Mth1018 Funksiyaning differensiali. (Roll, Lagranj, Koshi teoremalari). 06 Mavzu
Download 1.39 Mb. Pdf ko'rish
|
6-mavzu.Funksiya differensiali
- Bu sahifa navigatsiya:
- Differensialning geometrik ma’nosi
- Misol.
- Differensiallash qoidalari H I S O B ( C a l c u l u s ) 7 Teorema.
- Teoremaning geometrik ma’nosi
- Roll teoremasi .
- Teorema.
- Lagranj teoremasining geometrik ma’nosi.
1 MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI HISOB
(CALCULUS) MTH1018 Funksiyaning differensiali. (Roll, Lagranj, Koshi teoremalari).
Sadaddinova Sanobar Sabirovna Oliy matematika kafedrasi dotsenti
H I S O B ( C a l c u l u s ) 2
1. Funksiya differensiali. 2. Differensialning geometrik ma’nosi. 3. Yuqori tartibli differensiallar. 4. Differensiallanuvchi funksiyalar haqidagi asosiy teoremalar a ) Ferma teoremasi. b) Roll teoremasi. c) Lagranj teoremasi d) Koshi teoremas i
Differensiallanuvchi funksiyalar haqidagi asosiy teoremalar H I S O B ( C a l c u l u s ) 3
( )
funksiya , a b kеsmada diffеrеnsiallanuvchi boʻlsin. Bu har qanday ,
a b uchun ( )
lim 0
f x x x chеkli hosila mavjud ekanligini bildiradi , u holda yuqoridagi tеnglikdan '( )
y f x x (1) ekani kеlib chiqadi, bunda 0
da
0 . Agar oxirgi tеnglikning hamma hadini х ga koʻpaytirilsa, ushbu '( ) y f x x x (2) H I S O B ( C a l c u l u s ) 4 Bu tenglikda birinchi qoʻshiluvchi ( ) f x х
tartibi х
tartibiga tеng boʻlgan chеksiz kichik miqdordir, u х ga nisbatan chiziqli; ikkinchi qoʻshiluvchi х
darajasi х
darajasidan yuqori boʻlgan chеksiz kichik miqdordir. Bundan (2) formulada birinchi qoʻshiluvchi ( )
asosiy ekanligi kеlib chiqadi. Ana shu qoʻshiluvchiga funksiyaning diffеrеnsiali dеyiladi, va dу yoki ( )
kabi bеlgilanadi. Shunday qilib, ( )
. (3) H I S O B ( C a l c u l u s ) 5
funksiya va unga mos chiziqni qaraymiz. nuqtadan egri chiziqqa urinma oʻtkazamiz, urinma oʻqning musbat yoʻnalishi bilan hosil qiladigan burchakni bilan bеlgilaymiz. dan:
Bu diffеrеnsialning egri chiziqqa nuqtada oʻtkazilgan urinmaning orttirmasiga tеng ekanligini bildiradi. ( )
у f x ( , ) M x y , '( ) '( )
NP tg x tg f x dy f x dx MPN ( ) у f x 0 x x
H I S O B ( C a l c u l u s ) 6 Agar u va v -diffеrеnsiallanuvchi funksiyalar boʻlsa, u holda quyidagi formulalar oʻrinli boʻladi:
1.d u v d u d v 2.d ku kd u
3.d u v vd u u d v
4. 2 vd u u d v u d v v
Yechish. sin
x d e x sin
sin sin
sin cos
sin cos
x x x d e x d e x e d x x x x e xdx e xdx x x e dx Differensiallash qoidalari H I S O B ( C a l c u l u s ) 7
aniq- langan va uzluksiz bo‘lib: 1. intervalda differensiallanuvchi; 2. nuqtada o’zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga erishsin; U holda bu nuqtada .
( )
y f x , a b
, a b
0 ,
a b ' 0 ( )
0 f x
nuqtada o‘zining eng katta yoki eng kichik qiymatiga erishsa, u holda nuqtadan funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma Ox o‘qiga parallel. Demak .
0 ,
a b 0 0 , ( ) x f x ' 0 ( ) 0
H I S O B ( C a l c u l u s ) 8 ( ) sup ( )
( , ) f c f x x a b Isbot. Faraz qilaylik bo‘lsin, u holda uchun
x ( ) ( ) ( ) ( ) 0
f c f c x f c x f c
_ ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 0 0 lim
'( ) 0 0 0
y f c x f c f c x f c x f c x x x x
(1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. 0 0 lim
'( ) 0 0 0
y f c x f c f c x f c x f c x x x x
(2) (1) va (2) '( ) 0
f c
H I S O B ( C a l c u l u s ) 9
aniqlangan bo‘lib: 1. kesmada uzluksiz; 2. intervalda differensiallanuvchi; 3. bo‘lsa. U holda, kamida bitta topiladiki, bu nuqtada boladi .
y f x , a b
, a b ' ( ) 0 f ,
( ) ( )
f a f b , a b Roll teoremasi . f(a)=f(b) Roll teoremasining geometrik ma’nosi. Hech bo‘lmaganda bitta nuqta topiladiki, bu nuqtada funksiya grafigiga o’tkazilgan urinma Ox oqiga parallel bo‘ladi.
H I S O B ( C a l c u l u s ) 10
2 ( )
3 2
x x
Misol. funksiyaning kesmada Roll teoremasi shartlarini bajarishini ko‘rsating va tenglikni qanoatlanti- ruvchi nuqtani toping. Yechish. funksiya kesmada differensiallanuvchi va . U holda Roll teoremasiga ko’ra shunday bir nuqta mavjudki bo’ladi. Hosilani topib nolga tenglashtiramiz:
1, 2 '( )
0 f c 1, 2 c 2 ( ) 3 2 f x x x
1, 2 2 2 (1) 1 3 1 2
0 (1)
(2) (2)
2 3 2
2 0
f f f 1, 2
c '( ) 0 f c 3 3 '( ) 2
3 2 3 0 2 2
x x x c H I S O B ( C a l c u l u s ) 11
aniqlangan bo‘lib: 1. kesmada uzluksiz; 2. intervalda differensiallanuvchi bo‘lsa. U holda, intervalda kamida bitta nuqta topiladiki, quyidagi orinli boladi: ( )
y f x , a b
, a b
, a b
, a b ( )
( ) '( )
0 f b f a f x b a Lagranj teoremasi H I S O B ( C a l c u l u s ) 12 ( ) ( ) '( )
( ) ( )
0 '( )
0 f b f a f x f b f a b a tg b a f x tg Lagranj teoremasining geometrik ma’nosi. Funksiya grafigida shunday nuqta mavjudki, bu nuatadan o’tkazilgan urinma AB vatarga paralleldir. H I S O B ( C a l c u l u s ) 13
funksiyalar aniqlangan bo‘lib: 1. kesmada uzluksiz; 2. intervalda differensiallanuvchi; 3. intervalda o‘rinli bo‘lsa, U holda, intervalda kamida bitta nuqta topiladiki, quyidagi o’rinli bo’ladi:
( ) y f x va y g x ,
'( ) ( )
( ) ' ( ) ( ) ( )
f c f b f a g b g a g c
, a b
, a b
, a b '( ) 0
g x , a b c H I S O B ( C a l c u l u s ) 14 MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI Sadaddinova Sanobar Sabirovna Oliy matematika kafedrasi dotsenti E’TIBORINGIZ UCHUN RAXMAT ! Download 1.39 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling