Определение. Алгебра ꝣ =


Download 18.25 Kb.
Sana13.06.2022
Hajmi18.25 Kb.
#753065
Bog'liq
gruppa
New Document, Bazadano, 4294822698, 1649156769, Allalarning tarkibiy tuzulishi, umumiy pedagogika, Документ Microsoft Office Word (3)[1], IBRAGIMOV OTABEK, Ibodullayev Jahongir, 11-amaliy Komkyuterli loyixalash, shartnoma5, 16, 17, 18 Расчет вентиляторных градирен. Метод. указания, 9362532F98774093BBAC73953255EAC0, biznesss, Xufyona iqtisodiyot referat

ГРУППЫ
Понятие группы. Одним из частных случаев алгебр являются группы, которые играют большую роль в математике и ее приложениях.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра ꝣ = называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям (аксиомам):
(1) бинарная операция * ассоциативна, т. е. для любых элементов а, b, с из G а*(b*с) = (а*b)*с;
(2) в G имеется правый нейтральный элемент относительно операции *, т. е. такой элемент е, что а*е = а для всякого элемента а из G;
(3) для любого элемента а из G а*а'=е.
Таким образом, группа — это непустое множество с двумя операциями на нем —бинарной операцией * и унарной операцией ', причем бинарная операция ассоциативна и обладает правым нейтральным элементом, а унарная операция есть операция перехода к правому симметричному элементу относительно бинарной операции и, значит, каждый элемент группы имеет правый симметричный ему элемент относительно, бинарной операции группы *.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Группа ꝣ = называется абелевой или коммутативной, если бинарная операция группы * коммутативна, т. е. для любых а, b из G a*b = b*а. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Порядком группы ꝣ = (G, *, '> называется число элементов основного множества G группы, если G конечно. Если G — бесконечное множество, то группу ꝣ называют группой бесконечного порядка.
При изучении групп обычно используется мультипликативная или аддитивная форма записи главных операций группы. При мультипликативной записи бинарную операцию группы называют умножением и пишут а-b (или аb) вместо а * b, называя элемент а • b произведением элементов а и b. Элемент, симметричный а, обозначают и называют обратным элементу а. Нейтральный элемент относительно умножения обозначают через е, 1 или 1ꝣ и называют единичным элементом или единицей группы. При мультипликативной записи приведенное выше определение группы формулируется следующим образом.
Алгебра ꝣ = называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям:
(1) бинарная операция • ассоциативна, т. е. для любых элементов а, b, c из G верно равенство a(bꞏc) = (aꞏb)ꞏc;
(2) в G имеется правая единица, т. е. такой элемент е, что аꞏе=а для всякого элемента а из G;
(3) для любого элемента а из G выполняется равенство аꞏ =e.
Понятие натуральной степени элемента а мультипликативной группы = е, = аꞏа ... а для n N\{0}.
При аддитивной записи бинарную операцию группы называют сложением и пишут а + b вместо a*b, называя элемент а + b суммой элементов а и b. Элемент, симметричный элементу а, обозначают (—а) и называют противоположным элементу а. Нейтральный элемент относительно сложения обозначают символом 0 или 0ꝣ и называют нулевым элементом или нулем группы. При аддитивной записи определение группы формулируется следующим образом.
Алгебра ꝣ = (G, +, —) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям:
(1) бинарная операция + ассоциативна, т. е. для любых элементов а, b, с из G имеем a + (b+c) = (a + b)+c;
(2) в G имеется правый нуль, т. е. такой элемент 0, что а+0 = а для всякого элемента а из G;
(3) для любого элемента а из G a + (—а) = 0.
Примеры групп. 1. Пусть Q —множество всех рациональных чисел с обычным сложением и унарной операцией —, операцией перехода от числа а к противоположному числу (—а). Алгебра Q = (Q, +, -> является группой. Она называется аддитивной группой рациональных чисел,
2. Пусть Q* —множество всех отличных от нуля рациональных чисел с обычным умножением и унарной операцией — операцией перехода от числа а к обратному числу . Алгебра Q* = (Q*, •, > является группой. Эта группа называется мультипликативной группой рациональных чисел.
3. Пусть R —множество всех действительных чисел с обычным сложением и унарной операцией —, ставящей в соответствие каждому действительному числу г противоположное число —r. Алгебра = 4. Пусть R*—-множество всех отличных от нуля действительных чисел с обьиным умножением и унарной операцией , ставящей в соответствие каждому отличному от нуля числу r обратное число . Алгебра =(R*, +, ) является группой. Эта группа называется мультипликативной группой действительных чисел.
5. Пусть G — множество всех векторов данной плоскости с обычной операцией + сложения векторов и унарной операцией —, ставящей в соответствие каждому вектору v противоположный вектор (—v). Алгебра (G,+,-) является группой. Эта группа называется аддитивной группой векторов плоскости.
6. Пусть G — множество всех вращений плоскости вокруг данной точки О. Вращение плоскости рассматривается как преобразование плоскости, т. е. инъективное отображение плоскости на себя. Два вращения на углы аир рассматриваются как совпадающие, если =2n , где n —целое число. Композиция • ꝕ двух вращений ꝕ и соответственно на углы и есть вращение на угол . Если ꝕ — вращение на угол , то —вращение на угол (— ). Алгебра является группой. Она называется группой вращений плоскости вокруг данной точки.
7. Пусть — множество, состоящее из n вращений данной плоскости на углы 2k /n, k = 0, 1, ..., n — 1, вокруг данной точки О, отображающих правильный n-угольник с центром в точке О на себя. Алгебра ( ,•, ) является группой. Она называется группой вращений правильного n-угольника.
8. Пусть G — множество всех вращений пространства вокруг точки О, отображающих данное правильное тело (тетраэдр, куб, икосаэдр, додекаэдр) с центром в точке О на себя. Алгебра является группой. Она называется группой вращений {самосовмещений) данного правильного тела.
Download 18.25 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling