Misol va masalalar nazorat topshiriqlari


Download 7.3 Mb.
Pdf ko'rish
bet22/26
Sana15.12.2019
Hajmi7.3 Mb.
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   26
l - q
oo, 
\q\>\.
q
 = Ida  S„ = 
a + a +
... + 
a
 = 
na
,  lim 
= lim 
na -
 +oo, 
q
 = -Id a
Я - И 6  
И-ИО
S„ = a - a  + a - a + ...
  , ya’ni 
n
 juft bo‘lganda  S ,= 0   va  я  toq bo'lganda 
S„  = a . 
Shunday qilib, geometrik progressiya  [yig£indisi 
S
 = 
ga teng bo'ladi, 
\q\>l
  da  uzoqlashadi.  О  
l - q
Sonli  qatorlar quyidagi  xossalarga ega.
1°.  Agar 
qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi 
S
  ga teng bo‘lsa,
« = !
u  holda 
qator  ham  yaqinlashadi  va  uning  yig‘indisi 
A  S
  ga  teng
n=l
boiadi, bu yerda  1-ixtiyoriy son.

2“.  Agar  f x   va  2 X   qatorlar  yaqinlashuvchi  va  ularning  yig‘indilari
И=1 
И*>1
mos  ravishda 
St
  va 
S2
  ga  teng  bo‘Isa,  £ ( a, ±
6
„) qator  ham  yaqinlashadi  va
 
uning yig‘indisi 
S, ±
 S
2
  ga teng bo‘ladi.
3°.
  Agar  f x   qator yaqinlashuvchi  bo‘lsa,  bu  qatordan chekli  sondagi
H>1
birinchi  * ta   hadlami  tashlab  yuborish  natijasida  hosil  qilingan  f x   qator
 
ham  yaqinlashadi  va  aksincha,  agar  f x   yaqinlashuvchi  bo‘lsa,  bu  qatorga
ячк+1
chekli  sondagi  hadlami  qo‘shish  natijasida  hosil  qilingan  j>X qator  ham
л*1
yaqinlashadi.
88
  I X   qatordan  hosil  qilingan  r  =  f x   qatorga  uning 
n -q o ld ig ‘i
/■»+!
deyiladi.
1-natija.
  Agar  qator  yaqinlashuvchi  bo‘lsa,  uning  istalgan  qoldig'i
 
yaqinlashadi  va aksincha,  qoldig'i yaqinlashuvchi bo‘lgan har qanday  qator
 
yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2-natija.
  Agar qator yaqinlashuvchi bo‘Isa,  limr 
= 0
  bo‘ladi.
n

K*>
4.1 .2 .  1-teorem a 
{Koshi  kriteriyasi)
  J X  qator  yaqinlashish!  uchun
n=t
istalgan 
e
>0
  sonda  shunday 
N
 = 
N(e)
  nomer topilishi  vabarcha 
n > N,
/> = 
0
,l,
2
...
1
ar uchun  I 
|< 
e
  bo‘lishi zarur va yetarli.
2
-misol. 
qatomi yaqinlashishga tekshiring.
и*1 
П
00  J
®   Z ~   qatorga 
garmonik qator
 deyiladi.  Bu qatorning 
2n
  va  и-qism iy
 
fl
yig‘ indilari ayirmasini  qaraymiz:
-  
s„
  = —
 + —
+ . . . + — .
n
 +1 
n
 + 2 

n
Bunda  har  bir  qo‘shiluvchini  ulardan  kichik  bo‘lgan  —   kattalik  bilan
2n
almashtiramiz: 
S , - S
  > —  + —  + 

—  =

n  2 n 
2 n 
2 n
  2
Bu tengsizlik garmonik qator uchun 
p
 = 
n
  da Koshi  kriteriyasining
 
bajarilmasligini bildiradi.  Demak,  qator uzoqlashadi.  О
241

2-teorema
  (
qator  yaqinlashishining  zaruriy  alomati).
 
Agar  ]> X  qator
yaqinlashuvchi  bo‘Isa, u holda  Hma„ =0  bo‘ladi.
3-natija
  (
qator  itzoqlashishining  yetarli  alomati).  Agar 
n -*
 da
 
qatoming umumiy hadi nolga intilmasa,  u holda qator uzoqlashadi.
“ 
n2
3-misol.  jp—-----------   qatomi yaqinlashishga tekshiring.
«-i я  + Зя -  2
Berilgan qator uchun
w2
lima, = lim—;----------- = 1 * 0 .
.  "■*” 
n  +3n — 2
Qator uzoqlashishining zaruriy alomatiga ko‘ra bu qator uzoqlashadi.  О
4.1.3.  3-teorema 
(taqqoslash  alomati).
 
£ X  va  j>X  musbat  hadli
я*1 
n=I
qatorlar  berilgan  bo'Iib, 
n
  ning  biror  и
0

0
>
1
)  qiymatidan  boshlab  barcha
 
n>na
  lar  uchun 
an 
  tengsizlik  bajarilsin.  U   holda 
qatoming
yaqinlashuvchi  boiishidan  J X  qatoming  yaqinlashuvchi  bo‘lishi  kelib
я»1
chiqadi 
va 
f x  
qatoming  uzoqlashuvchi  bo‘lishidan 
qatoming
Пж\
 
W=l
uzoqlashuvchi bo‘lishi kelib chiqadi.
4-teorema
  (
taqqoslashning  limit  alomati).
 
Agar  musbat  hadli 
f x  
va
n-\
qatorlar uchun  lim— = 
A
  (0 < 
A <
 <»)  bo‘lsa,  u holda har  ikkala qator  bir
"”i 
К
vaqtda yaqinlashadi  yoki bir vaqtda uzoqlashadi.
5-teorema
  (
Dalam ber alomati).
 
Agar 
J x  
qator uchun  qandaydir 
n = n0
n=[
nomerdan  boshlab 
UmCl^L = l
  limit  mavjud  bo‘Isa,  u  holda 
/ < 1
  da  qator
a n
yaqinlashadi va  / > 
1
 da qator uzoqlashadi.
6-teorema
  (
Koshining  ildiz  alomati).
 
Agar 
f x  
qator  uchun  qandaydir
n=I
n = n0
  nomerdan  boshlab  lim
ф Г  = I
  limit  mavjud  b o isa ,  u  holda 
/ < 1
  da
qator yaqinlashadi va  />  Ida qator uzoqlashadi.
Izoh.
 
Dalamber  va  Koshining  ildiz  alomatlarida  / = 
1
  bo‘lganda  qator
 
yaqinlashishi  ham  uzoqlashishi  ham  mumkin.  Bunda qatoming yaqinlashishi
242

boshqa  yetarli  alomatlar bilan tekshiriladi.
7-teorem a 
{Koshining  integral  alomati).
  5 X   qatorning  hadlari  [1;+°°)
71*1
oraliqda  aniqlangan  musbat,  monoton  kamayuvchi  / ( * )   funksiyaning
 
x = l,
2
,...,K,...dagi  qiymatlaridan  iborat,  ya’ni  « ,=  / (
1
), 
аг
 = / (
2
),..., a, = /(и ),...
boisin.  U  holda  J/
(x)dx
  xosmos  integral  yaqinlashsa,  qator ham
 
1
+00
yaqinlashadi  va 
\f(x)dx
  xosmos  integral uzoqlashsa,  qator ham  uzoqlashadi.
1
4-misol.  Musbat hadli qatorlami  yaqinlashishga tekshiring:
во 

a? 
7 l l   —   1
D I - -Ц = ; 
2 )
e
-
«*
1
3" + Vw 
ft2
  + 5 
ti
3) 
4) 
± £ ;
12
 
и-i 
n\
T ;  
6
) ± ±   ( a >
0).
»-i2  v 
n  )
 
»-i 
n
  1)  j r —  yaqinlashuvchi  qatomi  olamiz.  Berilgan  qatorning  hadlari
n.
 1 3"
uchun
3" + V^  3 * ’
 
tengsizlik bajariladi.
U holda  taqqoslash alomatiga ko‘ra berilgan qator yaqinlashadi.
2) Berilgan va garmonik qatorlar hadlari nisbatlarining limitini topamiz:
2
л
- 1  
.. 
2n —
 

_
hm—--------
n
 = hm-------- = 
2
.
и  + 5и 
n
 
+ 5
Garmonik qator uzoqlashuvchi bo'lgani  uchun taqqoslashning limit
alomatiga ko‘ra berilgan qator uzoqlashadi.
3) Berilgan qatorda  a  = ~ ,  
=
U  holda
l i m ^ -  = lim(” + )) 
= ton—f = I < 1 .
Demak,  Dalamber alomatiga ko‘ra qator yaqinlashadi.
243

Qn 
(X
4) Berilgan qator  uchun 
= — , 
aHtl=
--------   va
«! 
(и +1)!
a„.. 
a
 
,  ,
lim-si- = lim—
---- - = lim----- = 0 < 1.
"■*“ 
an 
a” ■ (n
 +1)!  ”■*“ 

+1
Demak, Dalamber alomatiga ko‘ra qator yaqinlashadi.
5) Qatomi yaqinlashishga Koshining ildiz alomati bilan tekshiramiz:
l i m ^  = lims|— -f— '1  = Iim --f—
1  = — - Iimf 1 + —1  = 
«-*“^ 2”  v  n  J 
" - 2   l,  и  J 

«J
Demak,  qator uzoqlashadi.
6) 
(a  >
 0)  qatorga 
umumlashgan garmonik
 qator deyiladi. 
f t
Bu  qatorga  mos  [1;-н»)  oraliqda  aniqlangan,  uzluksiz,  monoton
kamayuvchi  /(*) = —   funksiyani olamiz. 
x“
U holda agar 
a  *
 1  da
” 

И-r
 
v‘”a

f(x )d x
 = limf —  = lim——

b-*“\xa
Bu integral  ar > Ida yaqinlashadi  va 
a  < 1
  da uzoqlashadi.
Demak,  Koshining  integral  alomatiga  ko‘ra  umumlashgan  garmonik 
qator 
a
 > Ida yaqinlashadi va  0< 
a
 < 1 da uzoqlashadi.
со 
2
a  = lbo ‘lganda  bu  qatordan  uzoqlashuvchi  V -   garmonik  qator  kelib
„.< n
chiqadi.  Shunday qilib,  umumlashgan garmonik qator 
a >
 Ida yaqinlashadi 
va 
0 < a
о
4.1.4. 
Ш
  Agar  qatorning  har  bir  musbat  hadidan  keyin  manfiy  had 
kelsa  va  har  bir  manfiy  hadidan  keyin  musbat  had  kelsa,  bu  qatorga 
ishora 
almashinuvchi
 qator deyiladi.
Ishora almashinuvchi qatorni 
(a„
 > 0)  kabi yozish mumkin.
R=1
7-teorema 
(Leybnits alomati
).  Agar 
qatorda 
{ a j
  ketma-ketlik
»=1
kamayuvchi, ya’ni 
> a„(n = 1,2,...)  va  lima, = 0  bo‘lsa,  u holda bu qator 
yaqinlashadi  va uning yig‘indisi  0
< S < a t
  tengsizlikni  qanoatlantiradi.
244

1 ) Ё ( - 1 Г - г - Ц г ;  
2)  z - )S-(— -• fr ;
»-1 
и ( и   +   1 ) 
-.1 
и
и*1 
/7+1 
и*=1 
fl
®   Ishora  almashinuvchi  qator  yaqinlashishga  Leybnits  alomati  bilan 
tekshiriladi.  Berilgan  qatorlar  uchun  Leybnits  alomatining  shartlarini 
tekshiraxniz.
1)  Berilgan qator uchun 
= ------— - .
n(n + 1)
Bunda
1 4  
1  
1  
1  
1  
о м -  
1
1 ) ---- r > -----
 > ----- г > ....> ----------->..., 
2 )  lim---------- r = 0.
1-2 
2 -3  
3 -4  
n(n + 1)2 
*-*“ n(n +1)
Demak,  qator yaqinlashadi.
2)  jr  cos(w + ^   qatomi 
kabi yozib olamiz.
»-I 
П 
.4-1 
n
5-misol.  Ishora almashinuvchi qatorlami  yaqinlashishga tekshiring:
U holda
1 4 1  1 


0 ч 


1

2

h m —  =  0 .
1 2   3 
n
Leybnits alomatiga ko‘ra qator yaqinlashadi.
3) 
qator uchun
»-i 
n
 + 1
14  3  4  5 
n + 2
 
- 4 ..  «+ 2
1
)
------> ..., 
2)  hm------ = 1*0.
2  3  4 

+ 1 
'- ~ w  + l
Demak,  Leybnits  alomatining ikkinchi sharti bajarilmaydi.  Shuning
uchun qator uzoqlashadi.
3"
4) 
a
  = —  had uchun 
n
3  9  27  81 
- > - > — < —  
1  4  27  64
bo‘ladi,  ya’ni 
n >
4  larda Leybnits  alomatining birinchi  sharti bajarilmaydi. 
Demak,  qator uzoqlashadi. 
о
4.1.5.  Ham musbat va ham  manfiy hadlardan tashkil  topgan  £>„  qatorga
n-\
о ‘zgaruvchi ishorali {ixtiyoriy hadli) qator
 deyiladi.
245

9   Agar  jrXI 
a„\
  qator  yaqinlashuvchi  bo‘lsa,  f x   qatorga 
absolut  yaqinlashuvchi
W-I 
/»*=!
qator
 deyiladi.
®   Agar  f x   qator  yaqinlashuvchi  bo‘lib,  XI 
a„
 I  qator  uzoqlashuvchi 
bo‘lsa,  f x   qatorga 
shartli yaqinlashuvchi
 qator deyiladi.
»r=l
8-teorema  (
o'zgaruvchi  ishorali  qator  yaqinlashishining  yetarlilik
gO 
OO
alomati).
  Agar  X I
a,
 I  qator  yaqinlashuvchi  bo‘lsa,  u  holda  £ X   qator  ham
л=1
yaqinlashadi, ya’ni absolut yaqinlashuvchi qator oddiy ma’noda ham 
yaqinlashuvchi bo‘ladi.
5-misol.  Qatorlami  shartli yoki absolut yaqinlashishga tekshiring:
«-i(lnlO) 
3
3)  Е Н Г  
7
- Ц ;  
4 ) 
± ( - i y
 
1
».i 
An
 + 5 ’ 
n
 In W/ilnw
®   1)  Qator  o'zgaruvchi  ishorali. 
a
  ning  har  qanday  qiymatida
lim-cos- a   =0  bo‘lgani  uchun  qator  yaqinlashishi  mumkin.  Bu  qator 
"-"(lnlO)"
*  

ncc
 I
hadlarining absolut qiymatlaridan tashkil topgan  X ~ —
qatomi qaraymiz.
и*i  (In 
10
)
ao 

.
Bu  qatorning  hadJari  £ - --------   qator  mos  hadlaridan  katta  bo‘lmaydi.
».i (In 10)”
ItflnTo)"  qator Koshining ildiz alomatiga ko‘ra yaqinlashadi:
lim J— -—  = lim—
<1.
"-“1/(In 10)" 
”-"ln l0
Demak,  У ^с<3—-  ^ qator yaqinlashadi.  U holda 8-teoremaga ko‘ra 
*-i  (In 10)"
berilgan qator absolut yaqinlashadi.
2) Qatorning yoyilmasini  yozamiz:
“  .  . ^  
n
 
1 2  

4
V(_|)  2  -- _ ----.----- j------1----- ----
^  
3" 
3  9  27  81
246

Demak,  qator o‘zgaruvchi  ishorali.
Bu qator hadlarining absolut qiymatlaridan tashkil topgan  ^-^-qatomi
w=i 3"
Dalamber alomati bilan yaqinlashishga tekshiramiz:
v  a»+i
 
г  (и +1) • 3" 
1
 
lim— = lim-—
--
 
a„
 

■ и 
3
X —  qator yaqilashdi.  Demak, berilgan qator absolut yaqinlashadi. 
a-1 3”
3) Qator ishora almashinuvchi.
Bu qator hadlari uchun Leybnits alomatining shartlarini tekshiramiz:
1Л  1 



1
1 ) - > — > — > ....> ------- >..., 
2)  hm— —  = 0.
9  13  17 
An+ 5
 
4« + 5
Demak,  berilgan  qator  yaqinlashadi.  Bu  qator  hadlarining  absolut
qiymatlaridan tashkil topgan  £ — ^— qator uzoqlashadi.
*-i 
An+ 5
Shunday qilib, berilgan qator shartli yaqinlashadi.
4) Berilgan qator uchun Leybnits  alomatining har ikkala sharti bajariladi:
1 ) -------1  ............................ > ....> --------- ^ = = > ..., 
2)  lim-------
\=
 
— = 0.
31n3vlnln3 
41n4vlnln4 
и1пил/1п1пи 
и In W in In л
Demak,  qator yaqinlashadi.

1
------ qatomi  yaqilashishga  Koshining  integral  alomati  bilan
п\ппыn\nn
tekshiramiz:
7  
dx
 
,.  r 
dx
i xlnWlnlnx  6~*" 3 x In Win In x
= fin in *= f,  - ^ = ^ = 1 ^ 7 * 4 =

xlnx 
J  
~Jt
= Нт2л/7| 
= 2л/1п1п(-н») -  2л/1п In3 = -и».
Ь—
lln ln ?
Bundan 
Y,
-------т =   qatoming uzoqlashishi kelib chiqadi.
nlnn^nlnn
Demak,  berilgan qator shartli yaqinlashadi.  О
247

4.1.1. 
Qatorlami yaqinlashishga tekshiring.  Yaqinlashuvchi  qatorning 
yig'indisini toping:
1) Z— -Ц
7

2) 
t -
 
1
Mashqlar
»-i 
n(n
 
+ 3) 
—i (2 
+
 5)(2/i + 7)
3> 
,■
  r h  
4)  S :  
1
n~i9n2
 + 21w + 10 
n-i4«2 + 4n —3
; ^ и 2(и +  1)2’ 
£ ( 2 и - 1 ) 2(2и + 1)г
л- i  
rr=t 
.Z у
•  4" + 5" 
00  1
^ ) Z 1 T9 ^ ;  
io)  Z ^ ;
Я- I  
I D  
« -
j
  z
11) Z ta f^ — ■); 
12)  l> ccfg f-^
»=i 

f t
  +   2 )  
п*л 
\ n
+ 3
' + 1,
4.1.2. Qatorlarni yaqinlashishga taqqoslash alomati bilan tekshiring:
«■l w  +1 
л=1 ln(w ■+■ 1)
3)  z f l - cos— ); 
4 ) 1 :  
1
и»]
2"
 / 
S?3"+I+2
4.1.3. 
Qatorlami yaqinlashishga taqqoslashning limit alomati  bilan 
tekshiring:
n
Г  I’
D Z ^ f f )  
2)  Z->//Jsinf—
n=i  v4/iy 
»=i
3)  Z 1 ^
;  
4 )  z i n f c l
я*
1
й  ч-4 я 
я
=1
  \  «
4.1.4.  Qatorlami  yaqinlashishga Dalamber alomati bilan tekshiring:

4.1.5.  Qatorlami yaqinlashishga Koshining ildiz alomati bilan
 
tekshiring:
3> i ( ^ P  
-
4.1.6. Qatorlami yaqinlashishga Koshining integral alomati bilan
 
tekshiring:
2 ) Ш
у  

4)  V ----------- ?----------- .
'   йпл/to^’ 
Й(Зи + 2)1п2(3« + 2)
4.1.7.  Qatorlami yaqinlashishga tekshiring:
2) Ь Г '
-Jn
  V« —1/ 
»-i5"+3
3) 
t - Щ
ф - ,
 
4 ) 
Ц & Ш
»“2  /  *  .  /IT 
^  Л*
+ л/и
5> I < £
j
 
6 ) Ш ?
7> l £
9
> S ; S V  
1 0 ) 1 ^ м й ^ '
4.1.8.  Qator yaqinlashishining yetarli alomati  asosida isbotlang:
1)  lim— = 0; 
2)  lim— — = 0.
'  
n[ 
™{2n)\
4.1.9.  Ishora almashinuvchi  qatorlami yaqinlashishga tekshiring:
D j l - i r i  
2)  X ( - l ) " ~ ;
».l 

"
’ К
й
с
д
 
4 ) p - , r ^ ’
s> p - ^  
6 , § <- |,' 5 -  
9
249

4.1.10. 
Qatorlami shartli  yoki  absolut yaqinlashishga tekshiring:
D I
3)  5X -1) ';

■1
5)  Ё ( - 1 ) ”
л=1
7)  Е ( - 1 ) ”
1
л-l 
ln(n +1) ’ 
и2 +3  . 
4w2 -1  ’
cos(n
 -1  

.
л2+ 5
4)  2 (-1 )"
1
»-1
 
(и + 1)1п(и + 1)’
8)  2X-l)"sin
10)  £ (-!)■
, 5-7-9-...-(2» + 3)
1-4-7-...-(З и -2)'
4.2. FUNKSIONAL  Q A TO RLA R
Funksional qatorlarning yaqinlashishi. Tekis yaqinlashuvchi
 
qatorlar. Darajali qatorlar.  Funksiyalarni darajali qatorga yoyish.
 
Qatorlarning taqribiy hisoblashlarga tatbiqi
4.2.1. 
X s R
  to‘plamda 
щ(х),иг(x),...,un(x),~.
  funksiyalar  aniqlangan 
bo‘lsin.  Bu  funksiyalardan  tuzilgan  ketma-ketlik 
X
  to‘plamda  berilgan 
funksional ketma-ketlik
 deyiladi-va  {и„(х)}  bilan belgilanadi.
8S 
X e R
  to ‘ pi amda  berilgan  {w„(x)}  funksional  ketma-ketlik  hadlaridan
tashkil  topgan  X X  M   ifodaga 
funksional  qator
  deyiladi.  Bunda
л=1
м,(д:),и2(х),..,мл(х),... -  
funksional 
qatorning  hadlari, 
un(x)~
 funksional 
qatorning 
umumiy hadi
 deb ataladi.
Agar 
t u j x )
  qatorda  xning  o ‘miga  ixtiyoriy 
x0 e X
  qiymat  qo‘yish
n=»l
natijasida  hosil  qilingan  2Х ,(х0)  sonli  qator  yaqinlashuvchi  (uzoqlashuvchi)
n=I
bo‘Isa  I X M   funksional  qatorga 
x„
  nuqtada 
yaqinlashuvchi
 (
uzoqlashuvchi
)
и=1
deyiladi.  Bunda 
xa
  nuqta  f X M   funksional  qatorning 
yaqinlashish

 
•  ’ 
»= i
(;
uzoqlashish

nuqtasi
 deb ataladi.
250

О  jr un (x) funksional  qatoming  barcha  yaqinlashish  nuqtalaridan  iborat
*4
bo'lgan 
X 0(X0 c :X )
  to‘plamga  funksional  qatoming 
yaqinlashish  sohasi 
deyiladi.
S   Agar  !> „ (*) qator  hadlarining  absolut  qiymatlaridan  tashkil  topgan 
qator yaqinlashuvchi  bo‘lsa, 
W   qatorga 
absolut yaqinlashuvchi
"-I
qator
 deyiladi.
<3)  Ayrim funksional qatorlaming yaqinlashish sohasi musbat hadli' 
qatorlar yaqinlashishining yetarli alomatlari bilan topiladi.
1-misol. Funksional qatorlaming yaqinlashish sohasini toping:
2 )± ~ (
г г ^ г -
я=1 
n
 
n*=l  ( 1  +  
X
  )


Download 7.3 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   18   19   20   21   22   23   24   25   26




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling