Mulohazalar hisobining simvollari


Download 0.54 Mb.
Pdf ko'rish
Sana11.05.2020
Hajmi0.54 Mb.

 Mulohazalar hisobi formulasi 

Mulohazalar hisobi. Mantiqiy bog‘lovchilar. Simvollar. Formula. Qismiy formula. 

Isbotlanuvchi formula. Aksioma. 

 Mulohazalar hisobining simvollari. Har qanday hisobning tafsifi bu 

hisobning  simvollari  tafsifidan,  formulalar  va  keltirib  chiqarish  formulalari 

ta‟rifidan iborat. 

Mulohazalar  hisobida  uch  kategoriyali  simvollardan  iborat  alifbo  qabul 

qilinadi. 



Birinchi 

kategoriya 

simvollari: 

,...


,

,...,


,

,

2



1

x

x

z

y

x

Bu 



simvollarni 

o„zgaruvchilar deb ataymiz. 



Ikkinchi  kategoriya  simvollari: 





  .  Bular  mantiqiy 



bog‘lovchilardir.  Birinchisi  –  diz‟yunksiya  yoki  mantiqiy  qo„shish  belgisi, 

ikkinchisi  –  kon‟yunksiya  yoki  mantiqiy  ko„paytma  belgisi,  uchinchisi  – 

implikasiya belgisi va to„rtinchisi – inkor belgisi deb ataladi. 

Uchinchi kategoriyaga qavslar deb ataladigan ( , ) simvollar kiritiladi. 

Mulohazalar hisobida boshqa simvollar yo„q. 



Mulohazalar  hisobi  formulasi  tushunchasi.  Mulohazalar  hisobining 

formulasi  deb  mulohazalar  hisobi  alifbosi  simvollarining  muayyan  ketma-

ketligiga aytiladi. 

Formulalarni  belgilash  uchun  lotin  alifbosining  bosh  harflaridan 

foydalanamiz.  Bu  harflar  mulohazalar  hisobining  simvollari  qatoriga  kirmaydi. 

Ular faqatgina formulalarning shartli belgilari bo„lib xizmat qiladi. 

Endi mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi ta‟rifini keltiramiz. 



1-  t a ’ r i f .  Mulohazalar  hisobi  formulasi  tushunchasi  quyidagicha 

aniqlanadi: 

1) har qanday 

,...


,

,

z



y

x

 o‘zgaruvchilarning istalgan biri formuladir; 

2)  agar 

A

  va 

B

  ning  har  biri  formula  bo‘lsa,  u  holda 

)

(



B

A



)

(

B



A



)

(

B



A



 va 



A

 ham formuladir. 

3) boshqa hech qanday simvollar satri formula bo‘la olmaydi. 

O„zgaruvchilarni elementar formulalar deb ataymiz. 



1- m i s o l . Formula ta‟rifining 1) bandiga ko„ra 

,...


,

,

z



y

x

 o„zgaruvchilarning 

har  biri  formula  bo„ladi.  U  vaqtda  ta‟rifning  2)  bandiga  muvofiq 

)

(



y

x



)

(

y



x



)

(

y



x



x

 ham formulalardir. Xuddi shu kabi 

)

(

y



x



))

)

((



z

y

x



,

))

(



)

((

z



y

y

x



 ham formulalar bo„ladi. 

 

Quyidagilar formula bo„la olmaydi: 



y

x



z



y



x

(





y

x



x

y

x



)

(

. ■ 



2-  t a ’ r i f .  Mulohazalar  hisobi  qismiy  formulasi  tushunchasi  quyidagicha 

aniqlanadi: 

1) elementar formula uchun faqat uning o‘zi qismiy formuladir; 

2)  agar 

A

  formula  bo‘lsa,  u  holda  shu  formulaning  o‘zi, 

A

  formula  va 

A

 

formulaning hamma qismiy formulalari uning qismiy formulalari bo‘ladi; 

3)  agar  formula 

B

A*

  ko‘rinishda  bo‘lsa  (bu  yerda  va  bundan  keyin 

*

 



o‘rnida 





  yoki 



  simvollardan  birortasi  bor  deb  tushunamiz),  u  holda  shu 



formulaning  o‘zi, 

A

  va 

B

  formulalar  hamda 

A

  va 

B

  formulalarning  barcha 

qismiy formulalari 

B

A*

 formulaning qismiy formulalari bo‘ladi. 

2- m i s o l . 

))

(



)

((

y



z

y

x



 formula uchun: 

))

(

)



((

y

z

y

x



 – nolinchi chuqurlikdagi qismiy formula, 

)

(

y



x



)

(

y



z

 – birinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar, 



x



y

)

(



y

z

 – ikkinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar, 



y



z

 – uchinchi chuqurlikdagi qismiy formulalar, 

z

 – to„rtinchi chuqurlikdagi qismiy formula bo„ladi. ■ 

Formulalarni  yozishda  ayrim  soddalashtirishlarni  qabul  qilamiz.  Xuddi 

mulohazalar  algebrasidagi  kabi  qavslar  haqidagi  kelishuv  va  mantiqiy  amallarni 

bajarish  imtiyozlari  (III  bobdagi  2-  paragrafga  qarang)  bu  yerda  ham  o„rinli  deb 

hisoblaymiz. Bu  kelishuv  va imtiyozlarga  binoan, masalan, 

)

)

((



z

y

x



)

(



y

x

  va 



))

(

)



((

t

z

y

x



  formulalarni  mos  ravishda 



z

y

x





y

x

  va 



t

z

y

x



 

ko„rinishda yozish mumkin. 



Isbotlanuvchi 

formula 

tushunchasi. 

Endi 


mulohazalar 

hisobida 

isbotlanuvchi formulalar sinfini o„rganamiz. Isbotlanuvchi formula tushunchaqsiga 

ham formula tushunchasi ta‟rifiga o„xshash ta‟rif beriladi. 

Avval dastlabki isbotlanuvchi formulalar (aksiomalar), undan keyin esa 

 

 



keltirib  chiqarish  qoidasi  aniqlanadi.  Keltirib  chiqarish  qoidasi  orqali  mavjud 

isbotlanuvchi formulalardan yangi isbotlanuvchi formulalar hosil qilinadi. 

Dastlabki  isbotlanuvchi  formulalardan  keltirib  chiqarish  qoidasini  qo„llash 

yo„li  bilan  yangi  isbotlanuvchi  formulalarni  hosil  qilish  shu  formulalarni 



aksiomalardan keltirib chiqarish deb ataladi. 

Mulohazalar  hisobining  aksiomalar  sistemasi.  Mulohazalar  hisobining 

aksiomalar sistemasi XI aksiomadan iborat bo„lib, ular to„rt guruhga bo„linadi. 



Birinchi guruh aksiomalari: 

I



)

(

x



y

x



I

2



 

))

(



)

((

))



(

(

z



x

y

x

z

y

x







Ikkinchi guruh aksiomalari: 

II

1

 



x

y

x



II

2



 

y

y

x



II

3



 

))

(



)

((

)



(

y

x

z

y

z

x

z







Uchinchi guruh aksiomalari: 

III

1

 



y

x

x



III


2

 

y



x

y



III


3

 

))



(

)

((



)

(

z



y

x

z

y

z

x







To‘rtinchi guruh aksiomalari: 

IV



)



(

)

(



x

y

y

x



IV



2

 

x



x



IV

3

 



x

x



 

 

 

Keltirib chiqarish qoidalari 

 

Keltirib chiqarish. O‘rniga qo‘yish, xulosa qoidalari. Aksiomalar sistemasi. 

Isbotlash. 

Bu paragrafda mulohazalar hisobida keltirib chiqarish qoidalari deb 

ataluvchi o„rniga qo„yish va xulosa qoidalari bayon qilinadi. 

O‘rniga  qo‘yish  qoidasi.  Agar 

A

  mulohazalar  hisobining  isbotlanuvchi 

formulasi, 

x

  o„zgaruvchi, 



B

  mulohazalar hisobining  ixtiyoriy  formulasi  bo„lsa, u 

holda 

A

 formula ifodasidagi hamma 



x

 lar o„rniga 



B

 formulani qo„yish natijasida 

hosil qilingan formula ham isbotlanuvchi formula bo„ladi. 

A

  formuladagi  hamma 



x

  o„zgaruvchilar  o„rniga 



B

  formulani  qo„yish 

operasiyasini (jarayonini) o‘rniga qo‘yish qoidasi deb aytamiz va uni quyidagicha 

belgilaymiz

1



 



 

 



B

x

A)

(



O„rniga qo„yish qoidasiga quyidagi aniqliklarni kiritamiz: 

a) agar 


A

 faqat 


x

 o„zgaruvchidan iborat bo„lsa, u holda 



B

x

A)

(

 o„rniga qo„yish 



B

 formulani beradi; 

b)  agar 

A

  formula 



x

  dan  farqli 



y

  o„zgaruvchidan  iborat  bo„lsa,  u  vaqtda 



B

x

A)

(

 o„rniga qo„yish 



A

 ni beradi; 

d) agar 

A

 o„rniga qo„yish aniqlangan formula bo„lsa, u holda 



A

 formuladagi 



x

 o„rniga 



B

 formulani qo„yish natijasida o„rniga qo„yishning inkori kelib chiqadi, 

ya‟ni 



B



x

A)

(

 o„rniga qo„yish 





B

x

A)

(

 ni beradi. 



e)  agar 

1

A

  va 

2

A



  formulalarda  o„rniga  qo„yish  aniqlangan  bo„lsa,  u  holda 



B

x

A

A

)

(



2

1

 o„rniga qo„yish 





B

x

B

x

A

A

)

(



)

(

2



1

 ni beradi. 

                                                           

1

 Bu yerda matematik analizdagi integral belgisi ishlatilsada, uning ma‟nosi o„zgacha. 



Agar 

A

  isbotlanuvchi  formula  bo„lsa,  u  holda  uni 



A

  shaklda  yozishga 



kelishamiz.  U  holda  o„rniga  qo„yish  qoidasini  quyidagicha  sxematik  ravishda 

ifodalash mumkin:  

 

 





B



x

A

A

)

(



  

va uni “agar 



A

 isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda 



B

x

A)

(

 ham isbotlanuvchi 



formula bo„ladi” deb o„qiladi. 

Xulosa  qoidasi.  Agar 

A

  va 


B

A

  mulohazalar  hisobining  isbotlanuvchi 



formulalari bo„lsa, u holda 

B

 ham isbotlanuvchi formula bo„ladi. Bu qoida xulosa 



qoidasi deb yuritiladi va sxematik ravishda quyidagicha yoziladi: 

B

B

A

A



;





1- t a ’ r i f   (isbotlanuvchi formula ta’rifi).  

a) har qanday aksioma isbotlanuvchi formuladir; 

b)  isbotlanuvchi  formuladagi 

x

  o‘zgaruvchi  o‘rniga  ixtiyoriy 

B

  formulani 

qo‘yish natijasida hosil bo‘lgan formula isbotlanuvchi formula bo‘ladi; 

d) 

A

  va 

B

A



  isbotlanuvchi  formulalardan  xulosa  qoidasini  qo‘llash 



natijasida olingan 

B

 formula isbotlanuvchi formuladir; 

e)  Mulohazalar  hisobining  boshqa  hech  qanday  formulasi  isbotlanuvchi 

formula emas. 

2- t a ’ r i f . Isbotlanuvchi formulalarni hosil qilish protsessi (jarayoni) isbot 

qilish (isbotlash) deb ataladi. 

1- m i s o l . 

A

A



 bo„lishini (implikasiyaning refleksivligini) isbotlaymiz. 

Buning  uchun  I

aksiomadan  foydalanamiz.  Bu  yerda 



)

(

2





x

z

I

  o„rniga  qo„yishni 

bajarish natijasida  

 

 



))

(

)



((

))

(



(

x

x

y

x

x

y

x





  (1) 



kelib chiqadi. I

2

 aksioma va (1) formulaga xulosa qoidasini qo„llab 



)

(

)



(

x

x

y

x



 



(2) 

formulani hosil qilamiz. 



(2) formulaga nisbatan   

 



x

y

)

2



(

 

o„rniga qo„yishni bajarish natijasida 



)

(

)



(

x

x

x

x



 



(3) 

isbotlanuvchi formulaga ega bo„lamiz. 

IV

2

 aksioma va (3) formulaga nisbatan xulosa qoidasini qo„llash natijasida 



x

x



 

(4) 


 

isbotlanuvchi formulaga kelamiz. Nihoyat, (4) formuladagi 



x

 o„zgaruvchi o„rniga 



A

 formulani qo„ysak 



A

A



 

isbotlanishi kerak bo„lgan formula hosil bo„ladi. ■ 



2-  m i s o l . 

y

x

y

x



  ekanligini  isbotlaymiz.  Haqiqatdan  ham,  II



3

 

aksiomaga nisbatan ketma-ket ikki marta o„rniga qo„yish usulini qo„llaymiz: avval 



x

ni 


x

ga  va  keyin 



y

ni 


y

ga  almashtiramiz.  Natijada  quyidagi  isbotlanuvchi 

formulaga ega bo„lamiz 

))

(



)

((

)



(

y

x

z

y

z

x

z







(5) 

(5) formulaga nisbatan 



y



x

z

)

5



(

 o„rniga qo„yishni bajarib, quyidagini hosil qilamiz: 

))

(

)



((

)

)



((

y

x

y

x

y

y

x

x

y

x









Endi 

x

y

x



(6) 


y

y

x



 

(7) 


formulalarning isbotlanuvchi ekanligini ko„rsatamiz. Buning uchun IV

1

 aksiomaga 



nisbatan 

 

 



 



y

x

y

)

IV



(

1

 



o„rniga qo„yishni bajaramiz. Natijada 

)

(



)

(

x



y

x

y

x

x





 

(8) 



formulaga  ega  bo„lamiz.  (8)  formula  va  III

1

  aksiomaga  nisbatan  xulosa  qoidasini 



ishlatib,  (6)  formulaning  isbotlanuvchi  formula  ekanligiga  ishonch  hosil  qilamiz. 

Xuddi  shu  kabi  (7)  formulaning  ham  isbotlanuvchi  formula  ekanligini  ko„rsatish 

mumkin. 

(6) va (5) formulalarga xulosa qoidasini qo„llasak, 

)

(

)



(

y

x

y

x

y

y

x





 



(9) 

isbotlanuvchi formula kelib chiqadi. 

(7) va (9) formulalarga xulosa qoidasini qo„llab, berilgan 

y

x

y

x



 



formulaning isbotlanuvchi ekanligini hosil qilamiz. ■ 

 

Keltirib chiqarish qoidasining hosilalari 



 

Formula. Hosilaviy qoidalar. Bir vaqtda o‘rniga qo‘yish, murakkab xulosa, 

sillogizm, kontrpozisiya, ikki karralik inkorni tushirish qoidalari. 

 

O„rniga  qo„yish  va  xulosa  qoidalari  singari  keltirib  chiqarish  qoidasining 

hosilalari ham yangi isbotlanuvchi formulalar hosil qilishga imkon yaratadi. 

Bir vaqtda o‘rniga qo‘yish qoidasi. 

T a ’ r i f .  Agar 

)

,...,



,

(

2



1

n

x

x

x

A

  –  isbotlanuvchi  formula  va 

n

B

B

B

,...,


,

2

1



 

mulohazalar  hisobining  ixtiyoriy  formulalari  bo‘lsa,  u  holda 

A

  formulaning 

n

x

x

x

,...,


,

2

1



  o‘zgaruvchilari  o‘rniga  bir  vaqtda  mos  ravishda 

n

B

B

B

,...,


,

2

1



 

formulalarni qo‘yish natijasida 

C

  isbotlanuvchi  formulani  hosil qilish  bir  vaqtda 

o‘rniga qo‘yish qoidasi deb ataladi. 

n

z

z

z

,...,


,

2

1



 

o„zgaruvchilar 



n

B

B

B

A

,...,


,

,

2



1

 

formulalardagi 

boshqa 

o„zgaruvchilardan farq qiluvchi o„zgaruvchilar va 



j

i

z

z

 (



n

j

i

,

1



,

) bo„lsin. U holda 



A

  formulaga 



n

ta  o„rniga  qo„yishni  ketma-ket  bajaramiz:  avval 

1

x

  o„rniga 

1

z

ni, 


keyin 

2

x

  o„rniga 

2

z

ni  va  hokazo 

n

x

  o„rniga 



n

z

ni  qo„yamiz.  Natijada  quyidagi 



isbotlanuvchi  formulalarga  ega  bo„lamiz: 



1

1

)



(

z

x

A

  o„rniga  qo„yish 

1

A

ni, 



2



2

)

(



1

z

x

A

 

o„rniga qo„yish 



2

A

ni, va hokazo 





n

n

z

x

n

A

)

(



1

 o„rniga qo„yish 



n

A

ni beradi. 



Bundan  keyin 

n

A

  formulaga  nisbatan  yana 



n

ta o„rniga qo„yishni ketma-ket 

bajaramiz: avval 

1

z

 o„rniga 

1

B

ni, keyin 

2

z

 o„rniga 

2

B

ni va hokazo 

n

z

 o„rniga 



n

B

ni 


qo„yib  chiqamiz.  Buning  natijasida 



1

1

)



(

B

z

n

A

  o„rniga  qo„yishdan 

1

C

ni, 



2



2

)

(



1

B

z

C

 

o„rniga  qo„yishdan 



2

C

ni  va  hokazo 





n

n

B

z

n

C

)

(



1

  o„rniga  qo„yishdan 



n

C

ni  hosil 



qilamiz.  Demak, 

n

C

  isbotlanuvchi  formula 



A

  formuladagi 



n

x

x

x

,...,


,

2

1



 

o„zgaruvchilar  o„rniga  bir  vaqtda  mos  ravishda 



n

B

B

B

,...,


,

2

1



  formulalarni  qo„yish 

natijasida hosil bo„ladi. 

Bir vaqtda o„rniga qo„yish operasiyasini (qoidasini) quyidagicha ifodalaymiz 





n

n

B

B

B

x

x

x

A

A

,...,


,

,...,


,

2

1



2

1

)



(

 



 

 

(1) 



 Murakkab xulosa qoidasi. Bu qoidada 

)...)))


(...(

(

(



3

2

1



L

A

A

A

A

n





 

ko„rinishdagi  formulalarga  nisbatan  ikkinchi  hosilaviy  qoida  ishlatiladi  va  uni 

quyidagi tasdiq orqali izohlash mumkin. 

1- t e o r e m a . Agar 

n

A

A

A

,...,


,

2

1



 va 

)...)))


(...(

(

(



3

2

1



L

A

A

A

A

n



 



(2) 

isbotlanuvchi formulalar bo‘lsa, u holda 

L

 ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi. 

I s b o t i .  Xulosa  qoidasini  ketma-ket  qo„llaymiz.  Agar 

1

A

  va  (2) 

isbotlanuvchi formulalar bo„lsa, u holda xulosa qoidasiga asosan 

)...))

(...(


(

3

2



L

A

A

A

n



 

   



 

 

(3) 



ham  isbotlanuvchi  formula  bo„ladi. 

2

A

  va  (3)  isbotlanuvchi  formula  bo„lganligi 

uchun 


)...)

(...(


3

L

A

A

n



 

   


 

 

(4) 



formula  ham  isbotlanuvchi  bo„ladi.  Muhokamani  xuddi  shunday  davom  ettirib, 

natijada 



L

 isbotlanuvchi formula ekanligiga ishonch hosil qilamiz. ■ 

Murakkab xulosa qoidasini sxematik ravishda quyidagicha yozish mumkin: 

L

L

A

A

A

A

A

A

A

n

n







)...)))


(...(

(

(



,

,...,


,

3

2



1

2

1



.   

 

(5) 



Sillogizm

2

 qoidasi. 



2-  t e o r e m a .  Agar 

B

A



  va 



C

B



  isbotlanuvchi  formulalar  bo‘lsa,  u 



holda 

C

A



 ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi. 



I s b o t i . Teoremani sxematik ravishda quyidagicha yozamiz 

C

A

C

B

B

A





,



 

 

 



(6) 

I

1



 va I

2

 aksiomalarga nisbatan 





C

B

A

z

y

x

,

,



,

,

2



)

I

(



 va 



A

C

B

y

x

,

,



1

)

I



(

 

bir  vaqtda  o„rniga  qo„yish  qoidalarini  qo„llash  natijasida  quyidagi  isbotlanuvchi 



formulalarni hosil qilamiz: 

))

(



)

((

))



(

C

A

B

A

C

B

A







 

 

(7) 



))

(

(



)

(

C



B

A

C

B





 

 



(8) 

Teoremaning shartiga asosan 



B

A



 

 



(9) 

C

B



 

   


 

(10) 


formulalar isbotlanuvchidir. 

(10) va (8) formulalardan xulosa qoidasiga asosan 

)

(

C



B

A



 

 



 

(11) 


formulani hosil qilamiz. U vaqtda (11), (9) va (7) formulalardan murakkab xulosa 

qoidasiga asosan 



C

A



 ekanligi kelib chiqadi. ■ 

                                                           

2

 Bu so„z negizida yunoncha συλλογισμός (syllogismos) so„zi yotadi, u mantiqan kelib chiqish ma‟nosini beradi. 



Agar 

B

A

 va 



C

B

 isbotlanuvchi formulalar bo„lsa, u holda 



C

A

 ham 



isbotlanuvchi formula bo„lishini sillogizm qoidasi deb ataymiz. 

4.3.4. Kontrpozisiya qoidasi. 

3-  t e o r e m a .  Agar 

B

A



  isbotlanuvchi  formula  bo‘lsa,  u  holda 



A

B



 



ham isbotlanuvchi formula, ya’ni 

A

B

B

A



 



 

 

(12) 



bo„ladi. 

I s b o t i . IV

1

 aksiomaga nisbatan 





B

A

y

x

,

,



1

)

IV



(

 

bir vaqtda o„rniga qo„yish qoidasini qo„llab, 



)

(

)



(

A

B

B

A



 



 

(13) 


isbotlanuvchi formulani hosil qilamiz. 

Teoremaning shartiga asosan 



B

A



 

 

 



(14) 

isbotlanuvchi  formuladir.  Shuning  uchun  (14)  va  (13)  formulalardan  xulosa 

qoidasiga asosan 

)

(



A

B



 isbotlanuvchi formula ekanligi kelib chiqadi. ■ 

Agar 


B

A

 isbotlanuvchi formula bo„lsa, u holda 



A

B

 ham isbotlanuvchi 



formula bo„lishini kontrpozisiya qoidasi deb ataymiz. 

Ikki karralik inkorni tushirish qoidasi. 

4- t e o r e m a . 1) Agar 

B

A



 isbotlanuvchi formula bo‘lsa, u holda 



B

A



 



ham isbotlanuvchi formula bo‘ladi; 

2)  Agar 



B

A



  isbotlanuvchi  formula  bo‘lsa,  u  holda 



B

A



  formula  ham 



isbotlanuvchi formula, ya’ni 

B

A

B

A





 va 



B

A

B

A





 



 

 

 

(15) 



bo‘ladi. 

I s b o t i . IV

2

 va IV



3

 aksiomalarga nisbatan 





A

x

)

IV



(

2

 va 





B

x

)

IV



(

3

 



o„rniga qo„yish qoidalarini qo„llab, 

A

A



   


 

(16) 


B

B



 

   


 

(17) 


isbotlanuvchi formulalarni hosil qilamiz. 

Teoremaning 1) va 2) shartlariga asosan 



B

A



   


 

(18) 


B

A



 

   


 

(19) 


formulalar  isbotlanuvchidir. Agar  teoremaning  1)  sharti bajarilsa, u holda  (17) va 

(18)  formulalardan  sillogizm  qoidasiga  asosan 



B

A



  kelib  chiqadi.  Agar  2) 

sharti bajarilsa, u holda (16) va (19) formulalardan 



B

A



 kelib chiqadi. ■ 

Agar 


B

A

  (



B

A

)  isbotlanuvchi  formula  bo„lsa,  u  holda 



B

A

  ham 



isbotlanuvchi  formula  bo„lishini  ikki  karralik  inkorni  tushirish  qoidasi  deb 

ataymiz. 

 

Masala va topshiriqlar 

 

1.  Quyidagi  ifodalarning  qaysilari  mulohazalar  hisobining  formulalari  bo„lishini 

aniqlang: 

a) 


)

(

)



(

2

1



2

1

p



p

p

p



;  b) 


3

2

1



2

1

))



(

)

((



p

p

p

p

p



d) 



3

3

2



1

))

(



(

p

p

p

p



e) 



)

(

)



(

(

1



2

2

1



p

p

p

p





f) 

)

)



((

)

(



1

2

1



2

1

p



p

p

p

p





g) 

))

)



((

)

((



)

(

3



2

1

3



2

3

1



p

p

p

p

p

p

p





h) 



))

(

(



))

(

)



((

3

2



1

3

1



2

1

p



p

p

p

p

p

p





i) 



)

(

))



(

)

((



2

1

2



1

2

1



p

p

p

p

p

p







2.  Quyidagi formulalarning hamma qismiy formulalarini toping: 

a) 


)

(

y



x

y

x



b) 



)

(

)



(

y

x

y

x





d) 

)

(



x

y

x



e) 


c

b

a



f) 


b

c

a



g) 


z

y

x



h) 


x

yz

x



i) 


y

x

y

x



j) 



)

(

))



(

)

((



z

x

z

y

x

x





k) 


)

)

((



)

(

y



y

x

y

x





3. 

)

(



)

(

1



A

B

B

A

L





B

A

L



2

 va 


C

B

A

L



3

 formulalar uchun quyidagi 



o„rniga qo„yishlarning natijalarini aniqlang: 

a) 




C

B

B

A

L

,

,



1

)

(



b) 




B



A

A

)

(

2



d) 




B

B

A

B

C

A

L

,

,



3

)

(



e) 




B

A

B

A

B

A

L

,

,



1

)

(



f) 




A

B

B

A

L

,

,



2

)

(



g) 




A



C

A

A

C

B

A

L

,

,



,

,

3



)

(

. 



4.  O„rniga  qo„yish  qoidasini  qo„llab,  quyidagi  formulalarning  isbotlanuvchi 

ekanligini ko„rsating: 

a) 

B

B

B

A



)

(



b) 


C

B

A

B

A





d) 

))

(



)

((

)



(

B

C

A

B

C

B

A





e) 



D

C

D

C



f) 



))

(

)



((

))

(



(

C

B

B

A

C

B

A

C

B

C

B

A











5.  O„rniga  qo„yish  va  xulosa  qodalarini  qo„llab,  quyidagi  formulalarning 

isbotlanuvchi ekanligini aniqlang: 

a) 

A

A

A



b) 


A

A

A



; d) 

A

B

B

A



e) 



A

B

B

A



;  f) 


)

(

)



(

A

A

B

A



; g) 


A

A





 

Download 0.54 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling