Mundarija kirish bob funksiyaning xossalaridan foydalanib masalalar yechish


Download 0.51 Mb.
Pdf ko'rish
bet3/4
Sana29.03.2020
Hajmi0.51 Mb.
1   2   3   4

 

;

cos



1

cos


4

sin


2

2

y



y

x

+

=







+

π

 

;

0

4



sin

1

4



sin

cos


2

2

=











+

+











+



x



x

y

π

π



 

;

0



4

cos


4

sin


cos

2

2



=





+

+











+



x



x

y

π

π



 

Demak, berilgan tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli: 







=





+







+

=

0



4

cos


,

4

sin



cos

x

x

y

π

π



 

Sistemaning ikkinchi tenglamasidan 



Z

k

k

x

+



=

,

4



π

π

 yechim hosil bo’ladi.Bu 



qiymatlarni ikki guruhga ajratib olish qulaydir: 

 

a) 



;

2

4



.

,

2



1

π

π



m

x

Z

m

m

k

+

=



=

 



 

b) 


.

2

4



5

2

4



.

,

1



2

2

π



π

π

π



π

m

m

x

Z

m

m

k

+

=



+

+

=



+

=



 

Endi   ning qiymatlari topiladi: 



20 

 

.



),

1

2



(

2

,



2

;

1



2

3

sin



cos

,

2



sin

cos


;

4

sin



cos

,

4



sin

cos


2

1

2



1

2

2



1

1

Z



r

r

r

y

n

y

y

y

x

y

x

y

+



=

+

=



=

=



=

=





+



=





+

=



π

π

π



π

π

π



π

π

 



Javob.

    


;

2

4



5

;

2



;

2

4



2

1

1



π

π

π



π

π

m



x

n

y

m

x

+

=



=

+

=



 

   


.

,

,



;

)

1



2

(

2



Z

r

n

m

r

y

+



=

π

 



 

7- misol

0



1

cos


2

2

2







x



y

y

x

 tengsizlikni yeching. 



Yechish . 

)

;



(

y

x

 

juftlik tengsizlikni echimi bo’lsin. 

0

1

cos



2

2

2







x



y

y

x

  

munosat o’rinli. U holda,  



1

cos


,

1

,



1

2

2



2



+





y

y

x

y

x

y

 bo’lgani uchun  

1

cos ≥


x

.Bundan esa 

1

cos =


x

ekanligi kelib chiqadi.  

Demak, 

1

1



cos

2

2



2

=

=



+



=

y

x

y

y

x

 tenglik bajarilishi shart.

1



y



 munosabat e’tiborga 

olinsa,


1

.

1



2

+



=

x

y

y

 bo’lgani uchun esa 

0

=

x



.Shunday qilib, bu juftlik berilgan 

tengsizlikning yechimi bo’lishi uchun 

0

=

x



,

1

=



y

 

bo’lishi zarur.  



Javob.

 

0



=

x

,

1



=

y

 



8-misol.

 





+

=

+



y

y

x

x

2

2



1

4

2



2

1

sistemaning qanoatlantiruvchi barcha 



y

x

 sonlarni 



toping. 

Yechish.

  Faraz qilaylik,

0

0

y



x

 sonlar sistemani  qanoatlantirsin: 







+



=

+

0



2

0

1



2

2

1



4

2

0



0

y

y

x

x

 

Birinchi tenglamadan 



2

1

2



2

2

0



0

+

=



y

x

 tenglik hosil bo’ladi; sistemaning ikkinchi 

tengsizlik e’tiborga olinsa:  

;

2



1

.

0



)

1

2



(

.

0



1

4

4



,

2

2



1

2

0



2

0

0



2

0

0



2

0

=





+



+

y

y

y

y

y

y

 

0



y

 ning topilgan qiymatini tenglamaga qo’yib,

0

0

=



x

 topiladi. Javob. 

0

=

x



;

2

1



=

y



9- misol

.  Quyidagi shartlarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi barcha (x;y) 

juftliklarni toping:

 


21 

 

a)  



;

0

12



2

2

=



+



xy



x

  b) 


;

60

4



2

2



+

y

x

   d)  


.

Z

 

Yechish.

 Faraz qilaylik, (x;y) juftlik a),b),d) shartlarni bir vaqtda 

qanoatlantirsin. U holda a) shartdan  

,

0



x

 

,



6

2

2



12

2

x



x

x

x

y

+

=



+

=



,

3

2



6

2

2



=

=



x

x

y

 

.



12

2



y

 

 Oxirgi hosil bo’lgan munosabat e’tiborga olinsa, b) shartdan  



,

60

4



2

2



+

y

x

 

,



12

12

4



60

4

60



2

2

=







y



x

 ya’ni 


.

12

2





x

 

Shunday qilib, d) shart ham e’tiborga olinadigan bo’lsa,  



3

;

2



;

1

±



±

±

=



x

 yechimlar hosil bo’ladi. 



22 

 

1.5§. Funksiyaning aniqlanish sohasidan foydalanish. 

 

   funksiya ma’noga ega bo’ladigan barcha haqiqiy sonlar to’plami 



bu funksiyaning aniqlanish sohasi deb ataladi.  

Ba’zi  hollarda  funksiyaning  aniqlanish  sohasini  bilish,  tenglama  va 

tengsizliklarning  yechimga  ega  emasligini  isbotlashda,  ba’zi  hollarda  esa 

aniqlanish  sohasiga  tegishli  sonlarni  tenglamaga  bevosita  qo’yish  natijasida  

yechimlarni topish imkonini beradi. 

1-misol. Tenglamani yeching:

 

                               



(

)

5



3

log


3

x

x

=



.    


(1) 

Yechish. 

 Berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi 

3   / 0 va   3   0  

shartlarni  bir  vaqtda  qanoatlantiruvchi  x  lardan,  ya’ni    bo’sh    to’plamdan  

iborat.Shuning uchun tenglama yechimga ega emas. 

2- misol.  Tenglamani yeching: 

 

4



sin

sin


tg

x

x

x

=



+

.  


 

(2) 


Yechish.

  Berilgan  tenglamaning  aniqlanish  sohasi 

|| / 0    va    || / 0  

 


'



 *,   2    shartlarni  bir  vaqtda  qanoatlantiruvchi  x  lardan,  ya’ni 



  *,   2 to’plamdan  iborat. х ning bu qiymatlarini (2) tenglamaga qo’yib, 

tenglamaning  chap  va  o’ng  tomonlari  bir  xil  0  ga  teng  qiymat  qabul  qilishini 

ko’ramiz.  Bu  esa   

  *,   2  sonlarning  barchasi  uning  yechimi  bo’lishini 

anglatadi.  

3- misol. Tengsizlikni yeching: 

4

5



log

1

x



x

<



 

(3) 


Yechish. 

Berilgan  (3)  tenglamaning  aniqlanish  sohasi 

0    3 1   shartni   

qanoatlantiruvchi  x  lardan  iborat.  Ko’rinib  turibdiki,  х  =  1    bu  tengsizlikning 

yechimi  bo’lmaydi.   

0      1  oraliqdan  olingan  x  lar  uchun  4%5

6



0,   √1  

7

 0  tengsizliklar o’rinli. Demak 0      1 oraliqdan olingan barcha 



23 

 

lar  (3) tengsizlikning yechimi bo’ladi 

4- misol. Tengsizlikni yeching:

  

4



3

9

3



x

x

+

+





<

 



(4) 

Yechish. 

Berilgan (3) tenglamaning aniqlanish sohasi 

3 3  3 9  oraliqdan 

iborat.  Bu to’plamni ikki qismga ajratamiz: 

3 3  3 0   va  0< 3 9   . 

3 3  3 0    dan  olingan  х  lar  uchun  √   3 / 0, √9   



/ √9 




 3. 


Demak,  bu  oraliqda 

√   3     √9   



/ 3  tengsizlik  o’rinli  va  bu  oraliqda 



tengsizlik yechimga ega emas. 

х

  soni  0<



 3 9    shartni  qanoatlantirsin.  U  holda    √   3 / √3   va 

√9   




/ 0 tengsizliklar o’rinli. Bu oraliqda 

 

√   3     √9   





 3  tengsizlik  o’rinli  bo’lib  (4)  tengsizlikning  yechimi 

y’oqligini anglatadi. Shunday qilib (4) tengsizlik yechimga ega emas ekan. 

 


24 

 

2-BOB TENGLAMALARNI YECHISHNING BA’ZI SUN’IY USULLARI 

 

Tenglama  va  tengsizliklarni  funksiyalarning  xossalaridan  foydalanmasdan 



ham  boshqa  nostandart  usullari  yordamida  yechish  mumkin.  Mazkur  bob 

tenglamalarni yechishning qo’shimcha sun’iy usullarini o’rganishga bag’ishlangan.  



 

2.1§. Tenglamani funksiyaga ko’paytirish. 

 

Ba’zi hollarda, alebraik tenglamalarni yechishda uning ikkala tomonini biror 



ko’phadga  ko’paytirish  bilan  jarayonni  ancha  osonlashtirish  mumkin.  Faqat 

bunday  hollarda  tenglamaning  har  ikki  tomoniga    ko’paytiriligan  ko’phadning 

ildizlari ortiqcha ildizlar sifatida paydo bo’lishini unutmaslik kerak. Shuning uchun  

ildizga  ega  bo’lmagan  ko’phadga  ko’paytirib  teng  kuchli  tenglamani  hosil  qilish 

yoki  ildizga  ega  ko’phadga  ko’paytirib    so’ngra  hosil  bo’lgan  ildizlarni  berilgan 

tenglamaga qo’yib tekshirib ko’rish kerak bo’ladi. 



1-misol.

 Tenglamani yeching: 

8

6

4



2

1 0


x

x

x

x

+



+ =


 

(1) 



Yechish.

 Tenglamaning har ikkala qismini ildizlarga ega bo’lmagan  





 1 



ko’phadga  ko’paytirib  (1)  ga  teng  kuchli  bo’lgan    quyidagi  tenglamaga  ega 

bo’lamiz 

(

)(

)



2

8

6



4

2

1



1

0

x



x

x

x

x

+



+

+



=

                                                        (2) 

 (2) tenglamani quyidagicha yozish mumkin 

10

1



0

+ =

 



(3) 

Ko’rinib  turibdiki,  (3)  tenglama  haqiqiy  ildizlarga  ega emas,  demak  (1) tenglama 

ham haqiqiy ildizlarga ega emas.  

2-misol.

 Tenglamani yeching: 

3

2

6



20

12

0



x

x

x



+

=



 

(4) 


 

25 

 

Yechish.

 Tenglamaning har ikkala qismini 







 ga ko’paytirib,  



4

3

2



41

6

2



2

6

0



2

x

x

x

x

+



+

+

=



 

 

(5) 



tenglamaga ega bo’lamiz. 

(5)  tenglama  to’rtinchi  darajali  simmetrik  tenglamadir.    x=0    (5) 

tenglamaning  yechimi  bo’lmagani  uchun    uning  har  ikkala  tomonini  2x

2

  ga 


bo’lamiz  hadlarni  guruhlab  (5)  gat  eng  kuchli  bo’lgan  quyidagi  tenglamaga  ega 

bo’lamiz 

2

2

1



1

41

3



0

4

x



x

x

x

 



+

+



+

=



 


 



  

 



(6)  

y=x+1/x

  belgilash yordamida (6) tenglamani  

2

65

3



0

4

y



y

+



=

 

 



(7) 

ko’rinishga keltiramiz.  

(7)  tenglama  ikkita:  y

1

=-5/2

  va  y



2

=13/6

  ildizlarga  ega.    Shuning  uchun  (6) 

tenglama quyidagi tenglamalar majmuasiga teng kuchli 

1

13



6

x

x

+

=



         ,         

1

5



2

x

x

+

= −



Bu tenglamalarning har birini yechib, (6) tenglamaning to’rtta ildizini topamiz: 









2

3,   






3



2 ,



:



 2,



7



 

1



 



7



 







 

  ildiz  (4)  tenglama  uchun  chet  ildiz  bo’lgani  uchun  berilgan  tenglama 

uchta  x

1

, x

2

, x

3

 

ildizlarga ega bo’ladi.  

 

 

 

 

 

 


26 

 

2.2§. Tenglama ildizini topishning “tanlash” usuli. 

 

Ba’zi  hollarda  tenglamaning  tashqi  ko’rinishidan  uning  ildizlarini  topish 



mumkin bo’ladi.  

1-misol.

 Tenglamani yeching: 

3

3

3



36 12

x

x

+



=

 



(1) 

 

Yechish

. (1) tenglamani quyidagicha qayta yozib olamiz: 

3

3



3

12

12 3



0

x

x

+



⋅ =


 

(2) 



Bu  tenglamaning  tashqi  ko’rinishidan 

х

  =  12

  soni  uning  ildizi  bo’lishini  sezish 

qiyin  emas.  Qolgan  ildizlarni  toppish  uchun  ko’phadni  quyidagicha 

soddalashtiramiz.  

(

) (



)

(

) (



)

(

)



3

3

3



3

2

2



3

12

3 12



12

3

12



12

12

12



3

x

x

x

x

x

x

x

+



+ ⋅

=



+

=



+

+



+

=

 



(

)

(



)

2

12



12

147 .


x

x

x

=



+

+

 



x

2

+12x+147

    ko’phad  ildizlarga  ega  emas,  shuning  uchun  berilgan  tenglama 

yagona 

х

 = 12



 ildizga ega bo’ladi. 

2-misol.

 Tenglamani yeching: 

(

) (


)(

) (


)(

) (


)(

) (


)(

)

(



)(

) (


)(

) (


)(

) (


)(

) (


)(

)

1



1

2

2



3

3

4



4

5

5



6

6

7



7

8

8



9

9

10



1 2

2 3 3 4


4 5 5 6 6 7

7 8 8 9 9 10.



x x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+

+



=

= ⋅ +


⋅ + ⋅ +

⋅ + ⋅ +


⋅ +

⋅ + ⋅ + ⋅

 

Yechish

.  Osongina ko’rish mumkinki, x



1

=0

 va x



2

=-10 

lar bu tenglamaning ildizlari 

bo’ladi.    Ko’rinib  turibdiki,  qavslarni  ochib  soddalashtirilgandan  so’ng  tenglama 

kvadrat tenglamaga aylanadi. Bu esa uning ikkitadan ortiq ildizlarga ega emasligini 

anglatadi.  Ikkita  ildizni  topganimiz  uchun,  bu  ildizlar  berilgan  tenglamaning 

yechimi bo’ladi. 

 


Download 0.51 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling