilan bir xil bo’ladi.
Aniq maydonlarda vektor chiziqlar ma’lum fizik ma’noga 
𝛼⃗(𝑀)oqayotgan suyuqlikning tezliklari may
oqish chiziqlaribo’ladi, ya’ni
Agar 𝛼⃗(𝑀) elektr maydon bo’lsa, u holda vektor chiziqlar bu maydonning 
chiziqlari bo’ladi (92-shakl).
𝜎sirt bo’lagining nuqtalari orqali o’tuvchi xamma vektor chiziqlar to’plami 
naychalari deyiladn. 
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
kattalik uchun bu yetarli bo’lmaydi. Uni ifodalash uchun yana bu kattalikning yo’nalishini 
ham (masalan, tezlik, kuch) bilish zarur. Skalyar maydon tushunchasnga o’xshash vektor 
maydon tushunchasi ham kiritiladi. 
nuqtasiga biror 𝛼⃗ vektor mos qo’yilsa, fazoning biror qismi (yoki butun 
deyiladi. 
Kuch maydoni (og’irlik kuch 
Q(x, y, z), R= R(x, y, z). 
Shunday qilib, bunday yozish mumkin: 
𝑃𝚤⃗ + 𝑄𝚥⃗ + 𝑅𝑘⃗. 
o’zgarmas kattaliklar bo’lsa, u holda 𝛼⃗ vektor o’zgarmas bo’ladi, bunday 
vektor maydon bir jiksli deyiladi, masalan, og’irlik kuchi maydoni bir jinslidir.
Agar maydon tekislikda berilgan bo’lsa, ya’ni uning proeksiyalaridan biri nolga teng 
kolgan proeksiyalari esa tegi maydoni), elektr maydoni, elektromagnit maydon, 
oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydoni vektor maydonga misol bo’la oladi. Biz 
nuqtaning vaziyatiga bog’liq bo’ladigan va vaqtga bog’liqbo’lmaydigan 
statsionar maydonlarni qarab chiqamiz. 
koordinatalar sistemasi kiritilsa, uholda har bir 
koordinatalarga ega bo’ladi va 𝛼⃗ vektor bu koordinatalarning funksiyasi bo’ladi, ya’ni 
vektorning koordinatalar o’qidagi proeksiyalarini 
belgilaymiz. ular ham koordinatalarning funksiyalari hisoblanadi, ya’ni
koordinataga bog’liq bo’lmasa, u holda tekis (yassi) maydonni hosil qilamiz, masalan, 
𝑦)𝚥⃗ 
V e k t o r c h i z i q l a r . V e k t o r n a y c h a l a r i .
vektor maydonning vektor chizig’i deb shunday chiziqqa aytiladiki, uning 
xar bir nuqtasida urinmaning yo’nalishi shu nuqtaga mos kelgan 
lishi bilan bir xil bo’ladi. 
Aniq maydonlarda vektor chiziqlar ma’lum fizik ma’noga 
oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydoni bo’lsa, u holda vektor chiziqlar suyuqlikning 
bo’ladi, ya’ni suyuqlikning zarrachalari harakatlanayotgan chiziqlar 
elektr maydon bo’lsa, u holda vektor chiziqlar bu maydonning 
shakl). 
sirt bo’lagining nuqtalari orqali o’tuvchi xamma vektor chiziqlar to’plami 
Vektor chiziqlar tenglamasini keltirib chiqaramiz.
Faraz qilaylik, vektor maydon 
𝛼⃗ = 𝛼⃗(𝑀) = 𝑃𝚤⃗ + 𝑄
funksiya bilan aniklangan bo’lsin, bunda 
x , y , z koordinatalarning funksiyalari. Agar vektor 
chiziq ushbu 
𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡), 𝑧 = 𝑧(𝑡), 
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
kattalik uchun bu yetarli bo’lmaydi. Uni ifodalash uchun yana bu kattalikning yo’nalishini 
ham (masalan, tezlik, kuch) bilish zarur. Skalyar maydon tushunchasnga o’xshash vektor 
vektor mos qo’yilsa, fazoning biror qismi (yoki butun 
tor o’zgarmas bo’ladi, bunday 
vektor maydon bir jiksli deyiladi, masalan, og’irlik kuchi maydoni bir jinslidir. 
Agar maydon tekislikda berilgan bo’lsa, ya’ni uning proeksiyalaridan biri nolga teng 
i maydoni), elektr maydoni, elektromagnit maydon, 
doni vektor maydonga misol bo’la oladi. Biz 𝛼⃗ vektor 
nuqtaning vaziyatiga bog’liq bo’ladigan va vaqtga bog’liqbo’lmaydigan 𝛼⃗ = 𝛼⃗(𝑀) 
har bir M nuqta ma’lum x, y, 
vektor bu koordinatalarning funksiyasi bo’ladi, ya’ni 
vektorning koordinatalar o’qidagi proeksiyalarini R, Q, R bilan 
larning funksiyalari hisoblanadi, ya’ni u shu 
hosil qilamiz, masalan, 
deb shunday chiziqqa aytiladiki, uning 
xar bir nuqtasida urinmaning yo’nalishi shu nuqtaga mos kelgan 𝛼⃗(𝑀) vektorning 
Aniq maydonlarda vektor chiziqlar ma’lum fizik ma’noga ega bo’ladi. Agar 
holda vektor chiziqlar suyuqlikning 
likning zarrachalari harakatlanayotgan chiziqlar bo’ladi. 
elektr maydon bo’lsa, u holda vektor chiziqlar bu maydonning kuch 
sirt bo’lagining nuqtalari orqali o’tuvchi xamma vektor chiziqlar to’plami vektor 
keltirib chiqaramiz. 
𝑄𝚥⃗ + 𝑅𝑘⃗ 
funksiya bilan aniklangan bo’lsin, bunda P , Q , R lar 
koordinatalarning funksiyalari. Agar vektor 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
181 
parametrik tenglamaga ega bo’l
yo’naltiruchi vektori proeksiyalari 
proportsional bo’ladi. 
𝛼⃗(𝑀) vektorning va vektor chiziqtsa urinma qilib yo’naltirilgan vektorning kollenearlik shartini 
yozib, quyidagini hosil qilamiz:
=
=
(5) tenglamalar sistemasi 
sistemasini ifodalaydi. 
Shunday qilib, 𝛼⃗(𝑀) maydonning vektor chiziqlarini topish haqidagi masala (5) sistemadagi 
integral egri chiziqlarni topishga teng kuchli.
(5) tenglamalar 𝛼⃗(𝑀)maydoning
M i s o l. Maydonning vektor chiziqlarini toping:
𝛼⃗(𝑀) = 𝑥𝚤⃗ + 𝑦𝚥⃗ + 𝑧𝑘⃗. 
Y e c h i s h . Vektor chiziqlarning differensial tenglamalari bunday ko’rinishga ega:
yoki 
Bu sistemani integrallab, hosil qilamiz:
bundan: y=C
1
x, z=C
2
x, 
bunda C
1
, C
2
— ixtiyoriy doimiydir.
Koordinatalar boshidan chiqayotgan nurlar vektor chiziqlari bo’lishi ravshan. Bu chiziqlarning 
kanonik tenglamalari bunday ko’rinishga ega:
6. 
Sirt orqali o’tadigan vektor maydon oqimi. Uning tezliklar maydonidagi 
fizik ma’nosi 
Faraz qilaylik, O x y z fazoning 
𝑎⃗ (M) = R ( x , y , g ) 𝚤⃗+ Q ( x , y
vektor maydon berilgan bo’lsin, bunda 
uzluksiz bo’lgan funksiyalar.
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
parametrik tenglamaga ega bo’lsa, u holda bu chiziqda o’tka
chi vektori proeksiyalari x'(t)
, 
y'(t),z'(t) hosilalarga yoki dx
vektorning va vektor chiziqtsa urinma qilib yo’naltirilgan vektorning kollenearlik shartini 
osil qilamiz: 
( 5 )
(5) tenglamalar sistemasi 𝛼⃗(𝑀) maydonning vektor chiziqlari oilasi differensial tenglamalari 
maydonning vektor chiziqlarini topish haqidagi masala (5) sistemadagi 
larni topishga teng kuchli. 
maydoningvektor chiziqlari differentsial tenglamalari
M i s o l. Maydonning vektor chiziqlarini toping: 
Vektor chiziqlarning differensial tenglamalari bunday ko’rinishga ega:
𝑑𝑥
𝑥
=
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑑𝑧
𝑧
⎩
⎨
⎧
𝑑𝑥
𝑥
=
𝑑𝑦
𝑦
,
𝑑𝑥
𝑥
=
𝑑𝑧
𝑧
.
Bu sistemani integrallab, hosil qilamiz: 
ln|𝑦| = ln|𝑥| + ln 𝐶 , 
ln|𝑧| = ln|𝑥| + ln 𝐶 , 
ixtiyoriy doimiydir. 
Koordinatalar boshidan chiqayotgan nurlar vektor chiziqlari bo’lishi ravshan. Bu chiziqlarning 
bunday ko’rinishga ega: 
𝑥 =
𝑦
𝐶
=
𝑧
𝐶
Sirt orqali o’tadigan vektor maydon oqimi. Uning tezliklar maydonidagi 
fazoning V soxasida 
Q ( x , y , z ) 𝚥⃗ + R (a, y , z ) 𝑘⃗ 
vektor maydon berilgan bo’lsin, bunda R ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y
uzluksiz bo’lgan funksiyalar. 
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
olda bu chiziqda o’tkazilgan urinmaning 
dx, dy, dzdifferensiallarga 
vektorning va vektor chiziqtsa urinma qilib yo’naltirilgan vektorning kollenearlik shartini 
maydonning vektor chiziqlari oilasi differensial tenglamalari 
maydonning vektor chiziqlarini topish haqidagi masala (5) sistemadagi 
ferentsial tenglamalari deyiladi. 
Vektor chiziqlarning differensial tenglamalari bunday ko’rinishga ega: 
Koordinatalar boshidan chiqayotgan nurlar vektor chiziqlari bo’lishi ravshan. Bu chiziqlarning 
Sirt orqali o’tadigan vektor maydon oqimi. Uning tezliklar maydonidagi 
z ) , R ( x , y , z ) — shu sohada 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
182 
Bu sohada orientirlangan 
yo’nalishi 
𝑛⃗
0
= cos a *𝚤⃗+ cosβ𝚥⃗+ cos y * 
birlik vektor orqali aniqlansin, bunda a,β ,y
𝑛⃗
0
ning koordinatalar o’qlari bilan tashkil qilgan burchaklari.
9-Ta‘rif.𝑎⃗ (M) vektorning
integraliga aytiladi: 
P =∬ R(x, y, z) dydz+ Q(x, y, z) dzdx
O 
(5.1) formulami
P =∬ R(x, y, z) cos 𝑎+ Q(x, y, z) 
ko’riiishda yoki yanada soddaroq
P =∬
𝑎⃗ ∗ 𝑛⃗
0
d 
ko’rinishda yozish mumkin, chunki 
Bu yerda d 𝜎 ifoda 𝜎 sirt yuzining elementi. (5. 2) formula 
vektor yozuvida ifodalaydi.
Vektor maydon oqimining fizik ma’nosini aniqlaymiz.
Faraz qilaylik, a ( M ) vektor oqayotgan suyu
aniqlasin. Bu tezlik vektori xar bir 
yo’nalish, vektor chiziklarp esa suyuqlikning oqim chiziqlari bo’ladi (93
orqali vaqt birligi ichida oqib o’tadigan
Suyuqlik miqdorini hisoblaymiz. Buning uchun sirtda M nuqtani va sirtning 
qilamiz. 
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
Bu sohada orientirlangan a sirtni olamiz, uning har bir nuqtasida normalning musbat 
+ cos y * 𝑘⃗ 
birlik vektor orqali aniqlansin, bunda a,β ,y— normal 
ning koordinatalar o’qlari bilan tashkil qilgan burchaklari. 
(M) vektorningѲ sirt orqali o’tuvchi P o q i m i deb quyidagi ikkinchi tur sirt 
Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy. (5.1) 
Q(x, y, z) cosβ + R(x, y, z) cosy. 
ko’riiishda yoki yanada soddaroq 
(5.2) 
ko’rinishda yozish mumkin, chunki P cosa + Q cos𝛽 + Rcos𝛾=𝑎⃗ ∗
sirt yuzining elementi. (5. 2) formula a
vektor yozuvida ifodalaydi. 
Vektor maydon oqimining fizik ma’nosini aniqlaymiz. 
vektor oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonini 
aniqlasin. Bu tezlik vektori xar bir M nuqtada suyuqlikik zarrachasi
yo’nalish, vektor chiziklarp esa suyuqlikning oqim chiziqlari bo’ladi (93
orqali vaqt birligi ichida oqib o’tadigan 
Suyuqlik miqdorini hisoblaymiz. Buning uchun sirtda M nuqtani va sirtning 
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
ar bir nuqtasida normalning musbat 
deb quyidagi ikkinchi tur sirt 
𝑛⃗
0
. 
vektorning P oqimini 
likning tezliklari maydonini a sirt orqali 
nuqtada suyuqlikik zarrachasi intilayotgan 
yo’nalish, vektor chiziklarp esa suyuqlikning oqim chiziqlari bo’ladi (93- shakl). 𝜎sirt 
Suyuqlik miqdorini hisoblaymiz. Buning uchun sirtda M nuqtani va sirtning da elementini qayd 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
183 
Vaqt birligida bu element orqali oqib o’tgan suyuqlik miqdori asosi 
silindrning hajmi bilan aniqlanadi. Bu silindrning balandligi uning yasovchisini
vektoriga proeksiyalash yo’li bilan hosil qilinadi. Shuning uchun 
𝑎⃗ ∗ 𝑛⃗
0
d𝜎 
kattalikka teng bo’ladi. Vaqt birligi ichida butun 
suyuqlikning to’liq hajmi yoki suyuqlikik miqdori a bo’yicha integrallash natijasida 
hosil bo’ladi. 
∬ 𝑎⃗ ∗ 𝑛⃗0𝑑𝜎. 
Bu natijani (5.2) formula bilan 
chiqaramiz: 𝑎⃗ sirt orqali o’tayotgan tezlik vektori 
ichida sirt orientasiyalangan yo’nalishda oqib o’tgan suyuqlik 
ma’nosi ana shundan iborat:
bo’lgan hol ayniqsa katta qiziqish uyg’otadi. Bu holda 
fazoning P tashqi qismiga yo’naltirishga shartlashib olamiz (94 shakl) Normal tomoniga 
qarab xarakat sirtning tegishli 
normalning karama-qarshi tomoniga karab xarakat esa suyuqlik sirt
shu sohaga oqib kirishini anglatadi. 
P =∯ 𝑎⃗ ∗ 𝑛⃗0𝑑𝜎 
ko’rinishda belgilanadi va 
orasidagi farqni beradi. 
Bunda, agar P=0 bo’lsa,
suyuqlik oqib kiradi. 
Agar P>0 bo’lsa, u xolda 
oqib chiqadi. 
Agar P < 0 bo’lsa, bu hol qurdum (stok)lar borligini ko’rsatadi, ya’ni suyuqlik oqimdan 
uzoqlashadigan joylar borligini ko’rsatadi
(masalan, bug’lanadi). Shunday qilib, 
qurdumlarning umumiy q
Vektor maydon divergentsiyasi 
𝑎⃗ (M) = R ( x , y , z ) 𝚤⃗+ Q ( x , y
vektor maydon berilgan bo’lsin, 
differentsiallanuvchi funksiyalar.
Ta’rif. 𝑎⃗(M) vektor maydonning 
maydoniga aytiladi, u div 𝑎⃗
div 𝑎⃗ (M) =(
+
+
)
formula bilan aniqlanadi, bunda hususiy hosilalar 
Divergentsiyadan foydalanib, Ostrogradskiyning (6.1) formulasini vektor shaklida qayta yozish 
mumkin. 
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
Vaqt birligida bu element orqali oqib o’tgan suyuqlik miqdori asosi da 
silindrning hajmi bilan aniqlanadi. Bu silindrning balandligi uning yasovchisini
vektoriga proeksiyalash yo’li bilan hosil qilinadi. Shuning uchun silindrning xajmi
kattalikka teng bo’ladi. Vaqt birligi ichida butun 𝜎 sirt bo’yicha oqib o’tgan 
suyuqlikning to’liq hajmi yoki suyuqlikik miqdori a bo’yicha integrallash natijasida 
Bu natijani (5.2) formula bilan taqqoslab, bunday hulosa 
sirt orqali o’tayotgan tezlik vektori P oqimi shu sirt orqali vaqt birligi 
ichida sirt orientasiyalangan yo’nalishda oqib o’tgan suyuqlik 
ma’nosi ana shundan iborat:𝜎 sirt fazoning bir u sohasini chegaralovchi yopiq sirt 
bo’lgan hol ayniqsa katta qiziqish uyg’otadi. Bu holda 𝑛⃗
0
normal vektorini doim 
fazoning P tashqi qismiga yo’naltirishga shartlashib olamiz (94 shakl) Normal tomoniga 
qarab xarakat sirtning tegishli joyida suyuqlik 𝜔 sohadan oqib chi
qarshi tomoniga karab xarakat esa suyuqlik sirt
anglatadi. 𝜎yopiq sirt bo’yicha oliigan integralning o’zi esa
ko’rinishda belgilanadi va 𝜔 sirtdan oqib bilan o’nga oqib kirayotgan suyuqlilik 
0 bo’lsa, 𝜔 soxaga o’ndan qancha suyuqlik oqib chiqib ketsa, shuncha 
Agar P>0 bo’lsa, u xolda 𝜔 sohadan o’ngga oqib kiradigan suyuqlikdan ko’proq suv 
0 bo’lsa, bu hol qurdum (stok)lar borligini ko’rsatadi, ya’ni suyuqlik oqimdan 
uzoqlashadigan joylar borligini ko’rsatadi 
(masalan, bug’lanadi). Shunday qilib, ∮ ∮
𝑎⃗ ∗ 𝑛⃗
0
d𝜎 integral manbalarning va
qurdumlarning umumiy quvvatini beradi. 
Vektor maydon divergentsiyasi O x y z fazoning 𝝎 soxasida 
Q ( x , y , z ) 𝚥⃗ + R (a, y , z ) 𝑘⃗ 
vektor maydon berilgan bo’lsin, unda R ( x , u , z ) , Q ( x , u , z ) , R (
funksiyalar. 
vektor maydonning divergentsiyasi (uzoqlashuvchisi) deb 
𝑎⃗ (M) ko’rinishda yoziladi va 
)
(7.1) 
formula bilan aniqlanadi, bunda hususiy hosilalar M nuqtada hisoblanadi
rgentsiyadan foydalanib, Ostrogradskiyning (6.1) formulasini vektor shaklida qayta yozish 
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
da va yasovchisi l bo’lgan 
silindrning hajmi bilan aniqlanadi. Bu silindrning balandligi uning yasovchisini normal birlik 
silindrning xajmi 
sirt bo’yicha oqib o’tgan 
suyuqlikning to’liq hajmi yoki suyuqlikik miqdori a bo’yicha integrallash natijasida 
oqimi shu sirt orqali vaqt birligi 
ichida sirt orientasiyalangan yo’nalishda oqib o’tgan suyuqlik miqdorining fizik 
oning bir u sohasini chegaralovchi yopiq sirt 
normal vektorini doim 
fazoning P tashqi qismiga yo’naltirishga shartlashib olamiz (94 shakl) Normal tomoniga 
sohadan oqib chiqishini anglatadi, 
qarshi tomoniga karab xarakat esa suyuqlik sirtning tegishli joyida 
yopiq sirt bo’yicha oliigan integralning o’zi esa 
sirtdan oqib bilan o’nga oqib kirayotgan suyuqlilik 
ancha suyuqlik oqib chiqib ketsa, shuncha 
oqib kiradigan suyuqlikdan ko’proq suv 
0 bo’lsa, bu hol qurdum (stok)lar borligini ko’rsatadi, ya’ni suyuqlik oqimdan 
integral manbalarning va 
R ( x , u , z ) , Q ( x , u , z ) , R ( x , y , z ) funksiyalar 
deb M nuqtaning skalyar 
isoblanadi. 
rgentsiyadan foydalanib, Ostrogradskiyning (6.1) formulasini vektor shaklida qayta yozish 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
184 
∬
𝑎⃗ 𝑛⃗
0
d𝜎 =∭ 𝑑𝑖𝑣 𝑎 ⃗ (𝑀
Uni bunday ifodalash mumkin: 
sirt tashqi 𝑛⃗ normali yo’nalishida orientirlangan) 
chegaralangan hajm bo’yicha may
teng. 
Divergentsiyani hisoblashda quyidagi xossal
1. div(𝑎⃗(M)+𝑏⃗(M))= div 
2. divC𝑎⃗(M)=Cdiv𝑎⃗(M), bunda S 
3. div u(M) 𝑎⃗(M)=u(M)div
bundai ( M ) — skalyar maydonni aniqlovchi funksiya.
1. Divergensiyaning invariant ta’rifi. 
koordinata o’qlarini tanlash bilan bog’li
foydalanib, divergensiyaning koordinatalar o’qlarini tanlash bilan bog’liq; bo’lmagan 
boshqa ta’rifini berish mumkin.
Bu formulaning o’ng qism
ma’lum teoremaga ko’ra (10
funksiyasining 𝜔 sohaning biror 
uchun (7.2) Ostrogradskiy formulasini quyidagicha yozish mumkin:
∫ ∫
𝑎⃗ ∗ 𝑛⃗
0
d𝜎= Vdiv𝑎⃗(M
𝜎 
yoki 
div𝑎⃗(M1) = ∮ ∮
𝑎⃗ ∗ 𝑛⃗
0
𝜎 
Agar 𝜔 soha M nuqtaga tortilsa yoki 
Natijada limitga o’tib, quyidagini hosil qilamiz:
lim
→
div 𝑎⃗(M1) = lim
𝜎 
yoki 
div𝑎⃗(M1) = lim
→
∬ ⃗ ⃗
Endi divergentsiyaning koordinata o’klarini tanlash bilan bog’liq bo’lmagan invariant 
ta’rifini berish mumkin. 
10-T a ‘r i f.M nuqtada vektor maydonning 
yopiq sirt orqali o’tuvchi maydon oqimining shu sirt bilan chegaralangan qismning 
hajmiga nisbatining bu hajm nuqtaga tortilgandagi, ya’ni 
2. Divergensiyaning fizik ma’nosi. 
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
𝑀)𝑑𝜔 . (7.2)
𝜎𝜔 
Uni bunday ifodalash mumkin: yopiq sirt orqali o’tuvchi (bu 
normali yo’nalishida orientirlangan) 𝑎⃗ vektor maydon oqimi shu sirt bilan 
chegaralangan hajm bo’yicha maydon divergentsiyasidan olingan uch karrali integralga 
Divergentsiyani hisoblashda quyidagi xossalardan foydalaniladi: 
(M))= div 𝑎⃗(M)+div 𝑏⃗(M); 
(M), bunda S — o’zgarmas son; 
(M)=u(M)div𝑎⃗(M) +𝑎⃗(M) grad u(M), 
skalyar maydonni aniqlovchi funksiya. 
Divergensiyaning invariant ta’rifi. Divergensiyani (7.1) formula yordamida aniqlash 
koordinata o’qlarini tanlash bilan bog’liq. Ostrogradskiyning (7.2) formulasidan 
foydalanib, divergensiyaning koordinatalar o’qlarini tanlash bilan bog’liq; bo’lmagan 
boshqa ta’rifini berish mumkin. 
Bu formulaning o’ng qismida o’ch karrali integral to’ribdi. O’rta qiymat haqidagi 
ma’lum teoremaga ko’ra (10-bob, 2-§) bu integral V hajm bilan integral osti 
sohaning biror M
1
nuqtasidagi qiymati ko’paytmasiga teng. Shuning 
uchun (7.2) Ostrogradskiy formulasini quyidagicha yozish mumkin:
(M
1
)
⃗
0
d𝜎 
nuqtaga tortilsa yoki V→0 bo’lsa, u holda M
Natijada limitga o’tib, quyidagini hosil qilamiz: 
lim
→
∮ ∮
𝑎⃗ ∗ 𝑛⃗
0
d𝜎 
= lim
→
(7.3) 
Endi divergentsiyaning koordinata o’klarini tanlash bilan bog’liq bo’lmagan invariant 
nuqtada vektor maydonning divergentsiyasi Deb, 
vchi maydon oqimining shu sirt bilan chegaralangan qismning 
hajmiga nisbatining bu hajm nuqtaga tortilgandagi, ya’ni V→0 dagi limit
Divergensiyaning fizik ma’nosi. (7.3) divergentsiya tushunchasiga fizik talqin beramiz.
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
vektor maydon oqimi shu sirt bilan 
don divergentsiyasidan olingan uch karrali integralga 
(7.1) formula yordamida aniqlash 
. Ostrogradskiyning (7.2) formulasidan 
foydalanib, divergensiyaning koordinatalar o’qlarini tanlash bilan bog’liq; bo’lmagan 
ida o’ch karrali integral to’ribdi. O’rta qiymat haqidagi 
hajm bilan integral osti 
nuqtasidagi qiymati ko’paytmasiga teng. Shuning 
uchun (7.2) Ostrogradskiy formulasini quyidagicha yozish mumkin: 
M
1
nuqta Mga intiladi. 
Endi divergentsiyaning koordinata o’klarini tanlash bilan bog’liq bo’lmagan invariant 
Deb, M nuqtani o’rab olgan 
vchi maydon oqimining shu sirt bilan chegaralangan qismning V 
dagi limitiga aytiladi. 
(7.3) divergentsiya tushunchasiga fizik talqin beramiz. 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
185 
Faraz qilaylik, 𝜔 sohada oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydoni 
(M) vektorning𝜎 yopiq sirt orqali tashki normal yo’nalishidagi 
chegaralangan vaqt birligi ichida oqib kirgan va oqib chiqqan suyuqlik miqdorlari orasidagi 
ayirmani ifodalashi aniqlangan edi.
Ushbu 
nisbat xajm birligiga bo’lingan suyuqlik mi
yoki qurdum (P<0 bo’lganda) o’rtacha hajmiy 
(7.3) divergentsiya bo’lib, y berilgan nuqtadagi suyuqlik sarfining hajm birligiga nisbatini 
ifodalaydi. 
Agar div 𝑎⃗(M)> 0 bo’lsa, suyuqlik
orqali tashqi normal yo’nalishi da suyuqlik oqib kirganidan ko’proq oqib chiqib ketadi. Bunda 
nuqta manba bo’ladi. 
Agar div 𝑎⃗(M)< 0 bo’lsa, u holda
qurdumning quvvatini ifodalaydi.
Agar div 𝑎⃗(M)= 0 bo’lsa, u xolda 
yozilgan Ostrogradskiy teoremasi oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonida yopiq
oquvchi suyuqlikning oqimi hamma manbalar va qurdumlar quvvatlarining yig’indisiga teng 
bo’lishini, ya’ni qaralayotgan sohada vaqt birligi ichida paydo bo’ladigan suyuqlilik miqdoriga 
teng bo’lishini ifodalaydi. 
Vektor maydonning yopiq sirt bo’yicha oqimini hajm b
ifodalash haqidagi Ostrogradskiy teoremasi
YOPIQ
sirt bo’yicha olingan sirt integrali (vektor maydon oqimi) hamda shu sirt bilan 
chegaralangan fazoviy soha bo’yicha olingan uch karrali integral orasidagi bog’lanishni 
aniqlaymiz. 
Teorema.Agar 
𝑎⃗ (M) = R ( x , y , g ) 𝚤⃗+ Q ( x , y
vektor maydon proeksiyalari
birga uzluksiz bo’lsa, u
chegaralangan 𝜎) hajm bo’yicha uch karrali integralni quyidagi formula bo’yicha shakl 
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
sohada oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydoni 𝑎⃗
yopiq sirt orqali tashki normal yo’nalishidagi P
chegaralangan vaqt birligi ichida oqib kirgan va oqib chiqqan suyuqlik miqdorlari orasidagi 
qlangan edi. 
𝑃
𝑉
=
∮ ∮
𝑎⃗ ∗ 𝑛⃗𝑑𝜎
𝑉
nisbat xajm birligiga bo’lingan suyuqlik miqdorini aniqlaydi, ya’ni manbaning (
yoki qurdum (P<0 bo’lganda) o’rtacha hajmiy quvvatini ifodalaydi. Bu nisbatning limiti
lim
→
∮ ∮
𝑎⃗ ∗ 𝑛⃗𝑑𝜎
𝑉
= div𝑎⃗(M) 
(7.3) divergentsiya bo’lib, y berilgan nuqtadagi suyuqlik sarfining hajm birligiga nisbatini 
suyuqlik sarfn musbat, ya’ni M nuqtani o’rab olgan cheksiz kichik sirt 
lishi da suyuqlik oqib kirganidan ko’proq oqib chiqib ketadi. Bunda 
< 0 bo’lsa, u holda"M nuqta qurdum bo’ladi. div 𝑎⃗(M) 
qurdumning quvvatini ifodalaydi. 
= 0 bo’lsa, u xolda M nuqtada na manba va na qurdum bo’ladi. vektor shaklida 
yozilgan Ostrogradskiy teoremasi oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonida yopiq
suyuqlikning oqimi hamma manbalar va qurdumlar quvvatlarining yig’indisiga teng 
bo’lishini, ya’ni qaralayotgan sohada vaqt birligi ichida paydo bo’ladigan suyuqlilik miqdoriga 
Vektor maydonning yopiq sirt bo’yicha oqimini hajm bo’yicha olingan integral orqali 
ifodalash haqidagi Ostrogradskiy teoremasi 
sirt bo’yicha olingan sirt integrali (vektor maydon oqimi) hamda shu sirt bilan 
chegaralangan fazoviy soha bo’yicha olingan uch karrali integral orasidagi bog’lanishni 
Q ( x , y , z ) 𝚥⃗ + R (a, y , z ) 𝑘⃗ 
vektor maydon proeksiyalari 𝜔 sohada o’zining birinchi tartibli hususiy hosilasi bilan 
u holda 𝜎yopiq, sirt orqali 𝑎⃗ vektor oqmini shu sirt bilan 
hajm bo’yicha uch karrali integralni quyidagi formula bo’yicha shakl 
almashtirish mumkin: 
𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝚤⃗ + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝚥⃗ +
∭
+
+
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
𝑎⃗ (M) berilgan bo’lsin. 𝑎⃗ 
P oqimi shu sirt bilan 
chegaralangan vaqt birligi ichida oqib kirgan va oqib chiqqan suyuqlik miqdorlari orasidagi 
dorini aniqlaydi, ya’ni manbaning (P>0 bo’lganda) 
vvatini ifodalaydi. Bu nisbatning limiti 
(7.3) divergentsiya bo’lib, y berilgan nuqtadagi suyuqlik sarfining hajm birligiga nisbatini 
nuqtani o’rab olgan cheksiz kichik sirt 
lishi da suyuqlik oqib kirganidan ko’proq oqib chiqib ketadi. Bunda M 
( )
kattalik manbaning yoki 
nuqtada na manba va na qurdum bo’ladi. vektor shaklida 
yozilgan Ostrogradskiy teoremasi oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonida yopiq sirt orqali 
suyuqlikning oqimi hamma manbalar va qurdumlar quvvatlarining yig’indisiga teng 
bo’lishini, ya’ni qaralayotgan sohada vaqt birligi ichida paydo bo’ladigan suyuqlilik miqdoriga 
o’yicha olingan integral orqali 
sirt bo’yicha olingan sirt integrali (vektor maydon oqimi) hamda shu sirt bilan 
chegaralangan fazoviy soha bo’yicha olingan uch karrali integral orasidagi bog’lanishni 
ibli hususiy hosilasi bilan 
vektor oqmini shu sirt bilan 
hajm bo’yicha uch karrali integralni quyidagi formula bo’yicha shakl 
) + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑘⃗ 
( 6 . 1 )

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
186 
bu yerda integrallash 𝜎 
kazilgan normal fazoning tashqi kismiga yo’nalgan).
(6.1) formula Ostrogradskiy formulasi
M i s o l: Integralni qisoblang:
bunda𝜎 quyidagi 
x = 0, y = 0, z = 0, x+y + z
shakl). 
Yechish. Ostrogradskiy formulasidan foydalanib, quyidagini 
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
sirtning tashqi tomoni bo’yicha amalga oshiriladi (sirtga o’t
kazilgan normal fazoning tashqi kismiga yo’nalgan). 
skiy formulasi deyiladi. 
Integralni qisoblang: 
y + z =1 tekisliklar bilan chegaralangan piramidaning tashki tomoni (96
chish. Ostrogradskiy formulasidan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
bo’yicha amalga oshiriladi (sirtga o’t-
piramidaning tashki tomoni (96-
osil qilamiz: 

---

Special issue
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of
Education and Development
187 
Adabiyotlar ro’yxati: 
1. Сlaudio Сanuto, Anita Tabacco
2. I-part, 2008, II-part, 2010. 
3. W. WL.Chen “Linear algebra ”, London, Chapter 1
4. W.WL.Chen “Introduction to Fourier Series”, London, Chapter 1
5. W.WL.Chen “Fundamentales of Analysis”, London, Chapter 1
6. Soatov Yo U. Oliy matematika
7. Azlarov Т., Мansurov Х. Matematik analiz, 
8. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравне
Рады. Функции комплексного переменного. 
9. V.Ye.Shneyder, А.I.Slutskiy
10. Беклемишев. Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 
1984. 
11. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и ин
Наука, 1983. 
12. Piskunov N.S. Differensia
o’quv qo’llanma. Тoshkent
13. Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи. Выпуск 3. Часть 1. 
Неопределенные и определенные интегралы. 
14. Jo’rayev T., Sa’dullayev A., Xudoyberganov B., 
asoslari. Т.2.,Toshkent, “
ISSN: 2181
www.sciencebox.uz
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Analytical Journal of 
Education and Development
Anita Tabacco “Mathematical Analysis”, Italy, Springer, 
, 2010.
“Linear algebra ”, London, Chapter 1-12, 1983, 2008. 
W.WL.Chen “Introduction to Fourier Series”, London, Chapter 1-8, 2004, 2013.
W.WL.Chen “Fundamentales of Analysis”, London, Chapter 1-10, 1983, 2008.
Oliy matematika. Т., O’qituvhi, 1995. 1- 5 qismlar. 
Azlarov Т., Мansurov Х. Matematik analiz, - Тoishkent, O’qituvhi, 1
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. 
Рады. Функции комплексного переменного. - Наука, 1997. 
Slutskiy, А.S.Shumov. Qisqahaoliymatematikakursi
Беклемишев. Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: 
Piskunov N.S. Differensial va integral hisob. Oliy texnika o’quv yurtlari talabalari u
oshkent, O’qituvсhi, 1974, 1, 2-qism. 
Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи. Выпуск 3. Часть 1. 
Неопределенные и определенные интегралы. –М.: 2005. 
v T., Sa’dullayev A., Xudoyberganov B., Мansurov Х., Vorisov 
, “O’zbekiston”, 1999. 
ISSN: 2181-2624 
www.sciencebox.uz 
| 2022 "Modernization of education: problems and solutions"
Italy, Springer,
8, 2004, 2013. 
10, 1983, 2008. 
, 1-qism, 1989. 
ния. Кратные интегралы. 
Qisqahaoliymatematikakursi. Т., 1985., 2-qism. 
Беклемишев. Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: Наука, 
тегральное исчисление. М.: 
l va integral hisob. Oliy texnika o’quv yurtlari talabalari uсhun 
Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи. Выпуск 3. Часть 1. 
., Vorisov А. Oliy matematika