O`zbekiston respublikasi oliy va o`rta maxsus ta`lim vazirligi

 

 

 

 

O`ZBEKISTON   RESPUBLIKASI 

OLIY VA O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI  

 

 

BERDAX  nomidagi  QORAQALPOQ DAVLAT UNIVERSITETI  

 

 

 

«Iqtisodiet, biznes va axborot tizimlari» kafedrasi 

 

 

 

  

 

 

 

Barcha iqtisodiyet yunalishlari uchun 

 

«

 

Ehtimollar nazariyasi va matematikalik statistika» 

 

 

fani buyicha ma`ruza matni. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N U K U S - 2007 

 

 

 

2

O t a r o v A. A. – «Ehtimollar nazariyasi va matematikalik statistika» fani buyicha ma`ruza 

matnlari – Nukus, 2006y. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

K I R I Sh 

Kundalik hayotda turli hodisalarga duch kelamiz. Ularga masalan, quyoshning 

chiqish va botish hodisasi, havo o`zgarib, yomg`ir yoki qor yog`ish hodisasi misol bo`ladi. 

Albatta, hodisalar mu`lum shart-sharaitlar (shartlar majmui), bajarilish yoki biror 

tajriba (sinash) o`tkazish natijasida ro`y beradi. Masalan, bir dona to`liq mag`izli chigitni etarli 

haroratga, namlikka ega bo`lgan tuproqqa etarli chuqurlikka (shartlar majmuasi) ekkanda unib 

chiqish yoki chiqmaslik hodisalaridan biri ro`y berishi mumkin. 

Tajriba natijasida biror shartlar majmui bajarilganda albatta ro`y beradigan hodisa 

muqarrar hodisa deyiladi. 

Tajriba natijasida shartlar majmui bajarilganda mutlaqo ro`y bermaydigan hodisa 

mumkin bo`lmagan (muqarrar bo`lmagan) hodisa deyiladi. Ammo amaliyotda natijasini to`la 

ishonch bilan bashorat qilish mumkin bo`lmagan tajribalar (sinovlar) bilan ish ko`rishga to`g`ri 

keladi. Masalan, tangani tashlashdan iborat tajribada u yoki bu tomonini tushishini to`la 

ishonch bilan oldindan aytish mumkin emas yoki ekilgan chigit urug`ini unib chiqish yoki 

chiqmasliginn aytish qiyindir. Bunga o`xshash barcha hollarda tajribaning natijasini tasodifga 

bog`liq deb hisoblaymiz va uni tasodifiy hodisa sifatida qaraymiz. 

Shunday qilib tasodifiy hodisaga, quyidagicha ta`rif berish mumkin.  

Tajriba natijasida (biror shartlar majmui bajarilganda) ro`y berishi ham, ro`y bermasligi ham 

mumkin bo`lgan hodisa tasodifiy hodisa deb ataladi. Masalan, tanga tashlash tajribasida yo 

gerbli tomon tushishi, yoki raqamli tomon tushishi hodisasi tasodifiy hodisa bo`ladi. Tasodifiy 

hodisalar latin alfavitiniig bosh harflarn A, V, S, D . . .   bilan  belgilanadi. 

Muqarrar hodisani U  harfi bilan, mumkin bo`lmagan hodisani esa V  harfi bilan 

belgilaymiz. Biror tajriba o`tkazilayotgan bo`lsin. Bu tajribaning har bir natijasini ifodalovchi 

hodisa  elementar hodisa deb ataladi va 

ω

 (omega) bilan belgilanadi. Elementar hodisalar 

to`plami 

Ω

 bilan belgilanadi, ya`ni 

Ω

 = {

ω

}. Elementar hodisalarga ajratish  mumkin   

bo`lgan   hodisa   murakkab hodisa deb ataladi. 

Ko`pincha amaliyotda bir xil shartlar majmui bajarilganda ko`p marta kuzatilishi 

mumkin bo`lgan hodisalar, ya`ni ommaviy bir jinsli hodisalar bilan ish ko`rishga to`g`ri keladi. 

Ehtimollar nazariyasi etarlicha, ko`p sondagi bir jinsli tasodifiy hodisalar bo`ysunadigan 

qonuniyatlarni aniqlash bilan shug`ullanadi. 

Demak, ehtimollar nazariyasi predmeti ommaviy bir jinsli  tasodifiy hodisalarning 

ehtimoliy konuniyatlarini o`rganuvchi fandir. 

 

Misollar. 1. Tangani bir marta tashlashdan iborat tajribani qaraylik. Bu tajriba 

natijasi ikkita elementar hodisadan: 

1

ω

 —tanganing gerbli tomoni tushishi hodisasi (G) va 

2

ω

 

- tanganing raqamli tomoni tushishi hodisasidan (R) iborat bo`ladi. Demak, bu holda elementar 

hodisalar to`plami 

Ω

 = {

2

1

ω

ω

}={G, R} 

bo`ladi. 

 

2. Tangani ikki marta tashlashdan iborat tajribani qaraylik.  Bu tajriba natijalari 

quyidagicha bo`ladi: 

GG  — ikki marta ham tanganing gerbli tomoni tushishi hodisasi; 

GR  — birinchi marta gerbli, ikkinchi marta  raqamli tomoni tushish hodisasi; 

RG — birinchi marta raqamli, ikkinchi marta esa gerbli tomoni tushishi hodisasi; 

RR — ikki marta ham tanganing raqamli tomoni tushishi hodisasi. 

Bu holda elementar hodisalar GG, GR, RG, RR bo`lib, ularning to`plami  

Ω

={ GG, GR, RG, RR} bo`ladi. 

 

1- §. Tasodifiy hodisalar ustida amallar 

Biror tajriba o`tkazilgan  bo`lib, uning natijasida A  va  V  hodisalar ro`y bergan bo`lsin. 

Ko`pgina hollarda ehtimolni  hisoblash  jarayonida o`rganilayotgan hodisalar orasidagn 

bog`lanishni aniqlash lozim bo`ladi. Shu maqsadda quyida hodisalar tengligi, yig`indisi va 

ko`paytmasi tushunchalari bilan  tanishamiz. 

23.1-ta`rif.  Agar tajriba natijasida A  hodisa ro`y berganda hamma vaqt V  hodisa 

ham ro`y bersa, A hodisa V ni ergashtiradi deb ataladi va 

В

А

⊂  kabi yoziladi. 

Masalan, tajriba 3 dona yangi nav urug`ni ekishdan iborat bo`lsin. Bu tajriba natijasidan 

quyidagi hodisalarni tuzamiz: 

 A

o 

— birorta ham urug` unib chiqmaganligi  hodisasi, 

 A

1

 — 1 dona urug`ning unib chiqish hodisasi, 

 A

2 

— ikki dona urug`ning unib chiqish hodisasi, 

A — unib chiqqan urug`lar soni ikkitadan ortiq bo`lmaganlik hodisasi. Ravshanki, bu 

xolda 

А

А

А

А

А

А

⊂

⊂

⊂

2

1

1

0

,

,

 

bo`ladi. 

 

4

23.2-ta`rif. Agar 

A  hodisa  V  hodisani ergashtirsa va o`z navbatida V  hodisa  A 

hodisani ergashtirsa, u holda 

A va V teng kuchli hodisalar deyiladi va A=V kabi yoziladi. 

23.3-ta`rif. Tajriba natijasida  yo 

A  hodisa, yoki V  hodisa, yoki ham A,  ham  V 

hodisalar ro`y berishidan iborat hodisa 

A va V  hodisalarning  yig`indisi  deb ataladi va  A  +  V  

kabi  belgilanadi. 

23.4-ta`rif. Tajriba natijasida ham 

A  hodisa, ham V  hodisaning (bir vaqtda) 

birgalikda ro`y berishidan iborat hodisa 

A va V  hodisalar  ko`paytmasi  deb ataladi va AV 

kabi  belgilanadi. 

23.5-ta`rif. Agar 

A va V hodisalar bir paytda ro`y berishi mumkin bo`lmagan hodisalar, 

ya`ni 

A

⋅

V =V  bo`lsa, u holda A va V birgalikda bo`lmagan hodisalar deyiladi. Aks holda 

birgalikda hodisalar deyiladi. 

Masalan, tangani tashlash natijasida bir vaqtda gerbli va raqamli tomonlar tushish 

hodisalari birgalikda bo`lmagan hodisalar bo`ladi. 

23.6-ta`rif. Agar 

A va V  hodisalar yig`indisi muqarrar hodisa, ko`paytmasi esa 

mumkin bo`lmagan hodisa, ya`ni 

A + V =U,    A

⋅

V =V 

bo`lsa, u holda 

A va V hodisalar o`zaro qarama-qarshi hodisalar deyiladi. 

Odatda 

A hodisaga karama-qarshi hodisaga  А  kabi belgilanadi. 

Demak, 

A + А =U,   A

⋅

А =V. 

23.7-ta`rif. Tajriba natijasida 

A hodisaning ro`y berishdan, V  hodisaning esa ro`y 

bermasligidan iborat hodisa 

A va V hodisalar ayirmasi deb ataladi va A - V  kabi belgilanadi. 

23.1-eslatma. 

A

1

, A

2

, …, A

p

  hodisalarning yig`indisi va ko`paytmasi yuqoridagidek 

ta`riflanadi. 

A

1

, 

A

2

, …, A

p

 hodisalarni qaraylik. Agar bu hodisalar yig`indisi muqarrar hodisa bo`lsa, 

ya`ni 

A

1 

+ 

A

2 

+ … + A

p 

= U 

bo`lsa, u holda 

A

1

, 

A

2

, …, A

p

 hodisalar hodisalarning to`la gruppasini tashkil etadi deyiladi. 

Agar 

A

1

, 

A

2

, …, A

p

 hodisalar uchun 

1

0

.  

A

1 

+ 

A

2 

+ … + A

p 

= U; 

2

0

.  

A

i 

A

j 

=V,   i

≠

j   (i, j=1, 2, …, n) 

bulsa, ya`ni istalgan ikkita 

A

i  

va

   

A

j

 ( i

≠

j)  (i, j= n

,

1 ) hodisalar bir vaqtda ro`y berishi mumkin 

bo`lmasa, u holda A

1

,  A

2

, …,  A

p

 hodisalar juft-jufti bilan birgalikda bo`lmagan hodisalarning 

to`la gruppasini tashkil etadi deyiladi. 

Agarda bir necha A

1

, A

2

, …, A

p

 hodisalardan istalgan birini sinash natijasida ro`y berishi 

boshqalariga qaraganda kattaroq imkoniyatga (qulaylikka) ega deyishga asos bo`lmasa, bunday 

hodisalar teng imkoniyatli hodisalar deyiladi. 

 

2-§. Hodisa ehtimolining

 ta`riflari 

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasi bo`lgan tasodifiy hodisaning ehtimoli 

tushunchasini keltiramiz. Hodisaning ehtimoli ma`nosini anglash uchun bitta sodda misol keltiramiz. 

Bitta yashikda 10 dona bir xil shar bo`lib, ularning ikkitasi qizil rangli, 8 tasi esa ko`k rangli 

bo`lsin. Yashikdagi bu sharlarni yaxshilab aralashtirib, so`ng bu yashikdan qaramasdan tavakkaliga shar 

olish tajribasini o`tkazaylik. Ravshanki, yashikdan olingan sharning ko`k rangli bo`lish imkoniyati qizil 

rangli bo`lishi imkoniyatiga qaraganda ko`proq bo`ladi.

 

Odatda imkoniyatlarni sonlar bilan xarakterlab, ular solishtiriladi. Natijada ko`p imkoniyatli, kam 

imkoniyatli umuman, ma`lum miqdordagi imkoniyatli kabi hodisalarning sonli o`lchovlari to`g`risida 

gapirish mumkin bo`ladi.

 

Bu hodisaning ehtimoli tushunchasiga olib keladi.  

1.  Hodisa  ehtimolining klassik ta`rifi. Biror tajriba natijasida chekli sondagi e

1

, e

2

, 

…, e

n

  elementar hodisalardan birortasi ro`y berishi mumkin bo`lsin.

 

 

5

Bu  e

1

, e

2

, …, e

n

  elementar hodisalar quyidagi shartlarni qanoatlantirsin: 

1)  hodisalar juft-jufti bilan birgalikda emas, ya`ni istalgan ikkita  e

i

  va  e

j

 

(i

≠

j)  hodisa 

birgalikda ro`y bermaydi; 

2)   e

1

, e

2

, …, e

n

  hodisalardan birortasi albatta ro`y beradi; 

3)   e

1

, e

2

, …, e

n 

 hodisalar teng imkoniyatli. 

Biror  A  hodisa  e

1

, e

2

, …, e

n

    elementar  hodisalar ichidan  

m

k

k

k

е

е

е

...,

,

,

2

1

lar ro`y berganda 

ro`y bersin. Bu holda 

m

k

k

k

е

е

е

...,

,

,

2

1

 elementar hodisalar (ya`ni A  hodisasining ro`y berishiga olib 

keladigan hodisalar)  A  hodisaga  qulaylik tug`diradigan hodisalar deyiladi.

 

Masalan, tangani ikki marta tashlash tajribasini qaraylik. Bu tajriba natijasida GG, GR, RG, 

RR  elementar  hodisalar ro`y beradi.

 

A  hodisa tangani ikki marta tashlaganda ikkala holda ham gerbli tomoni tushishi hodisasi 

(GG hodisasi) bo`lsin. Bu holda A hodisaga qulaylik tug`diradigan  elementar hodisa faqat bitta bo`ladi 

(GG hodisa).

 

Faraz qilaylnk, p ta  e

1

, e

2

, …, e

n 

 elementar hodisalardan t tasi A hodisaning ro`y berishiga qulaylik 

tug`dirsin.

 

23.8-ta`rif. Ushbu 

n

m

 son A hodisaning ehtimoli deb ataladi va uni R(A) kabi yoziladi: 

R(A)=

n

m

.

 

Demak, A hodisaning ehtimoli A hodisaning ro`y berishiga qulaylik tug`diruvchi hodisalar sonining 

teng imkoniyatli barcha elementar hodisalar soniga nisbatiga teng.

 

Misollar. 1. Yashikda yaxshilab aralashtirilgan 25 ta bir xil shar bo`lib, ulardan 5 tasi ko`k, 

11 tasi qizil va  9 tasi oq shar bo`lsin. Yashikdan tavakkaliga bitta shar olinganda uning ko`k shar 

bo`lishi, qizil shar bo`lishi va oq shar bo`lishi ehtimollari topilsin.

 

Ravshanki, jami elementar hodisalar soni p  = 25 (5+11+9=25)  bo`ladi. Aytaylik,  A,V  va  S  mos 

ravishda ko`k, qizil va oq shar chiqishidan iborat hodisalarni ifodalasin. m

1

, m

2 

va t

3

 esa mos ravishda bu 

hodisalarga qulaylik tug`diruvchi elementar hodisalar soni  bo`lsin. U holda masala shartiga ko`ra 

m

1

=5, m

2 

= 11, t

3

 =9  bo`ladi.

 

Ehtimolning klassik ta`rifiga ko`ra 

( )

( )

( )

36

,

0

25

9

,

44

,

0

25

11

,

2

,

0

25

5

=

=

=

=

=

=

С

Р

В

Р

А

Р

 

bo`ladi. Demak, tavakkaliga olingan sharning ko`k shar bo`lish ehtimoli  0,2 ga, qizil shar bo`lish 

ehtimoli esa 0,44 ga va oq shar bo`lish ehtimoli 0,36 ga teng. 

2. O`tkazilayotgan tajriba, simmetrik, bir jinsli tangani uch marta tashlashdan iborat bo`lsin. 

Tajriba natijasida 2 marta gerbli tomoni tushish hodisasining ehtimoli topilsin.

 

Tangani uch marta tashlashda ro`y berishi mumkin bo`lgan barcha elementar hodisalar 

to`plamini tuzamiz: 

Ω  = { e

1

 = (GGG), e

2

 = (GGR), e

3

 = (GRR), e

4

 = (RRR),  

e

5

 = (RGR), e

6

 = (RRG), e

7

 = (GRG), e

8

 = (RGG)}

 

bo`lib, bu to`plam elementlarining soni p = 8.

 

Aytaylik, A hodisa tangani uch marta tashlaganda 2 marta gerbli tomoni tushishi hodisasi bo`lsin.

 

Elementar hodisalar to`plami 

Ω dan ko`ramizki, barcha elementar imkoniyatlar soni p = 2

3

 = 8, 

ulardan A hodisaga qulaylik tug`diruvchi elementar hodisalar soni t = 3 bo`ladi.

 

Hodisa ehtimolining ta`rifiga ko`ra qaralayotgan A hodisaning ehtimoli 

( )

375

,

0

8

3 =

=

А

Р

 

bo`ladi.

 

Hodisa ehtimolining ta`rifidan bevosita quyidagi xossalar kelib chiqadi.

 

1°. Har qanday A hodisaning ehtimoli

 

 

6

R(A)

≥

 0  

va  R(A)

≤ 1, 

ya`ni 

0 

≤ R(A)

≤

 

1 bo`ladi. 

2°. Muqarrar hodisaning ehtimoli 1 ga  teng  bo`ladi, ya`ni  R(

Ω)= 1. 

3°. Mumkin bo`lmagan hodisaning ehtimoli nolga teng bo`ladi: 

R(V)=

0. 

2.  Hodisa ehtimolining geometrik va statistik ta`riflari. Biz yuqorida o`rgangan 

ehtimolning klassik ta`rifidan unda bayon etilgan barcha elementar imkoniyatlar soni chekli 

bo`lgan holdagina foydalanish mumkin, aks holda bu ta`rifdan foydalaiib bo`lmaydi.

 

Bunday holda hodisa ehtimoliga boshqacha ta`rif berishga to`g`ri keladi. Quyida hodisa 

ehtimolining geometrik va statistik ta`riflarini keltiramiz. 

H o d i s a   e h t i m o l i n i n g   g e o m e t r i k   t a ` r i f i .  F a r a z  qilaylik, tekislikda biror 

Q  

soha beralgan bo`lib, bu 

Q  soha boshqa bir 

G

 sohani o`z ichiga olsin: 

Q

G

⊂ .  Q  sohaga 

tavakkal qilib nuqta tashlanadi. Bu nuqtaning 

G

 sohaga tushishi ehtimolini ta`riflaymiz. Bu erda 

barcha elementar hodisalar to`plami 

Q  sohadan iborat bo`ladi. Ravshanki,  Q  -  cheksiz to`plam. 

Binobarin, bu holda ehtimolning klassik ta`rifidan foydalanib bo`lmaydn. 

Q  sohaga tashlangan 

nuqta shu soxaning istalgan qismiga tushishi mumkin va nuqtaning 

Q  sohaning biror 

G

 qismiga 

tushish ehtimoli 

G

 ning o`lchoviga proportsional bo`lib, u 

G

 ning shakliga ham, 

G

 ning 

Q  

sohaning qaeriga joylashishiga ham bog`liq bo`lmasin. Shu shartlarda ushbu 

mesQ

mesG

Р

=

 

miqdor qaralayotgan hodisaning geometrik ehtimoli deb ataladi. Bunda 

Q

mes

−  va 

G

 sohalarning 

o`lchovini bildiradi.

 

Misol.  L  uzunlikka ega bo`lgan kesmaga tavakkal qilib nuqta tashlangan bo`lsin. 

Tashlangan nuqtaning kesma o`rtasidan uzog`i bilan l  masofada  (2lyotishi hodisasining 

ehtimoli topilsin.

 

echish. Umumiylikka ziyon keltirmasdan kesmaning o`rtasini sanoq boshi deb qaraylik 

(141-chizma).

 

Masalaning shartini qanoatlantiradigan nuqtalar to`plami [-l; l] segmentidan iborat 

bo`ladi. Bu segmentning uzunligi 2l ga teng. Yuqoridagi ta`rifga ko`ra qaralayotgan hodisaning 

ehtimoli

 

L

l

Р

2

=

 

ga teng bo`ladi.