Оperatsiоn hisоb. Matematik fizika tenglamalari nazariyasi


Download 0.65 Mb.
Pdf ko'rish
bet1/3
Sana24.08.2020
Hajmi0.65 Mb.
#127466
  1   2   3
Bog'liq
5-ma'ruza. Operasion hisob. Matematik fizika tenglamalari nazariyasi


Оperatsiоn hisоb. Matematik fizika tenglamalari nazariyasi. 

Agar haqiqiy o’zgaruvchi 

 

f t

 funksiya uchun quyidagi shartlar bajarilsa, ya’ni, 



1) 

0

t

 bo’lganda, 



 

0

f t

 bo’lsa;  



2) shunday 

0  


0

M

, S



 o’zgarmas sonlar mavjud bo’lsaki va 

 


st

f t

Me

 bo’lsa;  



3) 

 


f t

  bo’lakli  uzluksiz,  ya’ni  chekli  intervalda  chekli  sondagi  birinchi  tur  uzilish 

nuqtalariga ega bo’lsa, u holda quyidagi xosmas integralga Laplas almashtirishi deyiladi: 

.

)



(

)

(



0

dt

t

f

e

p

F

pt



 



 

F p

  funksiya 

 

f t

  funksiyaning  Laplas  tasviri,  yoki  L  tasviri,  yoki  qisqacha  tasvir 

deb  ataladi. 

 


f t

  funksiya  esa  boshlang’ich  funksiya,  yoki  original  deb  ataladi  va  bunday 

yoziladi: 



F( p )

f ( t )

yoki

F( p )

f ( t ),

yoki

F( p )

L f ( t )



bunda 



0

Re p

s

 deb faraz qilinadi. 



Asosiy xossalari 

1. 


Tasvirning chiziqlilik xossasi. 

Ixtiyoriy 



1 2



k

c

k

, ,...n

 o’zgarmas sonlar uchun quyidagi tenglik o’rinli 









n



k

n

k

k

k

k

k

k

s

p

t

F

c

t

f

c

1

1



)

max(


Re

)

(



)

(



2. 

Original argumentini musbat songa ko’paytirish xossasi (o’xshashlik teoremasi). 

Har qanday o’zgarmas musbat a>o son uchun quyidagi tenglik o’rinli 

0

1



p

f ( at )

F

, Re p

as

a

a

 


 



 

 

3. 



Original  argumentni  musbat  vaqt 

0





  ga  kechikish  xossasi  (kechikish 

teoremasi). Agat original 





t



f

 ga kechiksa, tasvir 



p

e

 ga ko’paytiriladi, ya’ni 



 



0

Re

,



s

p

p

F

e

t

f

p





 

4. 



Tasvirning  kechikish  xossasi  (siljish  teoremasi).  Agar  original 

at

e

  ga 


ko’paytirilsa, tasvir a ga kechikadi, ya’ni  

0

)



Re(

).

(



)

(

s



a

p

a

p

F

t

f

e

at



 



5. 

Originalni  differenalash  xossasi.  Agar  f(t)  va  uning  hosilalari 

 

k

f

original 

(k=1,2,…n) 

bo’lsa, 

 


 

 


 

 


 

1

1



0

2

0



0

)

k

(

k

k

f

t

p F p

pk

f

pk

f

f









bo’ladi. 

Xususan, 

 

 


 

0

f



t

pF p

f



 bo’ladi. 

6. 

Originalni integrallash xossasi. 



0

0

.



Re

),

(



1

)

(



s

p

p

F

p

d

f

t





 

7. 


Tasvirni  differensiallash  xossasi.  Tasvirni  argument  p  bo’yicha  differensiallasak, 

original –t ga ko’paytiriladi, ya’ni  

)...

(

)



1

(

)



(

)

(



t

f

t

p

F

n

n

n



 

8. 


Tasvirni integrallash xossasi. 





p

t

f

t

dp

p

F

).

(



1

)

(



 

9. 


Tasvirlashni ko’paytirish  xossasi (Borel teoremasi). Agar f(t)=F(p) va g(t)=G(p) 

bo’lsa, 








t

d

t

g

f

g

f

p

G

p

F

0

)



(

)

(



)

(

)



(



 

bo’ladi. Simvol 



 

f t va 

 


g t funksiyalarning kompozitsiyasi (o’ramasi) deb ataladi.  

10. 


Dyuamel 

integrali. 

Agar 

 


 

f t

F p

 



va 

 


 

g t

G p

 



bo’lsa, 

)

)(



(

)

(



)

0

(



)

(

)



(

t

g

f

t

g

f

p

G

p

pF





 bo’ladi. Bu yerda 







t



d

g

t

f

t

g

f

0

)



(

)

(



)

)(

(





 

Uzluksiz 

 


f t  funksiyaning tasvirlar jadvali 

№ 

 



F p

 

 


f t  



 

G t



 





p

1

 

 

G t

 



a



p

1



 

e

-at 



a



p

ln

1





 

a

2



1

p

 



1

1





n



a

p

 

at

n

e

n

t



 

2

2





p

 

t

sin



 

2



2





p

 

t

sh



 











p

a

p

1

 



a

e

e

t

at







 

10 


2

2





p

p

 

t

cos



 

11 


2

2





p

p

 

t

ch



 

12 





2

a

p

k

p



 





at



e

t

a

k



1

 

13 

2

2





p

k

p

 







k



tg

t

k



,

1



sin

1

2



2

 

14 


2



2







p

p

 

t

e

t



cos



 

15 





2

2







p

 

t

e

t



sin



 

16 











p



a

p

k

p

 





a



e

k

e

a

k

t

at









 

17 


2



1

a

p

p



 



2



1

1

a



e

at

at





 

18 




a



p

p

2



1

 

2

1



a

at

e

at





 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

Misollar. 

1. Xevisaydning birlik funksiyasi berilgan: 

 

0

0



1

0

,



agar

t

bo' lsa,

G t

, agar

t

bo' lsa.



 



 

Ushbu funksiyaning Laplas tasvirini toping. 

Yechish. 

0

Re p

bo’lganda,  



.

1

1



)

(

)



(

0

0











p

dt

e

dt

e

t

G

t

G

pt

pt

 

Shunday qilib, 



.

1

)



(

p

t

G

 



19 









p

a

p

p

1

 



a



a

ae

e

a

t

at







1



 

20 


2



2

1





p

p

 



t

t



sin


1

2





 

21 


4



2

2



p

p

 

t

2

sin



 

22 


4



2

2

2





p



p

p

 

t

2

cos



 

23 


2



2

2

1





p



p

 



t

t



sin


1

3





 

24 


2



2

2





p

p

 

t

t



sin

2



 

25 


n

p

1

 

 


0

1



1





butun

n

n

n

t

 

26 


p

arctg



 



t

t

sin



1

 

27 




p

a

p

ln

 



at



t

e

e

t



1

 

28 


2

2

2



ln

p

a

p



 



at



t

cos


1

2





 

 

2. 


 





)



(

'

0



,

,

'



0

,

0



son

kompleks

a

lsa

bo

t

agar

e

lsa

bo

t

agar

t

f

at

 tasvirini toping. 

Yechish. 

.

1



)

(

)



(

0

)



(

0











a

p

dt

e

dt

e

t

f

t

F

t

a

p

pt

 

Shunday qilib, 



)

Re

(Re



1

.

)



(

a

p

a

p

e

t

G

at





Bu yerda yozilgan 

 


G t

ko’paytma 

 

f t funksiyani 

0

t

 qiymatlarini “o’chiradi” (nolga 



aylantiradi). Shuning uchun 

0

t

 da 


 

0

f t

 shartin birlik funksiya G(t) ga ko’paytirilgan deb 



faraz  qilamiz.  Masalan: 

 


 

n

at

G( t ) sin t

G t  t , G t

,

e

  va  hokazo.  Biz  G(t)  ni  tushirib 



qoldiramiz. 

3. 


at

e

  funksiyaning  tasviri 



a

p

1



  dan  foydalanib, 

t

ch

t

sh

t

t



,



,

cos


,

sin


 

funksiyalarning tasviri topilsin. 







2



2

2

2



2

2

2



2

1

1



2

1

2



1

1

1



2

1

2



1

1

1



2

1

2



1

cos


1

1

2



1

2

1



sin











































































p

p

p

p

e

e

t

ch

p

p

p

e

e

t

sh

p

p

p

p

e

e

t

p

p

p

i

e

e

i

t

t

t

t

t

t

i

t

i

t

i

t

i

 

4. f(t)=4-5e



2t  

originalning tasviri topilsin.   



Yechish: 

2

2



8

2

5



4

)

(



p

p

p

p

p

p

F





 

5. f(t)=3t



3

e

-t

+2t

2

-1 originalning tasviri topilsin. 

Yechish:  









.

'

1



3

3

3



,

,

1



3

1

2



,

1

2



1

1

,



1

1

1



1

:

1



1

4

3



3

4

3



2

3

2



2

ladi

bo

p

e

t

demak

e

t

p

p

e

t

p

p

te

p

p

olamiz

hosila

ket

ketma

tasvirdan

p

e

t

t

t

t

t















































 

.

'



2

1

:



'

.

1



'

1

.



1

1

2



3

2

2



ladi

bo

teng

t

p

p

olamiz

hosila

yicha

bo

p

Yana

t

p

ni

ya

t

p

edi

p

























 

Demak, 





.

1



4

1

18



1

2

2



1

3

3



)

(

3



4

3

4



p

p

p

p

p

p

p

F







 



Mustaqil yechish uchun misollar: 

2

1. f ( t )



sin t

;          



2. f ( t )

shat cos t



;          

3. f ( t )



chat cos t



4

4



3

2

t



. f ( t )

e

sin t cos t



;                

2

5



t

. f ( t )

e cos t



Оriginalni tasvir bo`yicha tiklash usullari.  

 

Funksiyaning  tasviri  berilgan  bo’lsa,  uning  originalini  tasvirlar  jadvalidan  foydalanib, 



tasvir  kasr  ratsional  funksiyalar  bo’lsa  eng  soda  kasrlarga  yoyishdan  foydalanib,  originallarni 

toppish mumkin.  

1. Agar F(p) tasvirni quyidagi qator ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa,  





0

1

)



(

k

k

k

p

A

p

F

 

u vaqtda f(t) original 





0

1



k

k

k

k

p

t

A

 ga teng bo’ladi. Buni birinchi yozish teoremasi deyiladi.  

2. Agar tasvir 

1

1



n

k

k

k

k

A( p )

A( p )

F( p )

B( p )

B( p ) p

p





 bo’lsa, 

1

k

n

p t

k

k

k

A( p )

f ( p )

e

B( p )



 bo’ladi. 



Bu yerda 

1

2



n

,

,

p p

, p

 polinomning karrali bo’lmagan ildizlari. Bunda ikkinchi yoyish teoremasi 



deyiladi.  

3.  Agar  tasvir 

)

(



)

(

)



(

p

B

p

A

p

F

  bo’lib,  maxrajdagi  polinomning  ildizlari 



1

2

n



,

m , m

, m

 



karrali bo’lsa, 









n

k

m

t

p

m

k

k

k

k

k

t

f

e

t

m

c

p

B

p

A

p

F

1

1



)

(

)!



(

)

(



)

(

)



(



 bo’ladi.  



4. 

)

(



)

(

)



(

p

B

p

A

p

F

  tasvirda 



1

2

n



,

,

p p

, p

 



lar  oddiy  yoki  karrali  qutblar  bo’lsa,  original 

chegirma orqali topiladi:  



).



(

)

(



Re

)

(



)

(

)



(

1

t



f

e

p

F

s

p

B

p

A

p

F

n

k

t

p

k

k





 

5.  Agar 

 

F p   yarim  tekislik 

0

Re s



s

  da  analitik  va 



0

|p|

lim

F( p )





  bo’lib, 

100


100

s

s

| F( s

)d

 




  xosmas  integral  yaqinlashuvchi  bo’lsa, 





100


100

)

(



|

2

1



)

(

s



s

pt

dp

e

p

F

i

t

f

  Riman-



Mellin formulasi o’rinli bo’ladi.  

Misollar: 

1.

5



2

)

(



2





p

p

p

p

F

 tasvirning originali topilsin. 

Yechish: 











.

2

sin



2

cos


5

2

,



2

sin


4

1

1



;

2

cos



4

1

1



:

)

15



(

)

14



(

.

4



1

1

4



1

1

4



1

1

1



4

1

5



2

2

2



2

2

2



2

2

2



t

t

e

p

p

p

Demak

t

e

p

t

e

p

p

iz

foydalanam

dan

formulalar

va

jadvaldagi

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

t

t

t





















 

2. 


8

1

)



(

3





p

p

F

 tasvirning originali topilsin. 

Yechish:  








 


 



 



.



3

sin


3

3

cos



12

1

12



1

3

1



3

3

3



1

1

2



1

12

1



3

1

3



1

2

1



12

1

4



2

4

12



1

2

1



12

1

8



1

.

'



3

1

12



1

,

12



1

1

2



4

2

,



,

4

2



2

8

1



2

2

2



2

2

2



2

2

3



2

2

3



t

t

e

e

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

vaqtda

U

ladi

bo

C

B

A

bundan

p

c

Bp

p

p

A

aniqlaymiz

larni

koeffisent

C

B

A

p

p

c

Bp

p

A

p

t

t









































 



3. 



4

1

1



)

(

p



p

p

F



 tasvirning originali topilsin. 

Yechish: 



...



!

16

!



12

!

8



!

4

)



(

lg

'



1

...


1

1

...



1

1

1



1

1

1



1

1

1



1

16

12



8

4

9



8

8

4



5

4

5



4





















t

t

t

t

t

f

di

yaqinlasha

anda

bo

p

qator

Bu

p

p

p

p

p

p

p

p

p

 

Misollar: 

2

8

1



4

5

p



.

p

p



;  






2

p

c

.

p

a

p b



;  




2

5



3

3

1



2

5

p



.

p

p

p



;  



2

1

4



p

.

p

p







2

2



2

2

5



p

.

p

a

p

b



.

 

Fizika  va  texnikaning  ko’pgina  masalalari  xususiy  hosilali  differentsial  tenglamaga 



keltiriladi. Shuning uchun biz bu tenglamalarni turlarga ajratish va ularni yechish masalasi bilan 

shug’ullanamiz. 

Ikkinchi tartibli xususiy hosilali quyidagi tenglama berilgan bo’lsin: 

           

11

12

22



1

2

2



0

xx

xt

tt

x

t

a U

a U

a U

bU

b U

сU

f





 

.               

          (1) 

Bu tenglamadagi 



f

c

b

b

a

a

a

,

,



,

,

,



,

2

1



22

12

11



 - funksiyalar faqat 

 va   ga bog’liq funksiyalar. 

Agar  bu  funksiyalar 



  va    ga  bog’liq  bo’lmasa  bu  tenglama  doimiy  koeffitsientli 

tenglama bo’ladi. 

0



f



 bo’lsa (1) tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. 

                        

),

,

(



t

x



   


)

,

(



y

x

z



        

 

 



 

 (2) 


almashtirish  yordamida  (1)  ni  yechish  uchun  qulay  bo’lgan  sodda,  ya’ni  kanonik  formaga 

keltiramiz. Buning uchun xususiy hosilalarni hisoblaymiz: 

            

t

t

t

x

x

x

U

U

U

U

U

U









 


            

xx

xx

ч

x

x

x

xx

U

U

U

U

U

U

















2

2

2



 

            



tt

tt

t

t

t

n

t

tt

U

U

U

U

U

U















2



2

2

 



                                (3) 

            



xt

xt

t

x

ч

t

t

x

t

x

чt

U

U

U

U

U

U



















)



(

 

(3) ni  (1) ga  qo’yib 



 

0

2



22

12

11







F

U

a

U

a

U

a









   


 

 

 



(4)  

tenglamaga ega bo’lamiz. 

Bu tenglamada  

              



t

t

x

x

a

a

a

a

2

22



12

2

11



11

2







 

              



t

t

x

t

t

t

x

x

x

a

a

a

a







22

12



11

12

)



(



 



              

t

t

x

x

a

n

a

a

a

2

22



12

2

11



22

2





 



              

f

cU

U

b

U

a

F





2

1



 

 va 



  ni tanlash uchun quyidagi tenglamani ko’aramiz. Ushbu 

              

0

2



2

22

12



2

11





dx



a

dxdt

a

dt

a

                      

 

 

 



(5) 

tenglama (1) ning xarakteristik tenglamasi deyiladi. 

0

2

22



12

2









a



dx

dt

a

dx

dt

a

n

 desak, bundan quyidagi ikki tenglama kelib chiqadi. 

 

11

22



11

12

2



12

a

a

a

a

a

dx

dt



                                                       

(6) 

 

  



11

22

11



12

2

12



a

a

a

a

a

dx

dt



                                                           (7) 

va 

22

11



12

2

a



a

a

D



  ifoda tenglamaning turini aniqlaydi. 

Agar biror M nuqtada 

1. 

0

22



11

12

2





a

a

a

D

  bo’lsa, (1)  tenglama giperbolik turdagi 

2. 

0

22



11

12

2





a

a

a

D

  bo’lsa, (1)  tenglama parabolik turdagi 

3. 

0

22



11

12

2





a

a

a

D

  bo’lsa, (1)  tenglama elliptik turdagi 

 tenglamaga mansub bo’ladi. 

1.To’lqin tarqalish tenglamasi: 

2

2

2



2

2

x



u

a

t



u





   

(*) 


(*)  tenglama  torning  ko’ndalang  tebranishini,  sterjenni  uzunasiga  tebranishi,  simda  elektr 

tebranishlar,  aylanuvchi  valdagi  aylanma  tebranishlar,  gazning  tebranishlari  va  shu  kabi 

tebranuvchi jarayonlarni ifodalaydi. Bu tenglama giperbolik tipdagi eng sodda tenglamadir. 

2. Issiqlik tarqalish tenglamasi: 

2

2

2



x

u

a

t

u





   

(**) 


(**)  tenglama  issiqlik  tarqalish  jarayonini,  g’ovak  muhitda  suyuqlik  va  gazning  filtrlanish 

masalasini ifodalaydi. Bu tenglama parabolik tipdagi eng sodda tenglamadir. 

3. Laplas tenglamasi.  

2

2



2

2

2



0

u

u

a

t

x





              (***) 

(***) tenglama elektr va magnit maydonlari haqidagi masalani, statsionar issiqlik holati haqidagi 

masalani, gidrodinamika, diffuziya  va shunga  o’xshash  masalalarni  o’rganishga olib keladi.  Bu 

tenglama elliptik tipdagi eng sodda tenglamadir. 

 

Bu tenglamalar uch o’zgaruvchi uchun quyidagicha bo’ladi. 



To’lqin tenglamasi: 















2

2

2



2

2

2



2

y

u

x

u

a

t

u

 

 



 

 

       (*



1

Issiqlik tarqalish tenglamasi: 















2



2

2

2



2

y

u

x

u

a

t

u

 

 



 

 

(**



1

Laplas tenglamasi: 



0

2

2



2

2

2



2









t

u

y

u

x

u

   


 

 

(***



1

 



Matematik-fizikada  tor  deganda  egiluvchan  va  plastik  ip  tushiniladi.  Torda  har  qanday 

vaqt momentida paydo bo’lgan zo’riqish uning profiliga o’tkazilgan urinma bo’yicha yo’nalgan 

bo’ladi.  Masalan,  L  uzunlikdagi    tor  boshlang’ich  momentda    OX  o’qining    O    dan  L  gacha 

bo’lgan kesmasi bo’yicha yo’nalgan bo’lsin. 

Torning uchlari 

0



X

 va 


L

X

  nuqtalarga biriktirilgan deb faraz qilamiz. Agar torni 



uning  dastlabki  holatidan  chetlashtirsak,  so’ngra  o’z  holiga  qo’yib  yuborsak  yoki  torni 

chetlatmasdan,  boshlang’ich  momentdan  uning  nuqtalariga  biror tezlik  bersak,  u  holda  torning 

nuqtalari  harakatga  keladi  -  tor  tebrana  boshlaydi.  Masala  har  qanday  vaqt  momentida  tor 

shaklini  aniqlashdan  hamda  torning  har  bir  nuqtasining  vaqtga  qarab  harakat  qonunini 

aniqlashdan iborat. 

Tor  nuqtalarining  boshlang’ich  holatidan  kichik  chetlanishlarini  qaraymiz.  Sunga  kqra, 

tor nuqtalarining  harakati  OX  o’qqa perpendikulyar  holda  va  bir tekislikda  vujudga keladi deb 



M

 



x+



x

       



            

X

          



 

+





 



 



M

1

 



M

2

 



x



1     

x

2             



       


 

U(x,t) 


faraz qilish  mumkin. Bu faraz bilan torni tebranishi jarayoni bitta 

U( x,t )

 funktsiya bilan ifoda 

etiladi. Bu funksiya abssissasi t momentida siljish miqdorini beradi (1-chizma). 

Biz torninng (X, U) tekislikda kichik chetlanishlarini qarayotganimiz uchun, tor elementi 

uzunligi  M

1

M



uning  OX  o’qdagi  proyeksiyasiga  teng,  ya’ni 

1

2

2



1

x

x

 


  deb  faraz 



qilamiz.  Yana  torning  barcha  nuqtalarida  taranglik  ham  bir  xil  deb  faraz  qilamiz:  uni  T  bilan 

belgilaymiz. 

Torning MM

1

 elementini qaraymiz (2-chizma). Bu elementning uchlarida T kuchlar torga 



urinma bo’yicha tahsir etadi. Urinmalar  OX  o’q bilan 

 va 





 burchaklar hosil qilsin. 

Bu 

holda 


MM

1

 



elementga 

tasir 


etuvchi 

kuchlarning 

OU 

o’qdagi  proyeksiyasi 





sin

)

sin(



T

T



 ga teng bo’ladi. 

 burchak juda kichik bo’lgani uchun 



sin





tg

 

deb faraz qilish mumkin va biz quyidagiga ega bo’lamiz: 



 

1

0

       

,

x

x

)

t

,

x

(

u

T

x

x

)

t

,

x

x

(

u

T

x

)

t

,

x

(

u

x

)

t

,

x

x

(

u

T

Ttg

)

(

Ttg

sin

T

)

sin(

T































2



2

2

2



 

Biz 




f ( x



x,t ) f ( x,t )

f ( с ) x, c

x;x

x







  Lagranj  formulasidan  foydalandik. 

Harakat  tenglamasini  hosil  qilish  uchun  elementga  qo’yilgan  tashqi  kuchni  inersiya  kuchiga 

tenglash  kerak,

torning  chiziqli  zichligi  bo’lsin.  U  holda  tor  elementining  massasi 



x



 

bo’ladi.  Elementning  tezlanishi 

2

2

t



u



  ga  teng.  Demak,  Dalamber  printspiga  ko’ra  ushbu 

tenglikka  ega  bo’lamiz: 



x

x

u

T

t

u

x





2



2

2

2





T

a

2



  belgilash  orqali,  harakatning 

ushbu tenglamasi hosil bo’ladi:              

 

2

2



2

2

2



x

u

a

t

u





  

 

 



 

 

(4) 



Bu to’lqin tenglama degan tenglama torning tebranish tenglamasidir. 

Torning  harakatini  to’la  aniqlash  uchun  (4)  tenglamani  o’zigina  yetarli  emas. 

Izlanayotgan  U(x,t)  funksiya  ya’ni  torning  uchlarida    (x

0  va  x





l  da)  qanday  bo’lishini 

ko’rsatuvchi chegaraviy shartlarni hamda boshlang’ich  (t

0)  momentda tor holatini ifodalovchi 



2-chizma 

1-chizma 



boshlang’ich shartlarni qanoatlantirishi kerak. Chegaraviy va boshlangich shartlar chetki shartlar 

deb ataladi. 

Masalan,  biz  faraz qilganimizdek,   x

0   va   x



  da tor uchlari qo’zg’almas  bo’lsin. U 



holda T qanday bo’lganida ham ushbu tenglik bajarilishi kerak.  

U(0, t)


U(



, t)


 



 

                        (5) 

Ushbu tengliklar chegaraviy shartlar deyiladi. 


Download 0.65 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling