Mundarija kirish bob funksiyaning xossalaridan foydalanib masalalar yechish


§. Funksiyaning davriyligidan foydalanish


Download 0.51 Mb.
Pdf ko'rish
bet2/4
Sana29.03.2020
Hajmi0.51 Mb.
1   2   3   4

1.3§. Funksiyaning davriyligidan foydalanish. 

Agar  quyidagi  ikkita  shart  bajarilsa,    f (x)    T 



 0

  davrli  davriy  funksiya 

deyiladi: 

 



agar 

D



  bo’lsa,  u  holda    x + T  va    x – T  lar  ham  D (f (x))  aniqlanish 

sohasiga qarashli bo’ladi; 

12 

 



 

D



 uchun quyidagi tenglik o’rinli 



f (x + T) = f (x). 

D

T

x



 bo’lgani uchun keltirilgan ta’rifdan 

(

)



( )

f x T

f x

=



 

tenglikning bajarilishi kelib chiqadi. 

Agar  –  f (x) funksiyaning davri bo’lsa, u holda 

Z



 0

 lar uchun nT 

soni ham bu funksiyaning davri bo’ladi. 

Funksiyaning  davri  bo’lgan    musbat  sonlarning  eng  kichigiga  uning  eng 

kichik musbat davri deyiladi.  

 

 

 







=

x

y

cos


sin

2

5



7

    davriy funksiyaning grafigi 

Davriy funksiyalarning bir nechta xossalarini keltirib o’tamiz: 

1.

 

Agar  f (x)  funksiyaning dari T bo’lsa, u  holda  g (x) = A · f (kx + b), 

 k 



 0  funksiyaning davri 



k

T

=

1

 bo’ladi. 



2.

 

f

1

 (x) va  f

2

 (x) funksiyalar butun son o’qida aniqlangan bo’lib,  

T

1

 > 0 va  T

2

 > 0 lar mos ravishda ularning davrlari bo’lsin . Agar 

Q

T

T

1



2

 bo’lsa,  

u holda 

)

(



)

(

)



(

x

f

x

f

x

f

2

1



+

=

 funksiyaning  T davri, T





 va  T

2

 sonlarning eng kichik 

13 

 

umumiy karralisiga teng bo’ladi. 



1-misol. Функция

 





 - T = 5 davrli davriy funksiya. Agar 

1  4; 2  1

 

ekanligi ma’lum bo’lsa,  



( )

(

)



( )

11

3



7

3 .


f

f

f



+

 

ning qiymatini toping. 



Yechish.  

Har bir qo’shiluvchini soddalashtiramiz: 

( )

(

)



( )

11

1 2 5



1

4

f



f

f

=

+ ⋅



=

=

  



(

)

(



)

(

)



7

2 5


2

1

f



f

f

=



− −

=



=

 

( )



(

)

(



)

3

2 5



2

1

f



f

f

=

+



=

=



 

Bulardan  

( )

(

)



( )

11

3



7

3

4 3 1 1



2

f

f

f



+

=

− ⋅ + =



 

Javob: 2. 



2-misol. 

 Funksiyaning davrini toping: 

  

( )


4

4

sin



cos

x

f x

x

x

π

 



=

+

+



 

 


 

Yechish.  

Berilgan ifodani quyidagicha soddalashtiramiz: 

( )

(

)



4

4

2



2

2

sin



cos

1 2 sin


cos

1

1



1

sin 2


1

1 cos 4


.

2

4



x

x

f x

x

x

x

x

x

x

x

x

π

π



π

π

 



 

=

+



+

= −


+

=

 



 

 


 

 


 

= −


+

= −


+

+

 



 

 


 

 







  $%4

    funksiyaning  davri 

&







'



;   







  (





'

)



    funksiyaning  davri 

&





 *

  ga  teng.    U  holda   



  funksiyaning  davri   



&  +,-,&



, &





  *


  ga 

teng bo’ladi. Javob: 

π



3-misol. 



 

)

x



f

-  davri  3  ga  teng  va  quyidagi  shartni  qanoatlantiruvchi  davriy 



funksiya bo’lsin

 

2



x

x

f

=

)



(

3



0

<



x

Quyidagi tenglamani yeching: 

9

3



6

2

=



+

+

)



(

)

(



x

f

x

f

                                                    (7) 

 Yechish. 

2

x



x

f

=

)



(

 fnksiyaning [0;3) oraliqdagi grafigi  5-chizmada tasvirlangan: 

 


14 

 

 



5-chizma 

3    soni 

)

x



f

  funksiyaning  davri  bo’lgani  uchun 

)

(

)



(

)

(



x

f

x

f

x

f

2

3



2

6

2



=

+

=



+

 

tenglik  o’rinli.  U  holda  (7)  tenglama 



9

3

2



=

+

)



(

)

(



x

f

x

f

  ko’rinishga  keladi.  Ikkita 

holni qaraymiz 

1) 




<



<

3

2



0

3

0



x

x

  bo’lsin,  ya’ni   

2

3

0



<



x

.  U  holda  tenglama  quyidagi 

ko’rinishga keladi: 







<

=



+

2



3

0

0



9

3

4



2

2

x



x

x









<

=

2



3

0

7



9

2

x



x









<

±



=

2

3



0

7

3



x

x

,  


Demak,  

2

3



7

3

<

=

x

  va 


Z

n

n

x

+



=

    


,

3

7



3

1

 yechimga ega bo’lamiz. 



2) 





<



<

6

2



3

3

0



x

x

 bo’lsa  

3

2

3



<



x

 bo’lib  

3

3



2

0

<



x



 ni qanoatlantiruvchi x lar 

uchun tenglama quyidagi ko’rinishga keladi: 



15 

 

7



12

3

2



3

7

12



0

3

2



3

0

12



7

3

2



3

0

9



3

)

3



2

(

2



2

2

=









<





=



=







<

=









<

=



+



x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

;  


Shunday  qilib 

7

12



=

x

)



(

3

7



12

2

3



<

<

  ya’ni   



k

x

3

7



12

2

+



=

)



(

Z

  yechimga  ega 

bo’lamiz. Javob: 

 

3



12

{

3 ,  n



;  

3 ,  


}

7

7



n

Z

k k

Z

+



+



1.4§. Funksiyaning juftligidan foydalanish. 

Agar ixtiyoriy 



D

 uchun  1) 



D

,  2) f (–x) = f (x)  shartlar bajarilsa, u 



holda  f (x)- juft funksiya deyiladi. 

Juft  funksiyaning  grafigi  o’zining  aniqlanish  sohasida  OY  o’qiga  nisbatan 

simmetrik  bo’ladi.  Juft  funksiyalarga  misol  sifatida  y = cos x,  y = |x|,  y = x

2

 + |x|

 

larni keltirish mumkin. 



Agar ixtiyoriy 

D

 uchun  1) 



D

,  2) f (–x) =- f (x)  shartlar bajarilsa, u 



holda  f (x)- toq funksiya deyiladi. 

Toq  funksiyaning  grafigi  o’zining  aniqlanish  sohasida  koordinata  boshiga 

nisbatan  simmetrik  bo’ladi.  Toq    funksiyalarga  misol  sifatida    y = sin x,  y = x

3

  

larni keltirish mumkin. 



Funksiyaning juftligini aniqlashda quyidagi tasdiqlardan foydalanamiz.  

 



Juft  (toq) funksiyalar yig’indisi juft (toq) funksiya bo’ladi.  

 



Ikkita juft yoki ikkita toq funksiyalar ko’paytmasi jufy funksiya 

         bo’ladi.  

 



Juft va toq funksiyalar ko’paytmasi toq funksiya bo’ladi.  

 



Agar f juft (toq) bo’lsa, u holda 1/f  juft (toq) funksiya bo’ladi. 

16 

 

 



5

2



+

=

x



x

x

x

y

cos


cos

 juft funksiyaning grafigi 

 

 

(



)

x

x

x

y

cos


.

4

4



0

3

+



=

 toq funksiyaning grafigi 



1-misol 

 a



 

ning

 

biror bir qiymatida 

 

 

2x

8

 – 3

а

x



6

 + 4x

4

 – 

а

x



2

 = 5 

tenglama 5 ta ildizga ega bo’lishi mumkinmi? 

Yechish.    f(x)  =  2

х

8



  –  3

ах

6



  +  4

х

4



  – 

ах

2

  deb  olsak,    f(x)  –  juft  funksiya  bo’ladi. 


17 

 

Shuning  uchun,  agar  x



0

  –  tenglamaning  ildizi  bo’lsa,    u  holda  (-x



0

  )

  ham  ildiz 

bo’ladi  (0 

 5). Demak, bu tenglamaning ildizlari soni  ixtiyoriy haqiqiy   larda 



juft bo’ladi.Shuning uchun u 5 ta ildizga ega bo’lishi mumkin emas. 

2- misol

2



sin

2

+



+

=

x



x

x

 tenglamani yeching



Yechish.

 

 

Kvadrat uchhadning  xossalaridan 



1

,

0





<

>

x



x

 bo’lganda

1

2

2



>

+

+



x

x

 

 tengsizlik va demak, 



x

x

x

sin


2

2

>



+

+

 



tengsizlik ham o’rinli 

ekanligi kelib chiqadi.  

0

1





x

 oraliqda esa  

0

sin



,

0

2



2

>



+

+

x



x

x

 

tengsizliklar o’rinli . Shunday qilib, berilgan tenglamaning yechimga ega emasligi 



isbotlanadi. 

3-misol.

   


3

2

5



sin

2

2



+

+

=



x

x

x

 tenglamani yeching. 

          Yechish.  Berilgan tenglamani yechishda funksiyaning xossalaridan 

foydalanamiz. 

2

sin


2

,

sin



2

1

1



=

=



x

y

x

y

                   

8

,

2



min

3

2



5

;

3



2

5

2



2

2

2



2

=



+

+

=



+

+

=



y

x

x

y

x

x

y

 

.



min

max


2

1

y



<

 Demak,


3

2

5



sin

2

:



2

+

+



<



x



x

x

x

.  


Javob. Ø 

4-misol

 .  


x

x

x

x

2

6



log

)

1



(

log


2

2

2



=



+

 tenglamani yeching. 



Yechish.

 

x

x

x

x

x

f

2

6



log

)

1



(

log


)

(

2



2

2

+



+



=

 funksiyani 



x

t

2

log



=

 ga nisbatan 

kvadrat uchhad sifatida qarab, odatdagi standart usulda chiziqli ko’raytuvchilarga  

ajratiladi: 

)

3

)(log



2

(log


)

(

2



2

+



+

=

x



x

x

x

f

Demak, 



0

)

3



)(log

2

(log



2

6

log



)

1

(



log

2

2



2

2

2



=

+



+



=

+



x

x

x

x

x

x

x

1) 



;

4

1



,

2

2



log

=



=

x

x

  2)  


x

x

=



3

log


2

,” tanlash” yo’li bilan ikkinchi 

tenglamaning 

2

=



x

 topilib topilib, uning yagona ekanligi ko’rsatiladi. 

 

Tenglamaning aniqlanish sohasi  



)

2

;



0

(



x

 bo’lsin. 

U holda 

x

x

x

x

x



<



<

=

<

3

log


,

3

1



2

log


log

2

2



2

. Demak, 

)

2

;



0

(



x

 da ikkinchi 

tenglama yechimga ega emas. 

2

>



x

 bo’lsin.  U holda  



x

x

x

x

x

>



>



=

>

3



log

3

1



log

log


2

2

2





18 

 

Bu holda ham tenglama echimga ega emas.  Javob



.

 

2



,

2

1



 

4-misol

 .    


2

)

10



18

9

(



log

cos


2

3

1



2

+

+



=

y

y

xy

ctgxy

 tenglamani yeching. 



Yechish.

  

Tenglama quyidagi ko’rinishda qayta yozib olinadi. 

2

)

10



18

9

(



log

2

sin



2

2

3



1

+

+



=

y



y

xy

1



)

1

)



3

3

min((



)

10

18



9

min(


2

2

=



+

+



=

y



y

 bo’lgani uchun va 

0

,

log



3

1

>



t

t

 funksiyaning 

kamayuvchi ekanligini e’tiborga olinsa, 

)

2



2

1

log



2

)

3



3

((

log



3

1

2



3

1

=



+

+





y

.  


2

2

)



10

18

9



(

log


2

3

1



+

+





y

y

 

tengsizlik hosil bo’ladi. 







+



=

=







=

=









=

=

+



+



+

+



=



;

;

2



4

1

2



2

sin


2

1

2



2

sin


2

2

2



)

10

18



9

(

log



2

)

10



18

9

(



log

2

sin



2

;

1



2

sin


2

3

1



2

3

1



Z

k

k

x

y

xy

y

xy

y

y

xy

xy

π

π



 

yechim hosil qilinadi. Javob.

    

Z

k

k

x

+



=

;

2



4

π

π



 ; 

1

=



y

.

 



 

5-misol

.     


1

1

2



)

(

)



(

2

2



2

+

+



=

+

+



+

x

x

y

x

ctg

y

x

tg

π

π



 tenglamani yeching. 

Yechish. 

  

2



1

1

2



2

)

(



)

(

2



2

2



+

+



+

+

+



x

x

va

y

x

ctg

y

x

tg

π

π



 munosabatlarni 

e’tiborga olsak,berilgan tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli 

bo’ladi: 


19 

 





=

+



+

=

+



+

+

2



1

1

2



2

)

(



)

(

2



2

2

x



x

y

x

ctg

y

x

tg

π

π



 

Sistemaning ikkinchi tenglamasidan 

1

=

x



 yechim hosil bo’ladi, bundan 

.

,



4

1

,



,

4

,



1

2

2



2

2

Z



k

k

y

Z

k

y

y

tg

y

ctg

y

tg

+



±

=



±

=



=

+

π



π

π

π



π

 

Javob:

      

1

=



x

;    


.

,

4



1

Z

k

k

y

±



=

 

 



6-misol

.  


y

y

x

x

2

cos



3

cos


)

cos


(sin

2

2



+

=

+



 tenglamani yeching. 

Yechish. 

);

2



cos

1

(



2

cos


4

sin


4

y

y

x

+

+



=





+

π



Download 0.51 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling