Операции над множествами Определение

Операции над множествами
Определение 1.1.1. Совокупность каких-либо объектов можно рассматривать как новый объект. Этот новый объект называется множеством, а объекты, его составляющие, – элементами данного множества.
Обычно сами множества мы будем обозначать большими латинскими буквами A,B,C,…A,B,C,… а элементы множеств — малыми латинскими буквами a,b,c,….a,b,c,….. Как правило, мы будем иметь дело лишь с числовыми множествами.
Если M−M− какое-либо множество, а x−x− его элемент, мы пишем x∈Mx∈M, если же xx не является элементом MM, то пишем x∉Mx∉M. Для удобства рассматривают множество, не содержащее ни одного элемента. Его называют пустим множеством и обозначают ∅∅.
Множество MM можно задать либо перечислением элементов, из которых оно состоит,
M={a,b,c,…}M={a,b,c,…},
либо с помощью какого-либо определяющего свойства PP
M=M={x:xx:xобладает свойством PP}.
Множества могут находиться в определенных отношениях, и над ними можно производить некоторые операции.
1. Равенство множеств. Два множества MM и NN называются равными (M=N)(M=N), если они содержат одни и те же элементы.
2. Включение. Множество MM содержится в множестве N(M⊂N)N(M⊂N), если каждый элемент множества MM принадлежит множеству NN. В этом случае также говорят, что M−M− подмножество NN. Ясно, что если M⊂NM⊂N и N⊂MN⊂M, то M=N.M=N. Пустое множество считаем подмножеством любого множества: ∅⊂M∅⊂Mдля любого MM. Множество MM содержит множество N(M⊃N)N(M⊃N), если N⊂M.N⊂M..
3. Пересечение множеств MM и NN есть множество
т.е. M∩NM∩N — это множество элементов, принадлежащих как MM, так и NN. Если таких элементов нет, то M∩N=∅M∩N=∅.
4. Объединение множеств MMи NN есть множество
Таким образом, здесь речь идет о множестве элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств MM или NN.
5. Разность множеств MM и NN есть множество
.
Разность может оказаться и пустой, если, например, M=NM=N.
6. Если в данной теории все множества являются подмножествами одного множества II, то оно II называется универсальным. В этом случае определяется операция дополнения: CM=I∖MCM=I∖M. Так что CI=∅CI=∅, C∅=IC∅=I.
В математическом анализе таким универсальным множеством является множество RR вещественных чисел.