Moslangan manbali diskret nochiziqli Shredinger tenglamasi uchun sochilish nazariyasining teskari masalasi usuli

Moslangan manbali diskret nochiziqli Shredinger tenglamasi uchun sochilish nazariyasining teskari masalasi usuli
A.A.Reyimberganov, Sh.I.Otaboyev

Solitonsimon xususiy yechimlarga ega bо‘lgan nochiziqli xususiy xosilali differensial tenglamalar kо‘pchilik fizikaviy jarayonlarni ifodalaydi. Bunday tenglamalar orasida kompleks qiymatli funksiyaning nochiziqli xususiy xosilali differensial tenglamalari, masalan nochiziqli Shredinger tenglamasi muhim о‘rinni egallaydi.

Nochiziqli evolyusion tenglamalarga qо‘yilgan Koshi masalalarining yechimlarini sochilish nazariyasining teskari masalasi usullidan foydalanib topish masalasi matematika fizikaning muhim masalalaridan biridir. S.S.Gardner, J.M.Grin, M.D.Kruskal va R.M.Miuralar [ CITATION Gar67 \l 1033 ] nochiziqli evolyusion tenglamalarni sochilish nazariyasining teskari masalasi yordamida yechish usulining dastlabki kashfiyotchilari hisoblanadi.
M.J. Ablovits va J.F. Ladik [ CITATION Abl741 \l 1049 ],[ CITATION Abl71 \l 1049 ] tomonidan yangi sochilish masalasini kuyildi. Bu sochilish masalasi Zaxarov-Shabat tenglamalar sistemasining diskret varianti bо‘lib, u yordamida integrallanuvchi diskret tenglamalar tuzildi. Xususan, diskret MKDF, nochiziqli Shredinger tenglamasi, nochizikli avtodual zanjir va x.k. Bundan tashqari bu g‘oyani chekli-ayirmali tenglamalarga ham tadbiq qilish mumkinligi kо‘rsatildi.[ CITATION Abl741 \l 1049 ],[ CITATION Abl71 \l 1049 ],[ CITATION Abl76 \l 1049 ],[CITATION Dem11 \l 1049 ],[ CITATION Dem12 \l 1049 ],[ CITATION Dem14 \l 1049 ] ishlarda diskret nochiziqli Shredinger tenglamasini turli xil funksiyalar sinfida teskari masalalar usulida integrallash о‘rganilgan.
Ushbu
(1)
(2)
(3)
tenglamalar sistemasini
(4)
shart bilan qaraymiz. Bu yerda boshlang‘ich funksiya kuyidagi shartlarni kanoatlantiradi:

1. 
   . (5)
   

bо‘lsin.
2) da (2) va (3) tenglamalar sistemasi cheklita cheklita xos kiymatga ega bо‘lsin.
Qaralayotgan masalada va xos funksiyalar
(6)
shartlarni qanoatlantiradi. (1)-(6) masalaning yechimini kuyidagi
(7)
funksiyalar sinfida qaraymiz.
Bu yerda biz (1)-(4) masalaning (7) funksiyalar sinfiga tegishli yechimini sochilish nazariyasining teskari masalasi orqali topish usulini kо‘rsatamiz.
Ushbu
(8)
tenglamalar sistemasini potensiali (7) shartni qanoatlantirsin.
(8) tenglamalar sistemasining potensiali (7) shartni kanoatlantirganda ushbu
, (9)
asimptotikalarni qanoatlantiruvchi yechimlariga Yost yechimlari deyiladi. Bu yechimlar mavjud va yagona bо‘ladi.
Bu yerda (8) tenglamalar sistemasining ikkita yechimidan tashkil topgan Vronskiy determinanti ushbu

kо‘rinishda aniqlanadi. (3.1) tenglamalar sistemasining ikkita yechimidan tashkil topgan Vranskiy determinanti ga bog‘liq emas, ya’ni tenglik о‘rinli.
da va vektor funksiya jufti (8) tenglamalar sistemasining chiziqli erkli yechimlar jufti bо‘ladi. Shunga kо‘ra ushbu
(10)
munosabatlar о‘rinli bо‘ladi. Bu yerda
, .
da ushbu
, ,

tengliklar о‘rinli. va vektor funksiyalar sohaga analitik davom etadi va u yerda ushbu
,
,
asimtotaga ega.
funksiya sohada cheklita nollarga ega bо‘ladi. funksiyaning aniqlanishiga kо‘ra bо‘lsa va yechimlar chiziqli bog‘liq bо‘lishi kelib chiqadi, ya’ni
(11)
sonlar (8) tenglamalar sistemasining xos qiymatlari bо‘ladi. Agar son (8) tenglamalar sistemasining xos qiymatlari bо‘lsa, son ham (8) tenglamalar sistemasining xos qiymati bо‘ladi. Shunga kо‘ra tо‘plam (8) tenglamalar sistemasining xos qiymatlari tо‘plami bо‘ladi.
Ushbu

funksiya (8) tenglamaning yechimi bо‘ladi va uning uchun

asimptotikalar о‘rinli. Ushbu asimptotikalarga asosan
,
bajarilishi kelib chiqadi. funksiya (8) tenglamalar sistemasining sochilish funksiyasi deyiladi. Quyidagi
(12)
naborga (8) tenglamalar sistemasining sochilish nazariyasi berilganlari deyiladi. (8) tenglamalar sistemasi uchun sochilish nazariyasining tugri masalasi potensial berilganda sochilish nazariyasi berilganlarini aniqlashdan iborat. Sochilish nazariyasining teskari masalasi sochilish nazariyasining berilganlari orqali potensialini topishdan iborat.
funksiya uchun quyidagi [ CITATION Abl71 \l 1033 ]
(13)
tasvir о‘rinli. Bu tasvirdagi yadro funksiya munosabat yordamida bog‘langan va har fiksirlangan larda shart bajariladi. Agar funksiya yig‘iluvchi bо‘lsa, u holda funksiyalar koordinatalari ushbu
(14)
tenglamalarni va
, , (15)
shartlarni qanoatlantiradi. Ushbu belgilashni kiritamiz. yadro da
(16)
tenglamani qanoatlantiradi, bunda
. (17)
Quyidagi teorema о‘rinli.