O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi alisher navoiy nomidagi samarqand davlat universiteti
Download 251.76 Kb. Pdf ko'rish
|
trapetsiyaning yuzi uchun turli formulalar
- Bu sahifa navigatsiya:
- Mexanika- matematika fakulteti Algebra va geometriya kafedrasi 5460100- matematika ta’lim yo’nalishi
- MUNDARIJA. I bob. TRAPETSIYA TUSHUNCHASI.
- II bob. TRAPETSIYANING YUZI UCHUN TURLI FORMULALAR
- 2. Mavzuning dolzarbligi.
- 3. Ishning maqsadi va vazifalari.
- 5. Ishning ilmiy ahamiyati.
- 8. Ishning qisqacha mazmuni. Tarif.
- I bob. TRAPETSIYA TUSHUNCHASI. 1-§. Trapetsiya ta’rifi va uning xossalari Tarif.
- 2-§. Turli trapetsiyaning yuzi uchun formulalar
- II bob. Trapetsiyaning yuzi uchun turli formulalar. 3-§. Trapetsiyaning tomolariga ko’ra yuzini hisoblash formulasi.
|
1
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI ALIShER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI Mexanika- matematika fakulteti Algebra va geometriya kafedrasi 5460100- matematika ta’lim yo’nalishi Iskandarov Sardor Sharof o’gli TRAPETSIYANING YUZI UCHUN TURLI FORMULALAR
(Bakalavr akademik darajasini olish uchun bajarilgan bitiruv malakaviy ishi)
Himoyaga ruxsat etildi: Fakultet dekani: prof. A.S.Soleyev Kafedra mudiri dots.X.Ro’zimuradov Ilmiy rahbar dots.N.Ya.Imomkulov M.O’.
SAMARQAND - 2012 yil
2
MUNDARIJA. I bob. TRAPETSIYA TUSHUNCHASI. Kirish
…………………………………………………………………... 3 1-§. Trapetsiya ta’rifi va turlari ……………………………….6 2-§. Trapetsiyaning xossalari …………………………………9 3-§. Turli trapetsiya uchun formulalar……………………….11
4-§. Trapetsiyaning tomolariga ko’ra yuzini hisoblash formulasi……………………………………………………… 5-§. Trapetsiyaning asoslari va dioganallariga ko’ra yuzini hisoblash formulasi…………………………………………… 6-§. Trapetsiyaning diagonali va balandligiga ko’ra yuzini hisoblash formulasi…………………………………………… 7-§. Teng yonli trapetsiyaning yuzasini hisoblash formulalari…………………………………………………….
3
KIRISH.
1. Masalaning qo’yilishi. Qo’yilgan masala har qanday trapetsiyaning yuzasini hisoblash formulasini keltirib chiqarishni o’rganishdan iborat.
hisoblanadi. Ko’pgina geometrik masalalarda trapetsiyaning yuzini hisoblashga to’g’ri keladi. Ushbu bitiruv ishida har qanday trapetsiyaning yuzasini hisoblash mumkin bo’lgan formulalar keltirilib chiqarilgan. Shuning uchun bitiruv ishi dolzarbdir.
trapetsiya uchun uning yuzasini hisoblay oladigan formulalarni kiltirib chiqarishdan iborat.
⋅ + = 2
formula orqali hisoblaydi. Lekin masalalar har doim ikkita asos va balandligi berilavermaydi. Bunday hollarda berilgan malumotlarga ko’ra uning ikki asosi bilan balandligi topiladi, so’ng esa yuqoridagi formuladan foydalanib uning yuzi topiladi. 5. Ishning ilmiy ahamiyati. Biz ko’pgina hollarda turli shakllarni yuzini hisoblash masalasiga duch kelamiz. Bunday holda bu shaklni yuzini hisoblash uchun uni turli trapetsiyalarga ajratiladi va shu trapetsiyaning yuzini hisoblash masalasiga olib kelinadi. Shuning uchun trapetsiyaning yuzasini hisoblash masalasi ilmiy ahamiyatga ega.
uchun uning yuzasini hisoblash formulasini kiltirib chiqarishdan iborat. 7. Ishning tuzilishi. Bitiruv ishi mundarija, kirish qismi, ikkita bobdan iboratdir. Birinchi bobda uchta paragiraf mavjud. Ikkinchi bob esa to’rtta 4 paragirafni o’z ichiga oladi. Bundan tashqari xulosa va adabiyotlar ro’yxati ham keltirilgan. 8. Ishning qisqacha mazmuni. Tarif. Trapetsiya faqat ikkita qarama-qarshi tomonlari parallel qavariq to’rtburchakdir. Bu parallel tomonlar trapetsiyaning asoslari deb aytiladi. Parallel bo’lmagan tomonlari uning yon tomonlari deyiladi. Tarif. Agar trapetsiyaning yon tomonlarining uzunliklari teng bo’lsa, unday trapetsiyaga teng yonli trapetsiya deyiladi. Trapetsiyaning asoslari orasidagi masofa uning balandligi deb aytiladi. Trapetsiyaning qarama-qarshisidagi uchlarini birlashtriruvchi kesmalar uning diagonallari deb aytiladi. Trapetsiya uchun quyidagi tasdiqlar o’rinlidir. 1. Trapetsiya yon tomonlarining o’rtalarini birlashtruvchi to’g’ri chiziq kesmasi uning o’rta chizig’i deyiladi. 2. Trapetsiyaning o’rta chizig’i uning asoslariga parallel va asoslari yig’indisining yarimiga teng. 3. Teng yonli trapetsiyaning diagonallari teng, asosidagi burchaklari ham teng bo’ladi. 4. Teng yonli trapetsiyaga tashqi chizilgan aylana chizish mumkin va Aksincha, aylanaga ichki chizilgan har qanday trapetsiya teng yonlidir. 5. Trapetsiyaning ichki va tashqi aylanalar chizish mumkin bo’lsa uning o’rta chizig’i yon tomoniga teng bo’lgan teng yonli trapetsiya bo’ladi. Trapetsiya diagonallari o’zaro perpendikulyar bo’lsa, uning o’rta chizig’i balandligiga teng. Tarif. Trapetsiyaning bitta burchagi to’g’riburchakdan iborat bo’lsa u to’g’riburchakli trapetsiya deb aytiladi. Trapetsiyaning asoslari a va b (a>b) bo’lsin. U holda
1) Trapetsiyaning o’rta chizig’i 2 b a + ga teng. 5 2) Trapetsiya diagonallari o’rtalarini birlashtriruvchi to’g’ri chiziq kesmasi uning asoslari parallel uzunligi 2
a − gat eng. 3) Trapetsiyaning asoslari orasidagi har qanday to’g’ri chiziq kesmasini, uning o’rta chizig’i teng ikkiga bo’ladi. 4) Trapetsiya asoslarining o’rtalarining birlashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmasi uni ikkita tengdosh trapetsiyaga bo’ladi. 5) Trapetsiya tomonlarining o’rtalari paralellogramning uchlari bo’ladi. 6) Teng yonli trapetsiya tomonlarining o’rtalari rombning uchlari bo’lib xizmat qiladi. 7) Trapetsiyaning yuzini teng ikkiga bo’luvchi va asoslariga parallel to’g’ri chiziq kesmasining uzunligi 2 ) ( 2 2 b a + ga teng. 8) Trapetsiyaning asoslari parallel va uning diagonallarining kesishgan nuqtasidan o’tgan to’g’ri chiziq kesmasining uzunligi b a ab + 2 ga teng.
6
1-§. Trapetsiya ta’rifi va uning xossalari Tarif. Trapetsiya faqat ikkita qarama-qarshi tomonlari parallel qavariq to’rtburchakdir. Trapetsiya planametriyada o’rganiladigan sodda figuradir. Trapetsiya ta’rifga ko’ra, ikkita qarama-qarshi tomonlari parallel qavariq to’rtburchakdir. Bu parallel tomonlar trapetsiyaning asoslari deb aytiladi. Parallel bo’lmagan tomonlari uning yon tomonlari deyiladi. Yon tomonlarining uzunliklari teng bo’lsa, trapetsiya teng yonli deyiladi. Trapetsiyaning asoslari orasidagi masofa uning balandligi deb aytiladi. Trapetsiyaning qarama-qarshisidagi uchlarini birlashtriruvchi kesmalar uning diagonallari deb aytiladi. Trapetsiya yon tomonlarining o’rtalarini birlashtruvchi to’g’ri chiziq kesmasi uning o’rta chizig’i deyiladi. Trapetsiya uchun quyidagi xossalar o’rinli. 1. Trapetsiyaning o’rta chizig’i uning asoslariga parallel va asoslari yig’indisining yarimiga teng. 2. Teng yonli trapetsiyaning diagonallari teng, asosidagi burchaklari ham teng bo’ladi. 3. Teng yonli trapetsiyaga tashqi chizilgan aylana chizish mumkin. Aksincha aylanaga ichki chizilgan har qanday trapetsiya teng yonlidir. 4. Trapetsiyaning ichki va tashqi aylanalar chizish mumkin bo’lsa uning o’rta chizig’i yon tomoniga teng bo’lgan teng yonli trapetsiya bo’ladi. 5. Trapetsiya diagonallari o’zaro perpendikulyar bo’lsa, uning o’rta chizig’i balandligiga teng. Tarif. Trapetsiyaning bitta burchagi to’g’riburchakdan iborat bo’lsa u to’g’riburchakli trapetsiya deb aytiladi. Trapetsiyaning asoslari a va b (a>b) bo’lsin. U holda
7 1.Trapetsiyaning o’rta chizig’i 2 b a + ga teng. 2. Trapetsiya diagonallari o’rtalarini birlashtriruvchi to’g’ri chiziq kesmasi uning asoslari parallel uzunligi 2
− gat eng. 3. Trapetsiyaning asoslari orasidagi har qanday to’g’ri chiziq kesmasini, uning o’rta chizig’i teng ikkiga bo’ladi. 4. Trapetsiya asoslarining o’rtalarining birlashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmasi uni ikkita tengdosh trapetsiyaga bo’ladi. 5. Trapetsiya tomonlarining o’rtalari paralellogramning uchlari bo’ladi. 6. Teng yonli trapetsiya tomonlarining o’rtalari rombning uchlari bo’lib xizmat qiladi. 7. Trapetsiyaning yuzini teng ikkiga bo’luvchi va asoslariga parallel to’g’ri chiziq kesmasining uzunligi 2 ) ( 2 2 b a + ga teng. 8. Trapetsiyaning asoslari parallel va uning diagonallarining kesishgan nuqtasidan o’tgan to’g’ri chiziq kesmasining uzunligi b a ab + 2 ga teng. Ixtiyoriy trapetsiyani aniqlovchi elementlarga ko’ra uning yuzini hisoblash mumkin. Mazkur diplom ishi trapetsiyaning yuzi uchun formulalarni chiqarish va misollar yechishga bag’ishlangan. Trapetsiyaning yuzini xisoblash uchun yetarli bo’lgan elementlar: trapetsiyaning asoslari va tomonlari balandligi, asoslari va yon tomonlari, asoslari va diagonallari va hakozo. Teng yonli trapetsiyaning yuzini hisoblash uchun zarur elementlar: asoslari va yon tomonlari, asoslari va diagonali va hakozo. Yana bir necha misollar shakllarda ko’rsatilgan.
8
18 25
° 70
60
20 ° 50 ° 50 50 45 24
° 40
32 48 24
52 25 42
° 30 68
20
° 45 25 9
7 ° 150 12
36
1
h 2 d
2-§. Turli trapetsiyaning yuzi uchun formulalar 1)
h b a s ⋅ + = 2
2) ) )( )( )( ( ) ( 4 d c b a d c b a d c b a d c b a b a b a s + + − − + + + − − + + − − + =
3) ) )( )( )( ( 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 b a d d d d b a d d b a d d b a s − − + + − + − + + + + + =
4) ) )( )( )( ( ) ( 4 d a c d c a d c a d c a b a b a s + + − + + − + + − + = 5)
) ( 2 2 2 1 2 2 1 h d h d h S − + − =
6) ) )( )( )( ( 4 2 2 2 2
a c d c a d c a d c a a c d a S − + − + − + + + − + = Teng yonli trapetsiya uchun 7) ) 2 )( 2 ( 4 c a b c ab b a S + − + + = 8)
) 2 )( 2 ( 4 b a d d b a b a S − − + + + =
9. teng yonli trapetsiyaning asoslari va o’tkir bo’rchagiga ko’ra β
b a S 4 2 2 − = 10
10. aylanaga tashqi chizilgan teng yonli trapetsiyaning yon tomoni va asoslaridan biriga ko’ra.
) 2 ( a c a c S − = 11. Trapetsiyaning diagonallari va asoslari o’rtalarini birlashtruvchi to’g’ri chiziq kesmasining uzunligiga ko’ra.
) 2 )( 2 )( 2 )( 2 ( 4 1 1 2 2 1 2 1 2 1 l d d l d d l d d l d d S + − − + + − + + =
12. Trapetsiyaning asoslari a,b trapetsiyaga ichki va tashqi aylanalar chizish mumkin. Shunga kura,
= + = 2
13. trapetsiyaning asoslari a,b diagonallari asosidagi o’tkir burchaklarning bissektrisalari, shunga ko’ra 2 2 ) ( 2 4 b a b b a S − − + =
Mazkur chiqarilgan formulalar yordamida sonli misollar yechib ko’rsatilgan. Ayrim misollar bir necha usullar bilan yechilgan. Bular shuni ko’rsatadiki chiqarilgan formulalardan ko’p hollarda foydalanish qulaydir. Ushbu ish natijalaridan o’quvchilar bilan olib boriladigan qo’shimcha mashg’ulotlarda foydalanish mumkin
1. Trapetsiyaning yuzi uning asoslari yig’indisining yarmi bilan balandligining ko’paytmasiga teng.
11
h b a S TR ⋅ + = 2
ABCD-berilgan trapetsiya bo’lsin. Trapetsiyaning AC diagonali uni ikkita uchburchakka ajratadi.
∆ ABC va ∆ CDA
Demak, trapetsiyaning yuzi shu uchburchaklar yuzlarining yig’indisiga teng.
ABC uchburchakning yuzi
CE AB S ABC ⋅ = ∆
ACD uchburchakning yuzi AF СD S ABC ⋅ = ∆ 2 1 Bu uchburchaklarning CE va AF balandliklari AB vaCD parallel to’g’ri chiziqlar orasidagi masofaga teng. Bu masofa trapetsiya balandligi diyiladi. Shunday qilib trapetsuyaning yuzi
h b a h CD AB AF CD CE AB S tr ⋅ + = ⋅ = ⋅ + ⋅ = 2 ) ( 2 1 2 1 2 1
Misollar. 1) Agar teng yonli trapetsiya asoslari 8sm va 14sm, yuzi 44sm 2 gat eng bo’lsa uning yon tomonlarini aniqlang? YECHILISHI. Berilgan: D 8 C
s=44 c c
A E 14 F B 12
a=14sm b=8sm S=44 2
C BC AD = ≠ C=?
h b a S tr ⋅ + = 2
h ⋅ + = 2 14 8 44 , 11h=44, h=4 x BF AE = = 8 = EF
EF AB 2 + =
14=8+2x, 2x=6, x=6, x=3 BCF ∆ -to’g’riburchakni uning gepotenuzasi , 25 9 16 2 2 2 = + = + = x h С c=5sm
2 sm balandligi 22 sm , parallel tomonlarining ayirmasi esa 6
. bu parallel tomonlar har birining uzunligini toping? Yichilishi h b a S tr ⋅ + = 2
22 2 594 ⋅ + = b a
54 11 594 = = = b a
= − = + 6 54
a b a sistemani yechish kerak 2a=60 a=30 2b=48
b=24
2. Trapetsiyaning tomonlariga ko’ra yuzini hisoblash formulasi. ) )( )( )( ( ) ( 4
b a c d b a c c d b a d c b a b a b a S tr + + − − − + − + − + + − − + =
Trapetsiyaning asoslari a va b (a>b), yoki bo’lsin. x BF =
, EF AF AE − = x a AF − = x b a b x a AE − − = − − = ) ( 13
BCF ∆ dan 2 2 2 x d h − =
BCF ∆ dan 2 2 2 2 2 ) ( x b a c AE c h − − − = − =
Bo’lardan 2 2 2 2 ) ( x b a c x d − − − = − 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) (
x b a b a c x d − − + − − = −
2 2 2 ) ( ) ( 2
b a d x b a − − − = − ) ( 2 ) ( 2 2 2 b a d c b a x − + − − = ) ( b a >
[ ] [ ] = − + − − − − = − + − − − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 4 ) ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( b a d c b a d b a b a d c b a d h
[ ][ ] = − − + − − − + − − + − = 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 4 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2
a d c b a d b a d c b a d b a
) ( 4 ) )( )( )( ( b a d c a b d c b a d c b a d c b a − + + − − + − + − − + = − = Shunday qilib trapetsuyaning yuzi quydagi formulaga ega bo’lamiz. h b a S tr ⋅ − = 2
) )( )( )( ( ) ( 4
b a c d b a c c d b a d c b a b a b a S tr + + − − − + − + − + + − − + =
Misollar. 1) Trapetsiyaning parallel tomonlari 16sm va 44sm, parallel bo’lmagan tomonlari 17sm va 25sm ga teng. Trapetsiyaning yuzi topilsin? Yechilishi. a=44sm, b=16sm, D 16 C S=? 17 h h 25
A E 44 F B 14
Shakldan topamiz: [ ]
=
, 44
AF − = x x EF AF AE − = − − = − = 28 16 ) 44 (
2 2 25
h − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 56 784 289
) 56 784 ( 17 ) 28 ( 17 17 x x x x x x AE h − = − + − = = = − − = − − = − =
289 625
784 56 − + =
,
56 =
20
x
h 2 =25
2 -20
2 =(25+20)(25-20)= 225 5
= ⋅
h 2 =225, h=15sm 8 20 28 = − = AE
2 450 15 30 15 2 60 15 2 44 16 sm S tr = ⋅ = ⋅ = ⋅ + = Endi masalani yuqorida chiqarilgan formuladan foydalanib yechamiz. = +
− − + − + − − + + − ⋅ ⋅ − + = ) 25 17 44 16 )( 25 17 16 44 )( 25 17 16 44 )( 25 17 16 44 ( ) 16 44 ( 4 44 16 tr S
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 2 10 6 14 28 15 14 36 1400 28 15 14 20 36 70 28 4 60
2 450
30 15 10 6 14 28 15 sm = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
2)a=24, b=10, c=13, d=15 204
12 17 3 4 7 7 17 ) 15 13 10 24 )( 15 13 10 24 )( 15 13 10 24 )( 15 13 10 24 ( ) 10 24 ( 4 10 24 = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = + + + − − + − + − − + + − ⋅ ⋅ − + = tr S
ABCD trapetsiyada A=60sm, b=20sm c=13sm d=37sm h h h S tr 40 2 80 2 60 20 = = ⋅ + = x BF =
15
x AF − = 60 x x EF AF AE − = − − = − = 40 20 ) 60 (
2 2 37
h − = h 2 =13 2 -(40-x) 2 =13
2 -1600+80x-x 2
2 =13
2 1600+80x-x 2
2 -13
2 =1600+(37+13)(37-13)=1600+ 2800 24
= ⋅
80x=2800, x=35 h 2 =37 2 -35 2 =(37+35)(37-35)= 144 2
= ⋅
h=12, 2 480 12 40
S tr = ⋅ =
Download 251.76 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|