Oliy matematika


Download 0.58 Mb.
Pdf ko'rish
bet2/4
Sana26.03.2020
Hajmi0.58 Mb.
1   2   3   4

        4-misol. 

2

x



y

  parabolaga 



 

9

;



3

M

  nuqtasida  o’tkazilgan  urinmaning  burchak 

koeffitsienti topilsin. 

Yechish. 

0

x

=3, 

 


 

9

3



3

2

0





f

x

f

 



0

0

2



'

x

x

f

 edi.  



Demak,  k= 

 


6

3

2



3

'





f



 Murakkab funksiyaning hosilasi 

    


Murakkab funksiyani differensiallash qoidasi bilan tanishamiz. 

)

(u



f

y

,  



)

(x



u



 

murakkab funksiyani qaraymiz. 



      

Teorema. 

)

(u



f

y

  va 



)

(x



u



  differensiallanuvchi  funksiyalar  bo’lsin. 

Murakkab   

)

(u



f

  funksiyaning  erkli  o’zgaruvchi    х    bo’yicha  hosilasi  bu  funksiyaning 

oraliq argumenti  u  bo’yicha hosilasi 

'

u



y

 ning oraliq argumentning erkli o’zgaruvchi  х  

bo’yicha hosilasi 

)

(



x

u

 ga ko’paytmasiga teng, ya‘ni  



x

u

x

u

y

y







        Isboti. 

)

(x



u



funksiya 

0

x



x

  nuqtada, 



)

(u



f

y

  funksiya  esa  bu  nuqtaga  mos   



)

(

0



0

x

u



  nuqtada  differensiallanuvchi  bo’lsin.  U  holda   

 


0

0

lim



u

f

u

y

u





    chekli  limit 



mavjud.  Bundan 





)

(

'



0

u

f

u

y

    yoki 



u

u

u

f

y





)

(



'

0

  kelib  chiqadi,  bu  yerdagi 



0

,





u

  da  cheksiz  kichik  funksiya.  So’nggi  tenglikni  har  ikkala  tomonini   



x

  ga 



bo’lsak      

x

u

x

u

u

f

x

y







)

(



'

0

   hosil bo’ladi. Bunda  



0



x

 da limitga o’tib  

0

lim


lim

,

lim



,

lim


0

0

'



0

'

0















u

x

x

x

x

x

u

x

u

y

x

y

    ekanini  hisobga  olsak  isbotlanishi  lozim 

bo’lgan 

 


   

0

0



0

'

'



'

x

u

u

f

x

y



  yoki 

x

u

x

u

y

y





    kelib  chiqadi.  Biz  bu  yerda 

differensiallanuvchi  

)

(x



u

 funksiya uzluksiz va 

0





x

 da 


0



u

 ni hisobga oldik. 



 

 Teskari funksiya va uning hosilasi 

      


 

b

a;

 kesmada aniqlangan o’suvchi yoki kamayuvchi 

)

(x



f

y

 funksiyani qaraymiz. 



 

c

a

f



 

d

b

f

  bo’lsin. Aniqlik  uchun 



)

(x



f

y

  funksiya



 

b

a;

  kesmada  o’suvchi  deb 

faraz  qilamiz. 

 


b

a;

  kesmaga  tegishli  ikkita  har  xil 

1

x

va 


2

x

nuqtani olamiz. O’suvchi 

funksiyaning ta‘rifidan agar 

2

1



x

x

  va  



 

1

1



x

f

y



 

2

2



x

f

y

bo’lsa, 



2

1

y



y

   bo’ladi. 



     Demak,  argumentning  ikkita  har  xil 

1

x

va 

2

x



qiymatlariga  funksiyaning  ikkita  har 

xil 


1

y

 va 


2

y

qiymatlari mos keladi. Buning teskarisi ham to’g’ri, ya‘ni 

2

1

y



y

   bo’lib, 



 

1

1



x

f

y



 

2

2



x

f

y

bo’lsa, o’suvchi funksiya ta‘rifidan 



2

1

x



x

 bo’lishi kelib chiqadi.  



Boshqacha  aytganda    х    ning  qiymatlari  sohasi 

 


b

a;

  kesma  bilan    у    ning 

qiymatlari  sohasi 

 


d

c;

  kesma  orasida  o’zaro  bir  qiymatli  moslik  o’rnatiladi.      у    ni 

argument,    х    ni  esa  funksiya  sifatida  qarab    х    ni  у    ning  funksiyasi  sifatida  hosil 

qilamiz:   

)

y



x



    


Bu  funksiya  berilgan   

)

(x



f

y

  funksiyaga  teskari  funksiya  deyiladi. 



Kamayuvchi funksiya uchun ham shunga o’xshash mulohaza yuritish mumkin.                 

Shuni aytish lozimki, 

)

(x



f

y

 funksiyaning qiymatlari sohasi  



 

d

c;

 unga teskari 

)

y



x



  funksiyaning  aniqlanish  sohasi  bo’ladi  va  aksincha. 

)

y



x



  funksiya  uchun 

)

(x



f

y

  funksiya  teskari  funksiya  bo’lgani  uchun 



)

y



x



  va 

)

(x



f

y

  funksiyalar 



o‟zaro teskari funksiyalar deb ataladi. 

   


)

(x



f

y

  funksiyaga  teskari  funksiya 



)

(x



f

y

  tenglamani    х    ga  nisbatan  yechib 



topiladi.  O’zaro  teskari  funksiyalarning  grafigi    0ху  tekisligidagi  bitta  egri  chiziqni  

ifodalaydi.  



        5-misol. 

3

x



y

 funksiyaga teskari funksiya topilsin. 



Yechish.  Bu  funksiya  butun  sonlar  o’qida  aniqlangan  va  o’suvchi.  Tenglikni    х  

ga nisbatan yechsak berilgan funksiyaga teskari 

3

y

x

 funksiya hosil bo’ladi. 



   

Har qanday funksiya  ham teskari funksiyaga ega bo’lavermaydi. Masalan 

2

x

y

 



funksiya 







,

 intervalda teksari funksiyaga ega emas, chunki  у  ning har bir musbat 

qiymatiga    х    ning  ikkita 

y

x



    va   

y

x

  qiymatlari  mos  keladi.  Agar 



2

x

y

 



funksiyani 



0

,



 intervalda qaralsa funksiya 



y

x



 teskari funksiyaga ega, chunki  у  

ning  har  bir  musbat  qiymatiga    х    ning  yagona 

2

x

y

  tenglikni  qanoatlantiradigan 



qiymati mos keladi. 

  Shuningdek 

2

x

y

  funksiyani 







,

0

  oraliqda  qarasak  unga  teskari 



y

x

  funksiya 



mavjud bo’ladi. 

    


Izoh

)

(x



f

y

 funksiyaga teskari 



)

y



x



 funksiyaning argumentini odatdagidek  

х    bilan,  funksiyani  esa    y    bilan  belgilasak  va 

)

(x



f

y

  hamda 



)

(x



y



  funksiyalarni 

grafigini  bitta  koordinatalar  sistemasida  chizsak  grafik  birinchi  koordinatalar 

burchagining bissektrisasiga nisbatan simmetrik bo’ladi.  

     

Teorema.  Agar  o’suvchi  (kamayuvchi) 

)

(x



f

y

  funksiya 



 

b

a;

  kesmada 

uzluksiz, shu bilan birga 

 


c

a

f



 

d

b

f

 bo’lsa, u holda unga teskari 



)

y



x



 funksiya 

 


d

c;

(

 



c

d;

) kesmada aniqlangan monoton va uzluksiz bo’ladi. 

   Endi 

)

y



x



  teskari  funksiyani  hosilasini  bilgan  holda   

)

(x



f

y

  funksiyaning 



hosilasini topish imkonini beradigan teoremani isbotlaymiz. 

     

Teorema.  Agar 

)

y



x



  funksiya  biror  intervalda  monoton  bo’lib  shu 

intervalning  y  nuqtasida  noldan  farqli 

)

(

y



hosilaga  ega  bo’lsa,  bu  nuqtaga  mos    х  

nuqtada teskari  

)

(x



f

y

 funksiya ham hosilaga ega bo’lib,  



)

(

'



1

)

(



'

y

x

f



 

tenglik o’rinli bo’ladi. 



     

Isboti.  Shartga  binoan 

)

y



x



  funksiya    monoton  va  differensiallanuvchi  

bo’lgani uchun u uzluksiz hamda unga teskari monoton va uzluksiz  

)

(x



f

y

 funksiya 



mavjud.    х    ga 

0





x

  orttirma  bersak   

)

(x



f

y

  funksiya 



y

  orttirma  oladi  va 



uzluksizligini nazarga olsak 

0





x

 da   


0



y

. Natijada  

)

(

'



1

lim


1

1

lim



lim

)

(



'

0

0



0

y

y

x

y

x

x

y

x

f

y

x

x













 

Bu formulani 



y

x

x

y



1

  ko’rinishda yozish ham mumkin. 



Shunday  qilib,  teskari  funksiyaning  hosilasi  shu  funksiya  hosilasiga  teskari 

miqdorga teng ekan. 



Asosiy elementar funksiyalarning hosilalari 

 

.O‟zgarmas funksiyaning hosilasi 



          Teorema.  O’zgarmas  funksiyaning  hosilasi    nolga  teng,  ya‘ni 

0

'





C

,  bunda  C-

o’zgarmas son. 

         Isboti. 

C

x

f

у



)

(

  desak  х  argument 



x

  orttirma  olganda  у  funksiya 



0

)

(



)

(









C

C

x

f

x

x

f

у

 orttirma oladi. 

 

Demak, 


x

y

C

x





0

lim


'

=

0



0

lim


0





x



x

. Shunday  qilib  

0

'



C

 



Masalan,  

 


  



0

87



ln

20

2



25

0

18









tg



. Logarifmik funksiyaning hosilasi 

Teorema

x

ln

 lagorifmik funksiyaning hosilasi 



х

1

 ga teng. 



       Isboti  у=lnx funksiyani qaraymiz. x     ∆х orttirma olganda funksiya   

у=



x



x



ln

-

x

ln

=

х

х

х



ln

=









x

x

1

ln



  orttirma oladi. 

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

х

x

y























1

ln



1

1

ln



1

1

ln



1

 

nisbatni 



tuzamiz. 





х

х

 

deb 



belgilasak ∆х→0 da α→0.  

 

Demak, 





x



e

x

x

x

x

x

у

x

x

x

1

ln



1

1

ln



lim

1

1



ln

1

lim



1

0

0

















,  ya‘ni 

x

x

1

)



(ln



.            Bu  

yerda 


e





1

0



)

1

(



lim

   ikkinchi ajoyib limitdan foydalanildi. 

 

Shunga o’xshash 



a

x

a

x

a

x

x

a

ln

1



ln

)

(ln



ln

ln

)



(log









 kelib chiqadi (bunda а>0, а≠1). 

 

Agar   у=



u

ln

 bo’lib, bunda, 



 

x

u

u

 differensiallanuvchi funksiya bo’lsa,  u holda 



murakkab funksiyani differensiallash  

qoidasiga binoan  



u



u

и



ln

  tenglikka ega bo’lamiz. 



Xususan, 

agar 


)

(

,



log

х

u

и

и

у

a



 

bo’lsa, 


holda  


 



и

a

и

u

a

a

и

и

a











ln

ln



ln

1

ln



ln

log


  bo’ladi. 

Darajali funksiyaning hosilasi 

Teorema. х

α

 darajali funksiyaning hosilasi 



1





х

 ga teng, bunda               α-o’zgarmas 

son. 

 

Isboti.  у=х



α

  funksiyani  qaraymiz.  Uni    е  asosga  ko’ra  logarifmlab   



x

y

ln

ln



 



tenglikka ega bo’lamiz .   у  ni  х  ning funksiyasi hisoblab, tenglikning ikkala qismini x 

bo’yicha differensiallaymiz: 



х

у

у

1





          Bundan  

1

1

1













х

х

х

х

у

у

 



Shunday  qilib 







1





х

х

. Teorema  isbotlandi. 

 

Agar 




и

у

  bo’lib, 



 

x

u

u

  differensiallanuvchi  funksiya  bo’lsa,  u  holda 



murakkab funksiyani differensiallash qoidasiga binoan   

и

и

и





1

)



(



  bo’ladi. 

 


Download 0.58 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling