Mundarija kirish bob funksiyaning xossalaridan foydalanib masalalar yechish


Download 0.51 Mb.
Pdf ko'rish
bet1/4
Sana29.03.2020
Hajmi0.51 Mb.
  1   2   3   4

 

 

 



 

Mundarija 



KIRISH……………………………………………………………………………3 

1-BOB  FUNKSIYANING XOSSALARIDAN FOYDALANIB MASALALAR 

YECHISH…………………………………………………………………………5 

1.1§

 Funksiyaning monotonligidan foydalanish………………………………….5 



1.2§

 Funksiyaning chegaralanganligidan foydalanish……………………………8 



1.3§

Funksiyaning davriyligidan foydalanish…………………………………….11 



1.4§

 Funksiyaning juftligidan foydalanish……………………………………….15 



1.5§

 Funksiyaning aniqlanish sohasidan foydalanish……………………………22 



2-BOB  TENGLAMALARNI YECHISHNING BA’ZI SUN’IY 

 USULLARI…………………………………………………………………….24 

2.1§

 Tenglamani funksiyaga ko’paytirish………………………………………..24 



2.2§

 Tenglama ildizini topishning “tanlash” usuli……………………………….25 



2.3§

 Parametrga bog’liq masalalarni yechish……………………………………27  



XULOSA…………………………………………………………………………31 

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR………………………………………32 

 


 

KIRISH 



Masalaning 

ahamiyati. 

Masalalar 

yechish 

jarayonida 

ko’pincha 

umumta’lim  maktablari  kursida  kam  o’rganiladigan,  aniqrog’i    o’sha  kursda 

o’rganilgan  yechish  usullarini  qo’llab  bo’lmaydigan  masalalarga  duch 

kelamiz.Bunday  masalalar,  odatda,  shartli  ravishda  “  nostandart”  masalalar    deb 

yuritiladi.”Nostandart” masalalar har xil turda bo’lishi mumkin.Ularning ba’zilari  

oddiy  ko’rinishda  bo’lsa-da,  biz  ularni  o’zizmiz  biladigan  odatdagi”standart” 

usullar  yordamida  echolmaymiz.  Ko’p  hollarda  bunday  misollarga    duch 

kelinganida,  masalani  qanday  usulda  yechish  qiyinchilik  tug’diradi.Sababi,” 

nostandart”  masalalarni  yechishda  chuqur  mantiqiy  va  izchil  fikirlash  talab 

qilinadi.Albatta,”  nostandart”  masalalarni  yechishning    bir  nechta  usullari  bor. 

Bunday  masalalarni  yechishda  garafiklarni,  funksiyalarning  har  xil  xossalarini, 

tengsizliklarni va hokazolarni qo’llashga to’g’ri keladi. 

Shuni ham ta’kidlash joizki, bunday masalalarni ko’plab yechish  natijasida 

o’quvchida ma’lum  vaqtdan so’ng masalalarni yechish jarayonida ko’nikma hosil 

bo’ladi va bu masalaning “ nostandart”ligi  yo’qoladi.  

Tadqiqot  ob’ekti 

–  standart  usullar  yordamida  yechish  qiyin  bo’lgan  yoki 

standart  usul  katta  hajmdagi  amallarni  bajarishga  olib  keladigan  tenglama  va 

tengsizliklar.  



Mazkur bitiruv ishining maqsadi

:  tenglama va tengsizliklarni yechishning 

nostandart usullari bilan tanishish va ularni amalda qo’llash. 

Qo’yilgan  maqsadga  erishish  uchun  bitiruv  ishida  quyidagi  masalalar 

yechilgan: 

1.

 Tenglama  va  tengsizliklarni  yechishda  funksiyalarning  xossalaridan 

fodalanishga asoslangan yechish usullarini o’rganish va  amalda qo’llash. 



2.

 Tenglama va tengsizliklarni yechishning qo’shimcha nostandart usullarini 

ko’rib chiqish va amalda qo’llash. 

Mazkur  malakaviy  bitiruv  ishi  elementar  matematikaning  yuqorida  so’z 

yuritilgan  ”  nostandart  ”    tenglama  va  tengsizlikni  yechish  usullariga 

bag’ishlangan bo’lib, u 2 ta bob,  8 ta paragrafdan   iborat. 


 

Birinchi bob,  ko’p  uchraydigan nostandart tenglamalar va ularni  



yechishning asosiy usullarini o’rganishga bag’ishlangan. Ikkinchi bob tenglama va 

tengsizliklarni yechishning qo’shimcha sun’iy usullarini o’rganishga 

bag’ishlangan. 


 

1-BOB

 . FUNKSIYANING XOSSALARIDAN FOYDALANIB 

MASALALAR YECHISH 

Har  qanday  f(x)  =  g(x)  ko’rinishdagi  tenglama  yoki  tengsizlik 

soddalashtirish  yoki  o’zgaruvchilarni  almashtirish  yordamida  yechish  algoritmi 

mavjud  bo’lgan  u  yoki  bu  ko’rinishdagi  standart  ko’rinishga  keltirilavermaydi. 

Bunday  hollarda    odatda,  funksiyalarning  ba’zi  xossalari,  masalan,  monotonligi, 

davriylik,  chegaralanganlik,  juftligi  va  boshqa  xossalaridan  foydalanish  muhim 

ahamiyat kasb etadi. 

 

1.1§.

 Funksiyaning monotonligidan foydalanish. 

 

Agar  D  oraliqdan  olingan  ixtiyoriy  x



1

  va    x



2

 

,  x



1

 < x

2

 

sonlar  uchun 



f (x

1

) < f (x

2

)

  tengsizlik  bajarilsa,  u  holda    f (x)  funksiya  D  oraliqda  o’suvchi 

deyiladi. 

Agar  D  oraliqdan  olingan  ixtiyoriy  x



1

  va    x



2

  ,  x



1

 < x

2

 

sonlar  uchun 



f (x

1

) > f (x

2

tengsizlik  bajarilsa,  u  holda    f (x)  funksiya  D  oraliqda  kamayuvchi  

deyiladi. 

 

1-chizma 



Chizmada  grafigi  tasvirlangan    y = f (x), 

[

]



b

a

x

;



  funksiya    [a; x

1

)

    va  


(x

2

; b]

  oraliqlarning  har  birida  osuvchi  va  (x



1

; x

2

)

  oraliqda  kamayuvchi.  Shuni 



 

eslatib  o’tish    joizki,  bu  funksiya    [a; x



1

)

    va    (x



2

; b]

  oraliqlarning  har  birida 

osuvchi,  lekin  bu  oraliqlarning  birlashmasi 

[

) (



]

b

x

x

a

;

;



2

1



  to’plamda  osuvchi 

emas.  


Agar funksiya biror oraliqda kamayuvchi yoki o’suvchi bo’lsa, u holda u shu 

oraliqda monoton funksiya deb ataladi. 

Agar    f  –  biror  D (f (x))  oraliqda  monoton  bo’lsa,  u  holda  f (x) = const 

tenglama  bu  oraliqda  bittadan  ko’p  ildizga  ega  bo’la  olmasligini  eslatib  o’taylik. 

Haqiqatan  ham,  agar    x

1

  <  x

2

    lar  bu  tenglamaning    D (f(x))  oraliqdagi  ildizlari 

bo’lsa, u holda  f (x

1

) = f (x

2

) = 0

 tenglik funksiyaning monotonligiga zid. Monoton 

funksiyalarning  bir  qancha  xossalarini  sanab  o’taylik  (barcha  funksiyalar  biror  

oraliqda aniqlangan deb faraz qilaylik). 

 

Bir nechta monoton funksiyalarning yig’indisi yana monoton funksiya 



bo’ladi.  

 



O’suvchi  nomanfiy  funksiyalarning  ko’paytmasi  o’suvchi  funksiya 

bo’ladi.  

 



Agar    f    o’suvchi  funksiya  bo’lsa,  u  holda  cf (c > 0)    va    f + c 

funksiyalar ham o’suvchi bo’ladi,  cf (c < 0) funksiya esa kamayuvchi bo’ladi.  

 



Agar    f    o’suvchi  funksiya  bo’lib,  ishorasini  saqlasa,  u  holda 







 

funksiya kamayuvchi bo’ladi.  

 



Agar  f  o’suvchi  funksiya    bo’lib,  nomanfiy  bo’lsa,  u  holda  f

n

 ,  n





funksiya ham o’suvchi bo’ladi. 

 



 Agar f  o’suvchi funksiya  bo’lib,  n –toq son bo’lsa, u holda  f

n

 , n





funksiya ham o’suvchi bo’ladi. 

 



Ikkita  o’suvchi    f  va  g  funksiyalarning    g (f (x))    superpozisiyasi 

o’suvchi bo’ladi. 

Xuddi  shunga  o’xshash  tasdiqlarni  kamayuvchi  funksiyalar  uchun  ham 

keltirish mumkin. 

Agar a nuqtaning shunday 

ε

-atrofi mavjud bo’lib, bu atrofdan olingan barcha 



x

  lar  uchun  f (a) 



 f (x)

  tengsizlikbajarilsa,  u  holda    a  nuqta  f  funksiyaning 



 

maksimum

 nuqtasi deyiladi. 

Agar a nuqtaning shunday 

ε

-atrofi mavjud bo’lib, bu atrofdan olingan barcha 



lar  uchun  f (a) 



 f (x)

  tengsizlik  bajarilsa,  u  holda    a  nuqta  f  funksiyaning 



minimum

 nuqtasi deyiladi. 

Funksiyaning  maksimum  va  minimumga  erishtiruvchi  nuqtalari  uning 

ekstremum  nuqtalari  deyiladi.  Ekstremum  nuqtalarda  funksiyaning  monotonlik 

xususiyati o’zgaradi.  

Tenglama  va  tengsizliklarni  funksiyalarning  monotonlik  xususiyatlaridan 

foydalanib yechish usullari quyidagi tasdiqlarga asoslanadi. 

1.

 

f(

х

)  funksiya T oraliqda uzluksiz va qat’iy monoton bo’lsin. U holda   



              f(x) = 

С

 tenglama T oraliqda ko’pi bilan bitta yechimga ega bo’ladi. 

2.

 

f(x)  va   g(



х

) funksiyalar   T oraliqda  uzluksiz bo’lib,  f(x) qat’iy monoton 

o’suvchi,  g(

х

)    esa    qat’iy  kamayuvchi  bo’lsin.  U  holda  f(

х

)  =g(

х

)  



tenglama T oraliqda ko’pi bilan bitta yechimga ega bo’ladi.

  

Shuni eslatib o’ish kerakki T oraliq sifatida (-





;+



)

  cheksiz oraliq, (

а

;+



), (-



а

),  [

а

;+



),  (-



;  b]

  oraliqlar,  kesma,  intervallar  va  yarim  oraliqlar  bo’lishi 

mumkin.  



1-misol

 . Tenglamani yeching    

64

2

3



2

2

=



+

+



x

x

x

.   


(1) 

Yechish.

  Ko’rinib  turibdiki, 

х

 



 0

 son berilgan tenglamaning yechimi bo’la 

olmaydi,  chunki  barcha  x  larda 

0

2

3



2

2



+

+



x

x

x

  o’rinli.   

х

  >  0

  shartni 

qanoalantiruvchi    x  lar  uchun 

3

2



2

2

+



+

=



x

x

x

y

  funksiya  uzluksiz  va  ikkita  qat’iy 

o’suvchi nomanfiy funksiyalarning ko’paytmasi sifatida o’suvchi bo’ladi.Demak ,  

х

  >  0

  to’plamda   

3

2



2

2

+



+

=



x

x

x

y

  funksiya  o’zining  har  bir  qiymatini  bitta  

nuqtada  qabul  qiladi.  Osongina  tekshirib  ko’rish  mumkinki, 

х

  =  1

  berilgan 

tenglamaning yechimi bo’ladi. Demak, bu ildiz yagona yechim bo’ladi.  



2-misol  

Tengsizlikni yeching:

     


2

3

4



3

x

x

x

+

+



<

 

 



(2) 

Yechish.

 

у



  =  2

x

у

  =  3



x

у

  =  4

х

  funksiyalarning  har  biri  butun  son  o’qida 



uzluksiz  va  qat’iy  o’suvchi.  Demak,  berilgan 

  2




 3





 4



  funksiya  ham 



 

o’suvchi  bo’ladi.    Osongina  ko’rish  mumkinki,   



х

  =  0

  da 


  2



 3





 4





 

funksiya    3  ga  teng  qiymatni  qabul  qiladi.  Bu  funksiya  uzluksiz  va  monoton 

bo’lgani uchun 

х

 >  0

 da 

2





 3



 4





 3

 tengsizlikka, 



х

 <  0

 da esa 


2



 3





4





 3

  tengsizlikka  ega  bo’lamiz.  Shunday  qilib,  berilgan  tenglamaning 

yechumlari  barcha 

х

 < 0

 sonlardan iborat bo’ladi.  Javob: (-



; 0).

 

3

-

misol

Tenglamani yeching:  

√18  




 √  2




 2


.  

(3) 


Yechish. 

(3)  tenglamaning  aniqlanish  sohasi  [2;18]  oraliqdan  iborat.  Bu 

to’plamda 

  √  2



  va  g


  √18  



  funksiyalar  uzluksiz  va  qat’iy 



kamayuvchi.  Demak,    h

  √18  



 √  2




  ham  uzluksiz  va  qat’iy 

kamayuvchi  bo’ladi. Shuning uchun  h(x) funksiya o’zining har bir qiymatini bitta 

nuqtada  qabul  qiladi. 

2  2

  bo’lgani  uchun     

х

  =  2

  berilgan  tenglamaning 

yagona yechimi bo’ladi. Javob: {2}. 

 

1.2



§.

 Funksiyaning chegaralanganligidan foydalanish. 

 

Tenglama  va  tengsizliklarni  yechishda  funksiyalarning  biror  to’plamda 



quyidan va yuqoridan chegaralanganlik xossasi  muhim ahamiyatga ega. 

Agar  Shunday  C  son  mavjud  bo’lib,    ixtiyoriy 



D

  uchun  f (x) 



 C

 

tengsizlik  bajarilsa,  u  holda  f  funksiya  D  to’plamda  yuqoridan  chegaralangan 



deyiladi ( 2-chizma). 

Agar  Shunday  c  son  mavjud  bo’lib,    ixtiyoriy 



D

  uchun    f (x) 



c

 

tengsizlik  bajarilsa,  u  holda  f  funksiya  D  to’plamda  quyidan  chegaralangan 



deyiladi ( 3-chizma). 

Yuqoridan  va  quyidan  chegaralangan  f    funksiya  D  to’plamda  



chegaralangan

 

deyiladi. 



Geometrik 

nuqtai 


nazardan 

funksiyaning 

chegaralanganligi    y = f (x), 

D

  funksiyaning  grafigi  



 y 



 C

  polosada 

jolashishini anglatadi ( 4-chizma). 

Son  o’qida  quyidan  chegaralangan  funksiya  sifatida  y = x

2

 

funksiyani, 



yuqoridan  chegaralangan  funksiya  sifatida  (–



; 0)

  to’plamda  y = 1/x  funksiyani 


 

keltish  mumkin.  Son  o’qida  chegaralangan  funksiyaga  esa  y = sin x  misol  bo’la 



oladi. 

 

2-chuizma 



 

 

 



3-chizma 

 

 



10 

 

 



4-chizma 

1-misol.   

Tenglamani yeching :

  sin(x



3

 + 2

х

2



 + 1) = 

х

2



 + 2

х

 + 2.

 

 

  (4) 



Yechish.  

Ixtiyoriy   haqiqiy son uchun   sin(x



3

 + 2

х

2



 + 1) 



 1, 

 

х

2



  +  2

х

  +  2  =  (x  +  1)





+  1 



  1

  tengsizliklar  o’rinli  bo’lgani  uchun  berilgan 

tenglama faqat  

  1

 da yechimga ega bo’lishi mumkin. 



  1

  da   






 2   2  1



sin1   2   1  2  1

  bo’lgani  uchun 

  1


 da   (4) tenglama ham yechimga ega emas. Javob: Ø. 

2-misol.    

Tenglamani yeching:

   


3

sin


0

x

x

x

π



=

                  (5) 



Yechish. 

Ko’rinib turibdiki, 

х

  =  0, 

х

  =  1, 

х

  =  -1

  lar  berilgan tenglamaning 

yechimlari  bo’ladi.  Boshqa  ildizlarni  topish  uchun  f(

х

)  =  =  x



3

  -  x  -  sin 

π

x

 

funksiyaning    juftligidan  fodalanib 



х

  >  0, 

х

 



  1

  shartlarni  qanoatlantiruvchi 

yechimlarni toppish yetarli, chunki, agar x

0

  > 0

 soni yechim bo’lsa, u holda (-x



0

)

 

soni ham yechim bo’ladi.  



х

 > 0, 

х

 



 1

 to’plamni ikkita  (0; 1)  va  (1; +



)

 qismlarga ajratamiz.  

Dastlabki tenglamani  x

3

 - x = sin 

π

x

 ko’rinishda yozib olamiz.  (0; 1) oraliqda  

х

3



  < 

х

 bo’lgani uchun    g(



х

) = x

3

 – x<0

  shartni, ikkinchi funksiya esa  



h(x)  =  sin 

π

x>0

  shartni  qanoatlantiradi.  Demak,  bu  oraliqda  tenglama  yechimga 

ega emas.  



11 

 

 



 (1; +

) bo’lsin. U holda g(



х

) = 

х

3



 – 

х

>0

 va h(x) = sin 

π

x

  funksiya har 

xil  ishorali  qiymatlar  qabul  qiladi.  Bundan  tashqari  (1;  2]  oraliqda  h(x)  =  sin 

π

x

 

funksiya musbat emas. Demak, (1; 2] oraliqda tenglama yechimga ega emas.  



Agar 

х

  >  2

  bo’lsa  ,  u  holda    |sin 

π

x| 



  1,  x

3

  -  x  =  x(x

2

  -  1)  >  2

·

3  =  6

 

munosabatlar  o’rinli  bo’lib,  bu  (1;  +





)

  oraliqda  tenglamaning  yechimga  ega 

emasligini anglatadi..  

Shunday  qilib,  x  =  0,  x  =  1  va  x  =  -1  sonlarigina  berilgan  tenglamaning 

yechimlari bo’lar ekan. Javob: {-1; 0; 1}. 

3-misol. 

Tengsizlikni yeching:

      


x

x

x

2

1



1

<

+



  

 

                                  (6) 



Yechish. 

Tengsizlikning aniqlanish sohasi  x = -1 nuqtadan tashqari boshqa 

barcha  x  lar to’plamidan iborat. Uning aniqlanish sohasini uchta:  

-



  <  x  <  -1,  -1  <  x 



  0, 0  <  x  <  +

  to’plamlarga ajratamiz va har bir oraliqda 



tengsizlikni qarab chiqamiz.  

 -



  <  x  <  -1

  bo’lsin.    U  holda  g(x)  =

x

x

+



1

1

  <  0

  va   f(x)  = 2

x

  >  0

. Demak 


yuqoridagi shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar yechim bo’ladi. 

 -1 < x 



 0

 bo’lsin. U holda g(x) = 1 - 

1

1

2



+

x



x

 va  f(x) = 2





 1.

  

Demak, -1 < x 





 0

 sonlarning birortasi ham  tengsizlikning yechimi bo’lolmaydi.  



0 < x < +

 bo’lsin.  U holda g(x) = 1 - 



1

1

2



<

+

x



x

 va  f(x) = 2





> 1

. Demak 


yuqoridagi shartni qanoatlantiruvchi barcha x lar yechim bo’ladi. 

Javob: 


∞; 1 " 0;  ∞

 



Download 0.51 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling