Некоторый многочлен степени

где - некоторый многочлен степени
Норма функционала и функция связаны между собой соотношением
(9)
Подставляя (8) в (9), видим, что квадрат нормы функционала погрешности представляет собой квадратичную функцию его коэффициетов

(10)
где
Напомним, что коэффициенты в равенстве (10) должны удовлетворять системе линейных уравнений (4).
Сформулируем условия, при которых квадратичная функция достигает минимума на множестве векторов , подчиненных соотношению (4).
Для этого применим метод неопределенных множителей Лагранжа. Рассмотрим вспомогательную функциюю.
(11)
Приравнивая нулю частные производные от по и , получаем
(12)
(13)
Решение системы (12), (13), которое мы обозначаем и , представляет собой стационарную точку функции .
Система (12), (13) имеет единственное решение. Существование и единственность решения этой системы доказывается так же, как существование н единственность решения системы для коэффициентов оптимальной кубатурной формулы [2,3].
Систему (13) можно записать в матричном виде
(14)
с матрицей