Mth1018 Funksiyaning differensiali. (Roll, Lagranj, Koshi teoremalari). 06 Mavzu

1

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI

TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

HISOB 

(CALCULUS)

MTH1018

Funksiyaning differensiali.

(Roll, Lagranj, Koshi teoremalari).

06

MAVZU

Sadaddinova Sanobar

Sabirovna

Oliy matematika kafedrasi

dotsenti

H I S O B   ( C a l c u l u s )

2

REJA:

1. Funksiya differensiali.

2. Differensialning geometrik ma’nosi.

3. Yuqori tartibli differensiallar.

4. Differensiallanuvchi funksiyalar haqidagi asosiy teoremalar

a

) Ferma teoremasi.

b) Roll teoremasi.

c) Lagranj teoremasi

d) Koshi teoremas

i

Funksiyaning differensiali.

Differensiallanuvchi funksiyalar haqidagi asosiy teoremalar

H I S O B   ( C a l c u l u s )

3

FUNKSIYA DIFFERENSIALI

( )

у f x



funksiya 

,

a b









 kеsmada diffеrеnsiallanuvchi boʻlsin. 

Bu har qanday   

,

x

a b











  uchun  

( )

lim

0

y

f x

x

x









 

  chеkli 

hosila mavjud ekanligini bildiradi , u holda yuqoridagi 

tеnglikdan 

'( )

y

f x

x



 





                                  (1) 

ekani  kеlib  chiqadi,  bunda 

0

x

 

    da 

0





  .  Agar  oxirgi 

tеnglikning hamma hadini   

х



   ga koʻpaytirilsa, ushbu 

'( )

y

f x

x

x



 

  

                             (2) 

H I S O B   ( C a l c u l u s )

4

Bu  tenglikda  birinchi  qoʻshiluvchi 

( )

f x

х

 

    tartibi 

х



 

tartibiga  tеng  boʻlgan  chеksiz  kichik  miqdordir,  u     

х



  ga 

nisbatan  chiziqli;  ikkinchi  qoʻshiluvchi 

х

 

 

  darajasi 

х



 

darajasidan yuqori boʻlgan chеksiz kichik miqdordir. Bundan  (2) 

formulada  birinchi  qoʻshiluvchi 

( )

f x

х

 

  asosiy  ekanligi  kеlib 

chiqadi.  Ana  shu  qoʻshiluvchiga   

funksiyaning  diffеrеnsiali 

dеyiladi, va   

dу

   yoki    

( )

df x

   kabi bеlgilanadi.  Shunday qilib, 

( )

dу

f x dх







.                               (3) 

H I S O B   ( C a l c u l u s )

5

Differensialning geometrik ma’nosi

funksiya va unga mos chiziqni

qaraymiz. 

nuqtadan egri chiziqqa

urinma oʻtkazamiz, urinma oʻqning

musbat yoʻnalishi bilan hosil qiladigan

burchakni

bilan bеlgilaymiz.  

dan:  

Bu 

diffеrеnsialning

egri chiziqqa

nuqtada oʻtkazilgan

urinmaning

orttirmasiga

tеng ekanligini bildiradi. 

( )

у f x



( , )

M x y



,

'( )

'( )

NP tg

x tg

f x

dy

f x dx











 

MPN



( )

у f x



0

x x



H I S O B   ( C a l c u l u s )

6

Agar  u   va v  -diffеrеnsiallanuvchi funksiyalar boʻlsa, u holda quyidagi

formulalar oʻrinli boʻladi:

 

 

1.d u v

d u d v

















 



 

2.d ku

kd u























 

 

3.d u v vd u u d v

 

 

 

 

4.

2

vd u u d v

u

d v

v

















 



Misol.                      differensialni hisoblang

Yechish.

sin

x

d e

x



















sin

sin

sin

sin

cos

sin

cos

x

x

x

d e

x

d e

x e d

x

x

x

x

e

xdx e

xdx

x

x e dx



























































 





 





Differensiallash qoidalari

H I S O B   ( C a l c u l u s )

7

Teorema.                 funksiya

aniq-

langan va uzluksiz bo‘lib:

1.

intervalda differensiallanuvchi;

2.

nuqtada o’zining eng katta

yoki eng kichik qiymatiga erishsin;

U holda bu nuqtada

.

Ferma teoremasi

( )

y

f x



 

,

a b

 

,

a b

 

0

,

x

a b



'

0

( )

0

f x



Teoremaning geometrik ma’nosi: Agar funksiya

nuqtada o‘zining eng katta yoki eng

kichik qiymatiga erishsa, u holda

nuqtadan funksiya grafigiga o‘tkazilgan urinma

Ox o‘qiga parallel. Demak

.

 

0

,

x

a b







0

0

, ( )

x

f x

'

0

( )

0

f x



H I S O B   ( C a l c u l u s )

8

( )

sup

( )

( , )

f c

f x

x a b





Isbot. 

Faraz qilaylik

bo‘lsin, u holda

uchun

x



( )

(

)

(

)

( ) 0

f c

f c

x

f c

x

f c



 

 

 

_

(

)

( )

(

)

( )

1.

0

0

lim

'( ) 0

0 0

y

f c

x

f c

f c

x

f c

x

f c

x

x

x

x



 

 

  



 











  

(1)

(

)

( )

(

)

( )

2.

0

0

lim

'( ) 0

0 0

y

f c

x

f c

f c

x

f c

x

f

c

x

x

x

x



 

 

  



 













  

(2)

(1) va (2) 

'( ) 0

f c



H I S O B   ( C a l c u l u s )

9

Teorema.                 funksiya

aniqlangan bo‘lib:

1.

kesmada uzluksiz;

2.

intervalda differensiallanuvchi;

3.

bo‘lsa.                                       

U holda, kamida bitta

topiladiki, bu nuqtada

boladi

.

( )

y

f x



 

,

a b

 

,

a b

'

( )

0

f





 

,

a b

( )

( )

f a

f b



 

,

a b





Roll teoremasi

. 

f(a)=f(b)

Roll teoremasining geometrik ma’nosi. Hech bo‘lmaganda bitta nuqta

topiladiki, bu nuqtada funksiya grafigiga o’tkazilgan urinma Ox oqiga

parallel bo‘ladi.

H I S O B   ( C a l c u l u s )

10

Roll teoremasi

2

( )

3

2

f x

x

x

  

Misol.                                funksiyaning

kesmada Roll teoremasi

shartlarini bajarishini ko‘rsating va

tenglikni qanoatlanti-

ruvchi

nuqtani toping.

Yechish.                             funksiya

kesmada differensiallanuvchi va

. U holda Roll teoremasiga ko’ra

shunday bir

nuqta mavjudki

bo’ladi. Hosilani topib

nolga tenglashtiramiz:

 

1, 2

'( )

0

f c



 

1, 2

c



2

( )

3

2

f x

x

x







 

1, 2

2

2

(1) 1

3 1 2

0

(1)

(2)

(2)

2

3 2

2

0

f

f

f

f



    









    

 

1, 2

c



'( )

0

f c



3

3

'( ) 2

3

2

3 0

2

2

f x

x

x

x

c

        

H I S O B   ( C a l c u l u s )

11

Teorema.                 funksiya

aniqlangan bo‘lib:

1.

kesmada uzluksiz;

2.

intervalda differensiallanuvchi

bo‘lsa.

U holda,            intervalda kamida bitta

nuqta topiladiki, quyidagi orinli boladi:

( )

y

f x



 

,

a b

 

,

a b

 

,

a b

 

,

a b

( )

( )

'( )

0

f b

f a

f x

b a







Lagranj teoremasi

H I S O B   ( C a l c u l u s )

12

( )

( )

'( )

( )

( )

0

'( )

0

f b

f a

f x

f b

f a

b a

tg

b a

f x

tg



































Lagranj teoremasining geometrik ma’nosi. Funksiya grafigida shunday

nuqta mavjudki, bu nuatadan o’tkazilgan urinma AB vatarga paralleldir.

H I S O B   ( C a l c u l u s )

13

Teorema.                

funksiyalar

aniqlangan bo‘lib:

1.

kesmada uzluksiz;

2.

intervalda differensiallanuvchi;

3.             intervalda

o‘rinli bo‘lsa,  

U holda,          intervalda kamida bitta

nuqta topiladiki, quyidagi o’rinli

bo’ladi: 

Koshi teoremasi

 

( )

y

f x va y

g x





 

,

a b

'( )

( )

( )

'

( )

( )

( )

f c

f b

f a

g b

g a

g c







 

,

a b

 

,

a b

 

,

a b

'( ) 0

g x



 

,

a b

c

H I S O B   ( C a l c u l u s )

14

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENT 

AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI

Sadaddinova Sanobar

Sabirovna

Oliy matematika kafedrasi

dotsenti

E’TIBORINGIZ UCHUN RAXMAT

!