Mustaqil ish mavzu: Koordinatalarni almashtirish Maqsad

MUSTAQIL ISH 

Mavzu: Koordinatalarni almashtirish 

 

Maqsad: Talabalarga koordinatalarni almashtitrish va ular orasidagi munosabatlarni 

chuqurroq o’rgatish. Topshiriqlar orqali ularning bilimini sinash.   

REJA: 

1.  Koordinatalar sistemasi, bazis vektorlari, radius vektor; 

2.  Koordinatalarni burish; 

3.  Yangi va eski koordinatalar orasidagi o’zaro munosabat. 

Asosiy tushunchalar 

 

Koordinatalar sistemasini biror burchakka burish natijasida yangi koordinatalar 

sistemasi hosil bo’ladi (1-chizma). Hosil bo’lgan koordinatalar sistemasining 

i

e ′



  bazis 

vektorlarini eski 

j

e



  bazis vektorilari orqali 

quyidagicha ifodalash mumkin 

j

ij

i

e

e





α

=

′

,                               (1) 

bu yerda  

ij

α

  yangi bazis vektorilarining eski bazis 

bilan tashkil qilgan burchaklari kosinuslari.  Xuddi 

shunday eski bazislarni ham yangi bazislar orqali 

ifodalash mumkin 

j

ij

i

e

e

′

′

=





α

,                             (2) 

bu yerda 

ij

α

′

  eski bazis vektorilarining yngi bazis bilan tashkil qilgan burchaklari 

kosinuslari.  

Masala. 

'

3

'

2

'

1

x

x

Ox

  va  

3

2

1

x

x

Ox

 koordinatalar sistemasini 

orasidagi bog’lanish munosabat bog’lovchi koordinat 

almashtirishlar quyidagi jadval shaklida berilgan: 

1.  Ortogonallik sharti bajarilishini ko’rsating. 

2.  Berilgan 

)

4

,

2

,

1

(

A

  nuqtaning shtrixli koordinatalar 

x

1

 

x

2

 

x

3

 

x

’

1 

x

’

2 

x

’

3 

O

 

1-

сhizma 

2

e



 

2

e ′



 

1

e



 

1

e ′



 

3

e ′



 

3

e



 

 

X

1 

X

2 

X

3 

X

1

’ 

2

5

3

−

 

2

1

 

2

5

4

−

 

X

2

’ 

5

4

 

0 

5

3

−

 

X

3

’ 

2

5

3

 

2

1

 

2

5

4

 

 

sistemasidagi koordinatalarini aniqlang. 

3. 

)

,

,

(

3

2

1

a

a

a

a

 vektorni shtrixli koordinatalar sistemasida ifodalang. 

4. 

0

=

+

+

+

D

Cz

By

Ax

 tekislik tenglamasini shtrixli koordinatalar sistemasida ifodalang. 

 

Yechish 

1.  Ortogonallikni ixtiyoriy satr(ustun)ning komponentalarini boshqa ixtiyoriy 

satr(ustun)ning mos komponentalariga ko’paytmalari yig;indisi nolga tengligidan 

topamiz  

.

;

;

0

2

5

4

2

5

4

2

1

2

5

3

2

5

3

0

5

3

2

5

3

0

5

4

5

4

2

5

3

0

2

5

4

2

5

3

5

3

5

4

2

5

4

2

5

3

;

0

2

1

2

5

3

0

5

4

2

1

2

5

3

2

=

⋅

−













+

⋅

−

=











−

⋅

+

⋅

+











−

⋅

−

=

⋅

+











−

⋅

+













−

⋅

−

=

⋅

+

⋅

+

⋅

−

 

Demak ortogonallik sharti bajarilar ekan. 

2.  Shtrixli koordinatalar sistemasida 

А nuqtaning koordinatalarini topamiz  

.

2

5

5

19

4

2

5

4

2

2

1

1

5

2

3

;

5

16

4

5

3

2

0

1

5

4

;

2

5

23

4

2

5

4

2

2

1

1

5

2

3

3

2

1

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

′

−

=

⋅

−

⋅

+

⋅

−

=

′

−

=

⋅

−

⋅

+

⋅

−

=

′

x

x

x

 

        Demak,  shtrixli koordinatalar sistemasida  













+

−

−

2

5

5

19

,

5

16

,

2

5

23

A

. 

• 

3.  Tekislik tenglamasini shtrixli koordinatalarda ifodalaymiz

         

• 

⇒

=

+













′

+

′

+

′

+

+













′

−

′

+













′

−

′

+

′

−

=

+

+

+

0

2

5

4

2

1

2

5

3

5

3

5

4

2

5

4

2

1

2

5

3

3

2

1

3

1

3

2

1

3

2

1

D

x

x

x

C

x

x

B

x

x

x

A

D

Cx

Bx

Ax

 

• 

                         

0

2

5

4

5

3

2

5

4

2

2

2

5

3

5

4

2

5

3

3

2

2

=

+

′













+

−

−

+

′













+

+

′













+

+

−

D

x

C

B

A

x

C

A

x

C

B

A