Oʻrta maxsus ta’lim vazirligi fargʻona davlat universiteti Matematika-informatikafakulteti Matematika kafedrasi

OʻRTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
Fargʻona davlat universiteti
Matematika-informatikafakulteti
Matematika kafedrasi
“Analitik geometriya” fanidan
KURS ISHI

Mavzu:Tekislikning turli tenglamalari


Bajardi: 1-kurs talabasi 22.06 guruh talabasi O.Abdusalimova
Ilmiy rahbar: S. Kukiyeva

Fargʻona-2023
Reja:

Kirish:

Asosiy qism.
I. Tekislikning umumiy tenglamasi.
1.1. Tekislikning umumiy tenglamasi va uni tekshirish .
1.2 Nuqtadan tekislikgacha bo`lgan masofa.
II. Tekislikning turli tenglamalari.
2.1 Tekislik tenglamasini normal ko`rinishga keltirish.
2.2.Uch nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasi.Koordinatalaro’qlaridan kesgan kesmasi bo’yicha tekislik tenglamasi. Mavzuga doir misollar.
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR


Kirish

Hozirgi kunda insoniyat hayotida deyarli barcha sohalarda rivojlangan texnika taraqqqiyoti, raqamli texnologiyalar davrida matematikaning o’rni beqiyosdir. Shu sababli har qanday davlat ijtimoiy-iqtisodiy hayotida matematika sohasidagi kadrlarga bo’lgan talab o’rtib bormoqda. Bunday sharoitda bizning mustaqil O’zbekistonimizda ham matematiga bo’lgan e’tibor yildan yilga ortib bormoqda. Zero buning isboti o’laroq Prezidentimiz Shavkat Miromonovich Mirziyoyev tomonidan “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy taqdqiqotlarni rivojlantirish chora-tadbirlari to’g’risida” qarorning qabul qilinishini ko’rsatishimiz mumkin. “Matematika fanining tamal toshini Al-Xorazmiy, Ahmad Farg‘oniy, Abu Rayhon Beruniy kabi ulug‘ bobolarimiz qo‘ygan. Bu bizning qonimizda bor. Lekin oxirgi yigirma yilda matematikadan bilim darajasi pasayib ketdi. Chunki o‘qituvchilarga kerakli e’tibor, munosib oylik berolmadik, pirovard maqsad qo‘ya olmadik. Buning oqibati hozir ko‘pdan-ko‘p sohalarda sezilyapti. Bugun bu fanni rivojlantirishdan maqsadimiz — matematika bo‘yicha raqobat muhitini yaratish, sanoat, muhandislik yo‘nalishlari bo‘yicha yetuk kadrlar tayyorlash.Kechagi dars berish uslubi bilan matematikani jadal rivojlantirib bo‘lmaydi. Shu bois avval amalda yaxshi natija bergan xorijiy metodika asosida ta’lim dasturlari yaratib,o‘qituvchilarni qayta tayyorlash zarur. Metodika shunday bo‘lishi kerakki, u bolalarda matematikaga muhabbat uyg‘otsin. Buning uchun o‘quvchilar bu fan hayotda, har bir sohada o‘ziga kerakligini anglashi zarur. Yoshlar imtihondan o‘tish uchun emas, bilimli mutaxassis bo‘lish uchun o‘qishi lozim.Oxirgi besh-o‘n yilda matematika yo‘nalishi bo‘yicha universitetlarni bitirgan yoshlarni topib, xohishiga qarab qayta tayyorlab, maktablarga, fan nomzodlarini esa oliy ta’lim muassasalariga ishga jalb etish muhimligi, matematika kafedra mudirlarini saylash tartibini joriy qilish, kafedra mudirlari kengashi tuzib, doimiy tajriba almashinuvni yo‘lga qo‘yish bo‘yicha ko‘rsatmaberildi. ” — deb ta’kidladi davlat rahbarimiz.

Kurs ishining dolzarbligi:Yuqorida keltirilgan Davlat rahbarimizning fikrlariga binoan biz yoshlar kelajakda yetuk mutaxasis bo’lib yetishishimiz, buyuk ajdodlarimizga mos avlodlar bo’lishimiz uchun tanlagan yo’nalishimiz “Matematika” sohasiga o’z hissamizni qo’shmog’miz darkor. Bu yo’lda matematikaning harbir bo’limlari,unga aloqador sohalarni mukammal o’rganishimiz lozim.O’rganiladigan bo’limlar qatorida “Geometriya” ham juda muhim ahamiyat kasb etib, matematika bo’limlari ichida hayotda eng ko’p o’z aksini topgan desak mubolag’a bo’lmaydi. Shu bilan birga biz bo’lajak pedagog ekanmiz, o’sib kelayotgan yosh avlodni yetuk ma’naviyatli,bilimli,malakali kadr etib tarbiyalash har bir pedagogning asosiy vazifasidir va bu ishlarni biz ham munosib ravishda amalga oshirishga o’z hissamizni qo’shishga harakat qilamiz.

Kurs ishining maqsadi: Tekislikda umumiy tenglamasini mufassal o’rganish.

Kurs ishining obyekti: Oliy va O’rta maxsus ta’lim muassasalarida Analitik geometriya fanining o’qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti: Analitik geometriya fanining o’qitish metodlari va vositalari.
Kurs ishining vazifalari:
Mavzuga doir malumotlarni yig’ish va rejani shakllantirish.
Tekisliklar haqida umumiy ma`lumotlarni yig`ish.

I. Tekislikning umumiy tenglamalari

1.1. Tekislikning umumiy tenglamasi va uni tekshirish
Har qanday tekislik umumiy dekart sistcmasida koordinatalariga
nisbatan birinchi darajali ya‘ni ushbu:

ko rinishli tenglama bilan ifodalanadi; bu tenglamadagi A, B, C koeffitsiyentlar bir vaqtda nolga teng emas deb faraz qilinadi. Aksincha, shu ko‘rinishdagi
har qanday tenglama tekislikni aniqlaydi. Bu tenglama tekislikning umumiy
tenglamasi deyiladi. Tekislikka-perpendikulyar bo‘lgan n — vektor esa uning'normal vektori deb ataladi. Tekislik tenglamasidagi
koeffitsiyentlar bir. vaqtda nolga teng bo‘lmaganligi uchun tekislikka perpendikiilyar har qanday noldan farqli vektorni normal vektor deb hisoblash
mumkin.
Agar tekislik o‘zining umumiy tenglamasi bilan
berilgan bo`Isa, tekislikning bir tarafida yotgan barcha nuqtalar koordinatalari uchun

va ikkinchi tarafda yotgan nuqtalar uchun esa:

tengsizlik o‘rinli.
Mos ravishda yarim fazolarni ”musbat” va ”‘manfiy” yarim fazolar deb
ataymiz. Tekislikning umumiy tenglamasining chap tomonini manfiy songa
o paytirganda musbat yarim fazo manfiy yarim fazoga aylanadi va aksincha.
Agar umumiy tenglamadagi barcha koeffitsiyentlar noldan farqi bo`lsa, u tekislikning to‘liq umumiy tenglamasi deyiladi, va uni

ko‘rinishda yozish mumkin va bu tenglama tekislikning “ kesmalarga” nisbatan tenglamasi deyiladi, bu yerda

Umumiy tenglamada koeffitsiyentlardan ayrimlari nolga teng bo‘lgan hollarda tekislikning koordinatalar sistemasiga nisbatan joylashuvini, ya‘ni to‘liq
bo'lmagan tenglamalarni ko‘rib chiqamiz.
1. Agar bo‘lsa, tenglama ko‘rinishda
bo‘ladi. Tenglamadan ko‘rinib turibdiki, koordinatalar boshining koordinatalari tenglamani qanoatlantiradi. Demak, bu holda tekislik koordinatalar
boshidan o‘tadi.
2. Agar bo‘lsa, tenglama ko'rinishda bo‘ladi.
Bu holda normal vektor koordinatalarga ega bo‘lib, o‘qiga
perpendikulyardir. Demak, tekislik o‘qiga parallel bo'ladi.
3. Agar bo‘lsa, tenglama ko‘rinishda bo‘ladi.
Bu holda normal vektor koordinatalarga ega bo‘lib, o‘qiga
perpendikulyardir. Demak, tekislik o‘qiga parallel bo‘ladi.
4. Agar bo‘lsa, tenglama ko‘rinishda bo‘ladi.
Bu holda normal vektor koordinatalarga ega bo‘lib, o'qiga
perpendikulyar bo'ladi. Demak, tekislik o‘qiga parallel bo‘ladi.
5. Agar bo‘Isa, tenglama ko'rinishda bo'ladi. Bu
holda yuqoridagilarga ko‘ra tekislik koordinata boshidan o‘tadi va o‘qiga
parallel bo‘ladi. Demak, tekislik o‘qi orqali o‘tadi.
6. Agar bo'lsa, tenglama ko‘rinishda bo‘ladi.
Bu holda tekislik koordinata boshidan o‘tadi va o‘qiga parallel bo‘ladi.
Demak, tekislik o‘qi orqali o‘tadi.
7. Agar bo‘lsa, tenglama ko'rinishda bo'ladi.
Bu holda tekislik koordinata boshidan o‘tadi va o‘qiga parallel bo'Iadi.
Demak, tekislik o‘qi orqali o'tadi.
8. Agar bo‘lsa, tenglama ko‘rinishda bo‘ladi.
Bu holda yuqoridagilarga ko‘ra tekislik va o‘qlariga parallel bo‘ladi.
Demak, tekislik koordinata tekisligiga parallel bo‘ladi.
9. Agar bo‘lsa, tenglama ko‘rinishda bo'ladi.
Bu holda tekislik va o‘qlariga parallel bo'ladi. Demak, tekislik
koordinata tekisligiga parallel bo`ladi.
10. Agar bo‘lsa. tenglama ko‘rinishda bo‘ladi.
Bu holda tekislik va o‘qlariga parallel bo'ladi. Demak, tekislik
koordinata tekisligiga parallel bo'ladi.
11. Agar bo‘lsa, tenglama yoki ko‘rinishda
bo‘ladi. Bu holda tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi va koordinata
tekisligiga parallel bo‘ladi. Demak, tekislik koordinata tekisligi bilan
ustma-ust tushadi.
12. Agar bo‘lsa, tenglama yoki ko‘rinishda
bo‘ladi. Bu holda tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi va koordinata tekisligiga parallel bo'ladi. Demak, tekislik koordinata tekisligi bilan
ustma-ust tushadi.
13. Agar bo‘lsa,- tenglama yoki ko'rinishda
boiadi. Bu holda tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi va koordinata
tekisligiga parallel bo‘ladi. Demak, tekislik koordinata tekisligi bilan
ustma-ust tushadi.
Maktab aksiomatikasidan malumki, bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan
uchta nuqtadan yagona tekislik o‘tadi. Bizga nuqtalar koordinatalari bilan
berilgan bo‘lsin: Shu nuqtalardan o‘tuvchi tekislik tcnglamasini yozaylik. Qaralayotgan tekislikka tegishli
boigan ixtiyoriy nuqta olinganda ham vektorlar shu tekislikka komplanar boladi. Demak ularning aralash ko‘paytmasi
no‘lga teng Bu aralash ko'paytmani koordinatalarda ifodalasak,

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglama berilgan uchta nuqta orqali o‘tuvchi
tekislik tenglamasidir.
Berilgan nuqtadan 0‘tadigan va berilgan ikkita nokollinear
, vektorlarga parallel boigan tekislik
tenglamasi ushbu ko‘rinishda yoziladi:

yoki , bu yerda - berilgan nuqtaning radius-vektorini
bildiradi. Bu tenglama quyidagi vektor-parametrik ko‘rinishga ega:

yoki koordinatalarda

bu yerda -sonlar tekislikdagi nuqtaning boshi nuqtada va masshtab
vektorlari , vektorlardan iborat koordinatalar sistemasiga nisbatan umumiy dekart koordinatasidir.
Ikkita va nuqtalardan o‘tadigan vektorga kollinear bolmagan, vektorga parallel bo‘lgan tekislik tenglamasi ushbu ko‘rinishda yoziladi:

yoki vektorlarning aralash ko'paytmasi

ko'rinishida, bu yerda mos ravishda berilgan nuqtalarning
radius-vektorlarini ifodalaydi. Bu tenglama esa parametrik shaklda:

yoki koordinatalarda:

ko‘rinishida bo‘ladi.

1.2. Nuqtadan tekislikgacha bo`lgan masofa

Endi fazodagi ixtiyoriy
nuqtadan shu nuqtadan o'tmaydigan tekislikkacha bo‘lgan masofani topamiz.
Tekislik umumiy

tenglamasi bilan berilgan deb hisoblaymiz va nuqtadan bu tekislikkacha
bo‘lgan masofani deb belgilaymiz. Biz bu masofani boshi berilgan tekislikdagi nuqtada, oxiri esa nuqtada bo‘lgan vektorning normal vektor
yo‘nalishidagi o‘qqa proyeksiyasining absolyut qiymati sifatida qaraymiz:

1-chizma
Vektorlaming skalyar ko‘paytmasining proyeksiya tilidagi ta’rifidan foydalanib

munosabatni hosil qilamiz. Bu yerdan vektorlarni koordinatalarda ifodalasak

munosabatni va nuqta tekislikka tegishli ekanligini inobatga
olsak,

formulani hosil qilamiz.

II. Tekislikning turli tenglamalari.

2.1 Tekislik tenglamasini normal ko`rinishga keltirish.
fazoda koordinatalar boshidan o’tuvchi tekislik berilgan bo’lsin.
Koordinatalar boshidan tekislikka perpendikulyar o’tkazib uning uzunligini orqali va perpendikulyarning o’qlar bilan tashkil etgan burchaklarini mos ravishda lar orqali belgilaymiz. U holda tekislik tenglamasini
( 1 )
ko’rinishda tasvirlash mumkin bo’ladi. (7.7) tekislikni normal tenglamasi deb ataladi. Bu tenglamaning o’ziga xos xususiyatlaridan biri
va .
Agar tekislik

umumiy ko’rinshidagi tenglamasi yordamida berilsa bu tenglikni normallovchi ko’paytuvchi deb ataluvchi

ga ko’paytirish natijasida tekislikning normal tenglamasiga keltiriladi. Normallovchi ko’paytuvchining ishorasi ozod hadning ishorasiga qarama – qarshisi olinadi.
Demak:

tekislikning normal tenglasini va

(1.1)
koordinatalar boshidan tekislikgacha masofani ifodalaydi.
Ikki tekislik orasidagi burchak. Tekisliklarning parallellik va perpendikulyarlik shartlari
Kesishuvchi va tekisliklar mos ravishda

( tekislik) va ( tekislik) tenglamalari yordamida berilgan bo’lsin. Ikki tekislik orasidagi burchak deganda tekisliklar tashkil etgan ikki yoqli burchaklardan biri tushuniladi. Q1 va Q2 tekisliklarning normal vektorlari va orasidagi burchak ana shu burchaklardan birini ifodalaganligi uchun tekisliklar orasidagi burchakni topish ularning normal vektorlari orasidagi burchakni topishga keladi (2-rasm).

2-rasm

va
vektorlar orasidagi burchak
(2)
formula yordamida topilishini bilamiz. Ana sha formula Q₁ va Q₂ tekisliklar orasidagi burchakni topish formulasi bo’lib xizmat qiladi.

Tekisliklarning parallellik sharti.

Q₁ va Q₂ tekisliklar faqatgina ularning normal vektorlari va parallel (kollinear) bo’lganligida parallel bo’ladi.
Shuning uchun ikki vektorning parallellik shartidan
(3)

ga ega bo’lamiz. Bu tekisliklarning ham parallellik shartidir. Demak ikki tekisliklarning mavjud koordinatalari oldidagi koeffitsientlari proporsional bo’lganda va faqat shu holdagina ular parallelbo’lar ekan. Endi berilgan nuqtadan

3-rasm

(*)
tekislikka parallel o’tkazilgan tekislik tenglamasini topamiz. Buning uchun nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasini yozamiz. Uning
(**)
ko’rinishga ega ekanligi ma‘lum. Bu tekislik berilgan (*) tekislikka parallel bo’lishi uchun

shart bajarilishi kerak. Demak

deb olishimiz mumkin. Ushbu qiymatlarni tekislik tenglamasi (**)ga qo’yib
(4)
tenglamani hosil qilamiz. Bu tenglama berilgan tekislikka parallel o’tkazilgan tekislik tenglamasi.
Tekisliklarning perpendikulyarlik sharti.
Ikki tekislik ularning normal vektorlari va o’zaro perpendikulyar bo’lgandagina perpendikulyar bo’ladi.

Ikki vektorning perpendikulyarlik shartiga asosan
(5)
formulaga ega bo’lamiz. Bu ikki tekislikning perpendikulyarlik shartidir. Endi berilgan ikkita va nuqtalar orqali o’tuvchi va tekislikka perpendikulyar tekislik tengmasini topamiz.
nuqtadan o’tuvchi istalgan tekislik tenglamasini yozamiz. U
(6)
ko’rinishiga ega bo’ladi. Shartga binoan nuqta ham shu tekislikda yotganligi uchun uning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantiradi, ya‘ni
. (7)
Ikkinchi tomondan tekislik berilgan tekislikka perpendikulyar bo’lganligi uchun
(8)
perpendikulyarlik sharti bajariladi. (7) va (8) ni birlashtirib
(9)
sistemaga ega bo’lamiz. (9) dan А,В va С koeffitsientlardan istalgan ikkitasini uchinchisi orqali ifodalab ularni topilgan qiymatlarini (6) tenglamaga qo’yib tenglamani uchinchi koeffitsientga qisqartirilsa izlanayotgan tenglama kelib chiqadi.
Nuqtadan tekislikgacha masofa
Nuqtadan tekislikgacha masofa deganda shu nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning uzunligi nazarda tutiladi.
Berilgan nuqtadan tenglamasi yordamida berilgan tekislikgacha masofa formula yordamida topiladi.

bo’lgani uchun
yoki

Tekislik tenglamasidan hisobga olib ushbu
(10)
formula yordamida topiladi.
Tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasi
Tekislik tenglamasi da koeffitsientlaridan hech biri nolga teng bo’lmasin.
Ozod had D ni tenglamaning o’ng tomoniga o’tkazsak

bo’ladi. Bu tenglamani har ikkala tomonini –D ga bo’lsak
yoki
hosil bo’ladi.

belgilashni kiritsak tekislik tenglamasi
(11)
ko’rinishiga ega bo’ladi. Bu tenglama tekislikning kesmalarga nisbatan tenglamasi deb ataladi. Bu yerdagi а,b,с lar tekislilarning 0х,0у,0z o’qlardan ajratgan kesmalari.
2.2. Uch nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasi. Koordinata o’qlaridan kesgan kesmasi bo’yicha tekislik tenglamasi. Mavzuga doir misollar.
Bir to’g’ri chiziqda yotmagan va nuqtalar berilgan bo’lib ular orqali o’tuvchi tekislik tenglamasini topish talab etilsin. tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. U holda:
va

vektorlar shu tekislikda yotadi, ya‘ni ular komplanar bo’ladi. Uch vektorning komplanarlik sharti ga binoan
(12)
tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglama uch nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasi.
1-misol. tekislik yasalsin.
Yechish. Tekislikni koordinata o’qlari bilan kesishish nuqtalarini aniqlaymiz. o’qning nuqtalari uchun bo’ladi. Bularni berilgan tenglamaga qo’ysak bo’ladi. Demak tekislik o’q bilan nuqtasida kesishar ekan.
Tenglamaga qiymatlarni qo’ysak kelib chiqadi. Demak tekislik o’q bilan nuqtada kesishar ekan. Agar tenglamaga qiymatlarni qo’ysak kelib chiqadi. Demak tekislik o’q bilan nuqtada kesishar ekan. Shunday qilib berilgan tekislik va nuqtalardan o’tar ekan.
2–misol. o’qqа parallelhamda va nuqtalardan o’tuvchi tekislik tenglamasi yozilsin va tekislik yasalsin.
Yechish. o’qqа parallel tekislik tenglamasi
(*)
ko’rinishga ega ekanligini ko’rdik( o’qqa parallel tekislik tenlamasida koordinita ishtirok etmaydi).
Agar tekislik biror nuqtadan o’tsa bu nuqtaning koordinatalari o’sha tekislik tenglamasini qanoatlantiradi. Tekislik tenglamasi (*) ga va nuqtalarning koordinatalarini qo’yib

sistemaga ega bo’lamiz. Bu sistemani uch noma‘lumli ikkita bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini yechimini topish formulasidan foydalanib yechamiz.
.
va ning topilgan qiymatlarini (*) ga qo’ysak yoki ga qisqartirilsa tekislik tenglamasi kelib chiqadi. Tekislik tekislikni to’g’ri chiziq bo’ylab kesib o’tadi. Shuning uchun tekislikni chizishdan oldin to’g’ri chiziqni chizamiz. Tenglamaga qiymatni qo’ysak va qiymatni qo’ysak kelib chiqadi. Demak to’g’ri chiziq tekislikning ва nuqtalaridan o’tar ekan.
3–misol. nuqtadan o’tib tekislikka parallel tekislik tenglamasi yozilsin va tekislik yasalsin.

Yechish. 0ху ga parellel tekislik tenglamasi Сz+D=0 ko’rinishiga ega ekanligini bilamiz. Bunga A nuqtaning koordinatalarini qo’yib 4C+D=0, D=-4C ga ega bo’lamiz. D ning ushbu qiymatini tekislik tenglamasiga qo’ysak Cz-4C=0 yoki C ga qisqartirsak Z-4=0; Z=4 hosil bo’ladi(4-rasm). Bu tenglama A(1;2;4) nuqtadan o’tib 0xy tekislikka parellel tekislik tenglamasi.	4-rasm
4–misol. tekislik yasalsin(5-rasm). Yechish. Tekislik tenglamasini kesmalarga nisbatan yozamiz: ; ; . Demak tekislik А(4;0;0), В(0;3;0) va С(0;0;5) nuqtalardan o’tar ekan.		5-rasm

5–misol. М₁(1;2;-1); М₂(-1;0;4); М₃(-2;-1;1) nuqtalardan o’tuvchi tekislik tenglamasi topilsin.
Yechish. (12) formulaga binoan izlanayotgan tekislik tenglamasini
=0
ko’rinishda yozamiz. Determinantni birinchi satr elementlari bo’yicha yoysak:

yoki ikkinchi tartibli determinantlarni hisoblasak
va tenglikni 11 ga qisqartirib ixchamlasak х-1-у+2=0; х-у+1=0
kelib chiqadi. Bu tenglama 0z o’qqа parallel tekislikni aniqlaydi.
6–misol. tekislik tenglamasi normal ko’rinishga keltirilsin.
Yechish. Ozod had bo’lgani uchun normallovchi ko’paytuvchi oldida minus ishora olinadi. Misolda bo’lgani sababli . Berilgan tenglamani bunga ko’paytirsak
-
tekislikning normal tenglamasi kelib chiqadi.
7–misol. Koordinatalar boshidan 10х+15у-6z-380=0 tekislikkacha masofa topilsin va shu perpendikulyarning koordinata o’qlari bilan tashkil etgan burchaklarning kosinuslari topilsin.
Yechish. Ozod son-380<0 bo’lganligi uchun normallovchi ko’paytuvchi oldida plyus ishora olinadi: .
(1.1) formulaga binoan koordinatalar boshidan tekislikgacha masofa bo’ladi. Endi burchak kosinuslarini topamiz:
.
8–misol. va tekisliklar orasidagi o’tkir burchak topilsin.
Yechish. Bu yerda А₁=5, В₁=-3; С₁=4; А₂=3,B₂=-4, С₂=-2 bo’lgani uchun (2) formulaga binoan:

.
Tekisliklar orasidagi o’tkir burchakni topish talab etilganligi sababli formulaning o’ng tomonidagi ifodani absolyut qiymatini oldik.
9–misol. Koordinatalar boshidan tekislikka parallel o’tkazilgan tekislik tenglamasi tuzilsin.
Yechish. Bu yerda х₁=у₁=z₁=0 va А₁=В₁=С₁=1 bo’lgani uchun (4) ga binoan х+у+z=0 tenglamaga ega bo’lamiz.
10–misol.М₁(1; 1; 1) va М₂(0; 1; -1) nuqtalar orqali o’tuvchi va х+у+z=0 tekislikka perpendikulyar tekislik tenglamasi topilsin.
Yechish. М₁(1; 1; 1) nuqtadan o’tuvchi tekislik tenglamasi