O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti “matematika” kafedrasi «Oddiy differensial tenglamalar» fanidan kurs ishi mavzu

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI BUXORO DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI “MATEMATIKA” KAFEDRASI «Oddiy differensial tenglamalar» fanidan

KURS ISHI

Mavzu: Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularni integrallash usullari.Mavjudlik va yagonalik teoremasi.
Bajardi: _ matematika_________fakulteti, _1-2Mat 18____ guruhi talabasi Primova Sitora Avazjon qizi.

Tekshirdi:

Kurs ishi himoya qilingan sana:
“____” _______20____y

Komissiya a’zolari:

(imzo) (fish)


(imzo) (fish)


(imzo) (fish)

Ball________

Buxoro– 2020
Mavzu: Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularni integrallash usullari.Mavjudlik va yagonalik teoremasi.

Reja:

Kirish

I Bob.Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama.

1. 
   Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama haqida ma’lumot.
   
2. 
   Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglamalarni integrallash usullari haqida.
   
3. 
   Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalar uchun izogonal trayektoriyalar to’g’risidagi masala.
   

II Bob. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama uchun mavjudlik va yagonalik teoremasi.

2.1 Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama uchun mavjudlik va yagonalik haqidagi teorema.

2.2 Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama uchun mavjudlik va yagonalik haqidagi teoremaning isboti.

XULOSA

ILOVA

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

Differensial tenglamalarni,unga aloqador barcha fanlarni nafaqat O’zbekiston,balki butun dunyo bor salohiyatini ishga solib o’rganadi.Shu o’rinda aytish lozimki differensial tenglamalarga bag’ishlangan kitoblar rus,ingliz va boshqa tillarda ko’plab chop etilgan.Ular ichida matematik olimlar Pontryagin, Stepanov, Petrovskiylar tomonidan yaratilgan darsliklarni alohida qayd qilib o’tish lozim.O’zbek tilida ilk darslik akademik T.N.Qori-Niyoziy tomonidan 40-yillarda yozilgan.Bu fanni olimlar necha asrlardan beri o’rganib kelishadi.Ushbu soha faqat hozirgi davrdagina mavjud bo’lib qolmay,balki uning tarixi necha necha asrlar ortga borib taqaladi.Ilm endi endi rivojlanayotgan paytda shu sohaning ilk ildizlari endi quloch yoyishni boshlagan desak mubolag’a bo’lmas.O’sha paytlarda ilm hali uncha ham rivojlanmagan bo’lsada,lekin insonlar,olimlar o’zlari uchun muhim bo’lgan muammolarni yecha olishgan.Differensial tenglamalar juda ko’p fanlar bilan uzviy bog’liq hisoblanadi.Masalan fizika,iqtisodiyot,biologiya,kimyo,tibbiyot va boshqa fanlarda uchraydigan ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamida tavsiflanadi.Shu tenglamalarni o’rganish bilan tegishli jarayonlar haqida biror ma’lumotga,tasavvurga ega bo’lamiz.O’sha hosil qilingan differensial tenglamalar o’rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo’ladi.Bu model qancha mukammal bo’lsa,differensial tenglamalarni o’rganish natijasida olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to’la tavsiflaydi.Shunisi qiziqki,tabiatda uchraydigan turli jarayonlar bir xil differensial tenglamalar bilan tavsiflanishi mumkin.Bu esa “bir o’q bilan ikki quyonni otish” imkonini beradi,ya’ni agar biror matematik modelni to’la o’rganilsa,tegishli natijadan turli jarayonlarni tushuntirishda foydalansa bo’ladi.Aytilgan fikrlar differensial tenglamalarning umumiy nazariyasi va amaliy masalalarni yechishga tatbiqi muhim ahamiyat kasb etishini anglatadi.

Biz darslarimizda hosilaga nisbatan yechilgan, ya’ni y'=f(x, y) (1) ko’rinishdagi differensial tenglamalar bilan tanishib, o’rganib chiqqanmiz.Biroq, birinchi tartibli tenglama, umuman aytganda F(x, y, y')=0 (2) ko’rinishidagi hosilaga nisbatan yechilmagan differensial tenglamaga ega bo’lishi mumkin,shu bilan birga (2) ko’rinishdagi tenglamadan (1) ko’rinishdagi tenglamaga har doim ham o’tish mumkin bo’lavermaydi. Shunday bo’lishiga qaramay, (2) differensial tenglamani integrallash masalasini parameter kiritish yo’li bilan hosilaga nisbatan yechilgan tenglamani integrallash masalasiga keltirish mumkin. (2) tenglamaning ayrim xususiy hollarini qarab chiqamiz va ularni integrallash yo’llarini ko’rsatamiz.

1)n-darajali birinchi tartibli tenglama.Tenglamaning chap tomoni y' ga nisbatan butun ratsional funksiyadan iborat, ya’ni quyidagi ko’rinishga ega:

,

Bu yerda n-butun musbat son, ,,,…, lar x va y ning funksiyalari.Bu funksiyani y' ga nisbatan yecha olamiz deb faraz qilaylik.Bunda y' uchun, umumiy aytganda, n ta har xil ifoda hosil bo’ladi:

y'=f₁(x, y), y'=f₂(x, y), … , y'=f_n(x, y), (3)

Bu holda (2) tenglamani integrallash birinchi tartibli n ta (1) tenglamani integrallashga keltirildi.Ularning umumiy integrallari mos ravishda quyidagilar bo’lsin:Ф₁(x, y, c₁)=0, Ф₂(x, y, c₂)=0, … , Ф_n(x, y, c_n)=0. (4)

(4) integrallarning chap tomonlarini o’zaro ko’paytirib,nolga tenglaymiz:

Ф₁(x, y, c₁) Ф₂(x, y, c₂) … Ф_n(x, y, c_n)=0. (5)

Agar (5) tenglamani y ga nisbatan yechadigan bo’lsak,(2) tenglamaning yechimini hosil qilamiz.Haqiqatan ham,(5) tenglamaning har qanday yechimi (4) tenglamalarning birini,(1) tenglamalarning birortasini va shunday qilib,(2) tenglama –(1) tenglamalarga yoyilgani uchun uni ham qanoatlantiradi.Umumiylikka ziyon keltirmasdan,(5) dagi barcha c₁,c₂, … ,c_n o’zgarmaslarni bitta c bilan almashtirish va tenglamani Ф₁(x, y, c) Ф₂(x, y, c) … Ф_n(x, y, c)=0 (6)

ko’rinishda yozish mumkin,bu (2) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.Bunga ishonch hosil qilish uchun (6) tenglamaning n ta tenglamaga ajralishini ko’rish mumkin: Ф₁(x, y, c)=0, Ф₂(x, y, c)=0, … ,Ф_n(x, y, c)=0, (7) bu yerda c-istalgan qiymatlarni qabul qiluvchi ixtiyoriy o’zgarmas,shu sababli (4) tenglamadan hosil qilinadigan barcha yechimlar (7) tenglamadan hosil qilinadigan yechimlar orasida bo’ladi.

Misol. Ushbu (y')²-xy/a²=0 tenglamaning umumiy integralini topamiz.

Tenglamaning chap tomonini ko’paytuvchilarga ajratib,quyidagini hosil qilamiz: (y'-)( y'+ )=0,bu yerdan y'-=0 va y'+ =0.Bu ikkala tenglama o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir.Ularning umumiy integrallari:, . Shuning uchun berilgan tenglamaning umumiy integrali ushbu ko’rinishda bo’ladi:

Misol.

2) y ga nisbatan yechilgan va x qatnashmagan tenglama.

Gap y=φ(y') (8) ko’rinishdagi tenglama ustida ketyapti.Bu holda parametr kiritish usulini qo’llash maqsadga muvofiqdir.U qaralayotgan o’zgaruvchilarni parametr orqali ifodalash va yechimni parametrik shaklda izlashdan iborat. y'=p deylik.U holda berilgan tenglama y=φ(p) (9) ko’rinishda yoziladi.Agar x ni p va c orqali ifodalovchi yana bitta tenglama topish mumkin bo’lsa,u holda bu ikkita tenglamadan iborat to’plam (8) tenglamaning parametrik shakldagi umumiy yechimi bo’ladi.ulardan p ni yo’qotib, x,y va c orasidagi munosabatni,ya’ni odatdagi shakldagi umumiy integralni hosil qilish mumkin.Ikkinchi tenglamani quyidagicha topamiz. y'=p tenglikni ko’rinishida qayta yozib olamiz,bu yerdan . Bu yerdagi integralni bo’laklab integrallaymiz:. Demak . (10)

(10) va (9) tenglamalar sistemasi (8) tenglamaning parametrik shakldagi umumiy yechimi bo’ladi.Agar iloji bo’lsa,bu tenglamalardan p ni yo’qotib, Ф(x, y, c)=0 shakldagi umumiy integralni hosil qilamiz.