O’zbekiston respublikasi oliy

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI

OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI

BERDAQ NOMIDAGI


QORAQALPOQ DAVLAT UNIVERSITETI


MATEMATIKA FAKULTETI DIFFERENSIAL

TENGLAMALAR KAFEDRASI ODDIY DIFFERENSIAL

TENGLAMALAR FANIDAN


KURS ISHI


Mavzu: Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida

integrallash.


Bajardi : Abdikadirova Ayjan

Tekshirdi: Nurjanov Orinbay


NUKUS 2020

Mundarija.

1. Kirish


1§. Tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash.


1. Oddiy differensial tenglamalarni darajali qatorlar

yordamida hisoblash

2. Darajali qator yordamida hisoblanadigan Bessel

tenglamasi

3. Darajali qator yordamida hisoblanadigan Besselning 1-tur

funksiyalari.

4. Darajali qator yordamida hisoblanadigan Besselning 2-tur

funksiyalari


2§. Gipergeometrik tenglamalar.


1. Darajali qator yordamida hisoblanadigan Gaus

tenglamasi.


2. Xulosa.

3. Foydalanilgan adabiyotlar.


NUKUS 2020

Kirish.

Differensial tenglamalar fani turli xil fizik jarayonlarni o’rganish bilan

chambarchas bog’liqdir. Bunday jarayonlar qatoriga gidrodinamika,

elektrodinamika masalalari va boshqa ko’plab masalalarni keltirish

mumkin. Turli jarayonlarni ifodalovchi matematik masalalar ko’pgina

umumiylikka ega bo’lib, differensial tenglamalar fanining asosini tashkil

etadi. Differensial tenglamalar oliy matematikaning asosiy fundamental

tadbiqiy bo’limlaridan biri bo’lib, u bakalavriatning matematika,

mexanika, amaliy matematika va informatika kabi yo’nalishlari o’quv

rejasidagi umumkasbiy fanlardan biri hisoblanadi.hozirgi kunda fan va

texnikaning jadal rivojlanib borishi turli murakkab texnik, mexanik, fizik

va boshqa jarayonlarni o’rganish, ularni matematik nuqtai nazardan

tasavvur qilish, matematik modellarini tuzish va yechish nafaqat tadbiqiy

jihatdan balki nazariy jihatdan ham dolzarb, ham amaliy ahamiyatga ega

bo’lgan muammolardan biri hisoblanadi.


NUKUS 2020





Differensial tenglamalarni darajali qatorlar yordamida

integrallash.


1.Tenglamalarni darajali qatorlar yordamida integrallash.


Amaliyotda uchraydigan muammolarni hal qilish ko’p hollarda


        


(1)


y


p x y q x y 0


ko’rinishidagi tenglamalarni integrallashga keladi. Faraz qilaylik bu

tenglamalarning p(x) va q(x) koeffisiyentlari darajali qatorlar yoki

polinomlardan iborat bo’lsin, ya’ni














 


i^xi,


q(x)   xi;


i


(2)


p(x)


i0


i0









i0





bu yerda   


 bo’lib,

const (i 0,1, 2,...)


2  0, _i2  0 . Demak (1)


,


i


i


i


i0


tenglamani


    

y (


_2x2 ...)y  (    



_2x2 ...)y 0


(3)


x


x


0


1


0


1


ko’rinishda yozish mumkin.


(3) tenglama yechimini








_y(x)  a x ,


i


a_i  const (i  0,1, 2,...)


(4)


i


i0


darajali qator ko’rinishda izlanadi. (4) dagi _y(x) ni va uning hosilalarini

(3) tenglamaga qo’yib, darajali qatorlarni ko’paytiramiz va x ning bir xil

darajalari oldidagi koeffisiyentlarni nolga tenglaymiz va


0


    

x : 2 1 a


a

^ 0

0 0


a


2


0 1


1


         


x : 3 2 a 2 a a a a 0


3


0 2 1 1 0 1 1 0


2


   

x : 4 3 a 3 a 2 a


    


    

0


(5)


a


a

0 2


a


a

1 0


4


0 3


1 2


2 1


1 1


.

.


........................................

...........................................


tenglamalar majmuasiga ega bo’lamiz. Ma’lumki (4) tenglamalarning har

biri ikkinchisidan boshlab, oldingi tenglamadan bitta ko’p noma’lumga

ega, birinchi tenglamada _a0 va _a1 ixtiyoriy ozgarmaslar sifatida qabul


qilinib, bu o’zgarmaslarning qiymatlaridan va (5) tenglamalardan


a ,a ,...


2


3


koeffisiyentlar topiladi, ya’ni _a0 va qiymatlari ma’lum bo’lsa, (5) dagi


a

1


1-tenglamadan


, 2-tenglamadan


va hakozo

a ,a ,...,a

0 1


ma’lum

k


a₂


a₃


NUKUS 2020







bo’lganda (5) dagi k-tenglamadan a topiladi. (1) yoki (3) tenglamaning


k1


chiziqli erkli ikkita yechimini aniqlashda, qulaylik uchun _a0  va 


0


a 1

1


tanlash orqali y (x) , hamda a 1 va  tanlash orqali y (x) chiziqli


a 2

1


1


0


2


erkli yechimlarni olamiz.


1-Teorema. Agar (2) darajali qatorlar  da yaqinlashuvchi bo’lsa,


x R


u holda koeffisiyentlari yuqoridagi usulda aniqlangan (4) qator ham x  R

da yaqinlashuvchi va (1) yoki (3) tenglamaning yechimi bo’ladi.