Mundarija kirish bob funksiyaning xossalaridan foydalanib masalalar yechish


Download 0.51 Mb.
Pdf ko'rish
bet4/4
Sana29.03.2020
Hajmi0.51 Mb.
1   2   3   4

 

 

27 

 

2.3§. Parametrga bog’liq masalalarni yechish. 



 

Mantiqiy xarekterdagi jiddiy qiyinchiliklar odatda  tenglamalar, tengsizliklar 

yoki  parametrga  bog’liq  sistemalarni  yechishda  ko’p  uchraydi.  Bunday  masalalar 

uchrashi  mumkin  bo’lgan  eng  qiyin  masalalar  bo’lib  ular  mantiqiy  fikrlash 

madaniyatini talab qilishi bilan ajralib turadi. Bunga o’hshash masalalarni yechish 

jarayonida doimo qanday bosqich amalga oshirilgani, yana nima qilish kerakligini, 

olingan natijalar nimalarni anglatishini tasavvur etib borishga to’gri keladi. 

1.

 

a parametrning qanday qiymatlarida 

                          1+sin

2

 ax=cos x 

 tenglama  yagona yechimga ega bo’ladi?  

Yechish: 

Ko’rinib turibdiki, a-ixtiyoriy bo’lganda sin



2

 ax

 ifodani sinx va cosx  lar 

orqali  ifodalab  bo’lmaydi.  Shuning  uchun  qaralayotgan  tenglamani  odatdagi 

usullar  yordamida  yechib  bo’lmaydi,  ya’ni  uni  echishning  yangi  usulini  topish 

kerak.  

cosx < 1 <  1+sin

2

 ax

 munosabat  ixtiyoriy  x lar uchun o’rinli bo’lgani uchun 

berilgan tenglik  

   1+sin



2

ax=1

                                                 sinax=0 

 

yoki 


   cosx=1

                                                         cosx=1     

sistemalar yechimga ega bo’lganda va faqat shundagina o’rinli bo’ladi. 

Shunday qilib, oxirgi sistemalarni yechish va a ning qanday qiymatlarida u yagona 

yechimga  ega  bo’lishini  aniqlash  kerak.  Berilgan  tenglama  yuqoridagi  sistemaga 

teng kuchli bo’lganligi uchun a ning bu qiymatlari izlanayotgan qiymatlar bo’ladi. 

   

Xuddu mana shu joyda mantiqiy qiyinchiliklarga duch kelamiz. 



Birinchi tenglamalar sistemasini yechib, 

ax= k

π

, k=0,+1,+2,…

yechimlarga , 

 ikkinchi sistemani yechib  



x=2n

π

,n=0,+1+2,… 

yechimlarga ega bo’lamiz.  


28 

 

Bizga  har  ikkala  tenglamani  bir  vaqtda  qanoatlantiradigan  x  lar  kerak,  ya’ni 



shunday  k  va  n  sonlarni  topishimiz  kerakki,  ikkita  yechimlar  to’plamida  x  ning 

yagona qiymati hosil bo’lsin. Shunday qilib, n va k ikki noma’lumli, a parametrga 

bog’liq  

                                      2an

π

=k

π

                                                           (1)  



bitta  tenglamani  yechishimiz  kerak.    Ko’rinib  turibdiki,  ixtiyoriy  a  da  n=k=0 

sonlar  tenglamaning  yechimi  bo’ladi.  Bu  qiymatlarga  x=0  ildiz  mos  keladi.  

Shunday   qilib, ixtiyoriy a da berilgan tenglama x=0 yechimga ega. 

Agar n



0

 bo’lsa, u holda (1) tenglamani  

                                   a=k/2n                                                                 (2)    

ko’rinishda yozib olish mumkin.   

Endi  oldimizga  qo’yilgan  asosiy  masalani  eslaylik:    biz  oldimizga 

tenglamani  yechish  emas,  balki a  ning  qanday  qiymatlarida uning  yagona ildizga 

ega ekanligini aniqlashimiz kerak edi. 

Ammo  (2)  tenglikni  qanoatlantiruvchi  ixtiyoriy  (n,k)    juftlik  berilgan  

tenglamaning  x=2n

π

=

π

k/a

  yechimlarini  beradi.  Binobarin,  ixtiyoriy  a  da  yagona 



x=0 

 ildizni topgan ekanmiz, endi a ning shunday qiymatlarini izlashimiz kerakki, 

(2)  shart  bajariladigan  k  va  n  lar  mavjud  bo’lmasin.  Ko’rinib  turibdiki,  agar  a

irratsional  son  bo’lsa,  bunday  k  va  n  lar  haqiqatdan  ham  mavjud  emas.  Demak, 

dastlabki  natijaga  ega  bo’ldik,  ya’ni  agar  a-  irratsional  son  bo’lsa,  berilgan 

tenglama yagona yechimga ega bo’ladi.  

Agar a- ratsional son bo’lsa, ya’ni  a=p/q bo’lsa u holda a=2p/2q deb olib, 

(2)  tenglamadan  k=2p, n=q  yechimlarga ega bo’lamiz. Demak, bu holda berilgan 

tenglama x=0 dan tashqari hech bo’lmaganda bitta (aslida cheksiz ko’p) yechimga 

ega bo’ladi. Shunday  qilib, ratsional a larda tenglama bittadan ko’p yechimga ega 

bo’ladi. Masala yechildi. 

Yuritilgan  mulohazalar  bizga  qat’iy  matematik  yechimni  berolmaydi. 

Shuning  uchun  quyida  tenglamani  yechishning  qat’iy  matematik  usulini  qarab 

chiqamiz. 

Yuqorida ko’rindiki, ixtiyoriy da tenglama yagona x=0 yechimga ega. 


29 

 

Endi a- irratsional bo’lganda boshqa yeshim yo’qligini, a- ratsional bo’lganda esa 



0 dan boshqa yechimlar ham borligini isbotlaymiz. 

cosx < 1 <  1+sin

2

 ax

 tengsizliklardan ko’rinadiki, x son faqat va faqat  

                1+sin

2

ax=1, cosx=1 yoki        sinax=0 ,  cosx=1 



shartlarni  qanoatlantirgandagina berilgan tenglamaning yechimi bo’ladi. 

Agar  x



0

  soni  ohirgi  sistemaning  yechimi  bo’lsa,  birinchidan  k-butun  son  uchun   



ax=

πк

    tenglik,  ikkinchidan  n  butun  son  uchun  x=2n



π

,  n



0

  tengliklar  o’rinli 

bo’ladi. Ammo 2a

π

n=

πк→


 a=

к

/2n

 tenglikdan a ratsional bo’lgani uchun qarama-

qarshilikka duch kelamiz.  Endi faraz qilaylik, a ratsional bo’lsin: a=p/q 

U holda x=2

π

q

 soni noldan farqli yechim bo’ladi. Shunday qilib berilgan tenglama 

a

 ning faqat va faqat  irratsional qiymatlari uchun yagona yechimga ega bo’ladi. 

Berilgan  masalani  grafik  usulda  ham  yechish  mumkin.  a



0

  deb  hisoblaymiz, 

chunki a=0 da tenglama cheksiz ko’p yechimga ega bo’ladi. Berilgan tenglamani 

quyidagi ko’rinishda yozib  olamiz sin

2

ax=cosx-1

 va  


y

1

=cosx-1, y

2

=sin

2

ax=1-cos2ax/2 

ikkita  funksiyani qaraymiz va bitta koordinatalar sistemasida ularning grafiklarini 

chizamiz: 

             

 

y=sin



2

ax 

         

 

        



 

        


 

 

 



 

 

   



 

Chizmadan ko’rinib turibdiki, berilgan tenglama ikkita grafik umumiy nuqtalarga 

ega  bo’lganda  va  faqat  shu  holda  yechimga  ega  bo’ladi.  Bundan  tashqari  

ixtiyoriy  son  bo’lganda  ikkita  funksiyaning  grafigi  x=0  da  kesishadi  va  grafiklar 



Ox

  o’qiga  uringan  holdagina  umumiy  nuqtalarga  ega  bo’lishi  chizmada 

tasvirlangan,    ya’ni  sin

2

ax=0

  va    cosx=1    shartlar  bir  vaqtda    bajarilgandagina 

o’rinli  bo’ladi.  Ammo  ax=n

π

  lar  uchun  sin



2

ax=0

  va  x=2

кπ

  lar  uchun  x=2



кπ

 


30 

 

bo’lgani  uchun  2



кπ≠

n

π

,  n,

к≠

0

    munosabat  bajarilgandagina  x=0  yagona  ildiz 

bo’ladi.    

Boshqacha  qilib  aytganda,  noldan  farqli  n  va  k  butun  sonlar  uchun  a



n/2k

  shart 


bajarilgabdagina berilgan tenglama yagona yechimga ega bo’ladi.  So’ngra, huddi  

yuqoridagi  kabi  a-irratsional  va  faqat  irratsional  son    bo’lgandagina  tenglama 

yagona ildizga ega ekanligi ko’rsatiladi. 

          Parametrga  bog’liq  masalalarni  yechish  jarayonida  ko’p  hollarda 

quyidagicha  mulohaza  yuritish  samara  beradi.  Faraz  qilaylik,  a-  parametr  masala 

shartini  qanoatlantiruvchi  biror  tayinlangan  son  bo’lsin;  a  ning  bunday 

qiymatlarini  mos  qiymat  deb  ataydilar.  So’ngra,  a  ga  nisbatan  masala  shartidan 

kelib chiqqan holda shartlar yoki mumkin bo’lgan hollarni hosil qilamiz. Bu bilan 

kerakli  shartlarni  qanoatlantiruvchi  parametr  a  ning  mos  qiymatlari  topiladi. 

Shunday qilib, bu shartlarni qanoatlantirmaydigan   a parametrning qiymatlari o’z-

o’zidan  mos  qiymatlar  bo’lmay  qoladi  va  hosil  qilingan  shartlarnigina 

qanoatlantiruvchi qiymatlarni qarash qoladi.  

Hususan,  agar  bu  shartlarni  ba’zi  konkret  qiymatlar  qanoatlantirsa,  u  holda 

masalani yechish bu qiymatlarni bevosita tekshirib ko’rishga keltiriladi. 

 

 


31 

 

Xulosa 

 

Tadqiqot jarayonida qo’yilgan barcha maqsadlarga erishildi va bitiruv ishida 



qo’yilgan barcha masalalar yechildi  hamda quyidagi natija va xulosalar olindi: 

1.

 

 Funksiyalarning 

xossalaridan 

foydalangan 

holda 

tenglama 



va 

tengsizliklarni yechish usullarini qo’llashga doir masalalar qaraldi. 



2.

 

Parametrga bog’liq masalalarni yechish usullari o’rganildi. 



3.

 

 Tenglama va tengsizliklarni yechishning qo’shimcha nostandart va sun’iy  

usullari qarab chiqildi va amalda qo’llanildi. 

 

 



32 

 

Foydalanilgan adabiyotlar 

 

1.

  Голубев



 

В



И

. «


Решение

 

сложных



 

и

 



нестандартных

 

задач



 

по

 



математике

», 


1995 

г



2.

  Горштейн

 

П



И

. «


Задачи

 

с



 

параметрами

», 

М

. «



Илекса

», 1999 


г

3.



  Далингер

 

В



А

. «



Нестандартные

 

уравнения



 

и

 



методы

 

их



 

решения


», 

Омск


1995 


г

4.



  Журнал

 «

Математика



 

в

 



школе

», 1999-2007 

г



5.



  Кулагин

 

Е



Д

. «300 



конкурсных

 

задач



 

по

 



математике

», 2003 


г

6.



  Литвиненко

 

В



Н

., 



Мордкович

 

А



Г

.  «



Практикум

 

по



 

элементарной

 

математике



Алгебра


Тригонометрия

», 1991 

г



7.

  Олехник

 

С



Н

., 


Потапов

 

М



К

., 



Пасиченко

 

П



И

. «



Нестандартные

 

методы



 

решения


», 1992 

г



8.

  Потапов

 

М



К

.  «


Уравнения

 

и



 

неравенства

Нестандартные



 

методы


 

решения


» 

М

. «



Дрофа

», 2002 


г

9.



  Супрун

 

В



П

.  «



Нестандартные

 

методы



 

решения


 

задач


 

по

 



математике

» 

Минск



 «

Полымя


», 2000 

г



10.

 

Nasimov H.A., Husanov J., To’raqulov D.D. Matematikadan praktikum. O’quv 



qo’llanma.Toshkent, Ilm ziyo -2004. 

 

Download 0.51 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling