O`zbekiston respublikasi o`rta va oliy ta’lim vazirligi qarshi davlat ubiversiteti matematika kafedrasi

1 

 

O`ZBEKISTON  RESPUBLIKASI  O`RTA VA OLIY TA’LIM VAZIRLIGI 

 

QARSHI DAVLAT UBIVERSITETI 

 

MATEMATIKA KAFEDRASI 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR 

fanidan o`quv metodik majmua 

 

 

 

 

 

 

0

0

,

dx

f t x

dt

x t

x















  

 

 

 

 

Bilim sohasi:  

Ta’lim sohasi:  

Ta’lim yо‘nalishi: 

100000 - Gumanitar soha 

130000 - Matematika 

5130100 – Matematika 

 

 

 

 

                        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                            

 

Qarshi-2017 

 

2 

 

 

O`quv  metodik  majmua  o`rta  va  oliy  ta’lim  vazirligi  tomonidan  _____  buyruq  bulan  

_______________   tasdiqlangan fan dasturi asosida ishlab chiqilgan. 

 

O`quv metodik majmuani ishlab chiquvchilar 

QarshiDU matematika kafedrasi dotsenti, 

 f.-m. f. n., dotsent                                                       ________     N. Dilmuradov 

QarshiDU matematika kafedrasi o’qituvchisi         ________     A. Muqumov 

     

Taqrizchilar 

QarshiDU matematika kafedrasi dotsenti, 

 f.-m. f. n., dotsent                                                        ________    E. Aliqulov 

QarshiDU matematika kafedrasi dotsenti, 

 f.-m. f. n., dotsent                                                        ________     M. Abulov 

 

 

O`quv metodik majmua Qarshi Davlat Universiteti ilmiy kengashi bayoni    

______________________ bilan ko’rib chiqilgan va tavsiya etilgan 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 

 

MUNDARIJA 

 

 

 

ASOSIY BELGILASHLAR RO`YXATI 

6 

MA’RUZALAR  RESURSI 

 

I MODUL. BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR  

 

I.1. Differensial tenglama va uning yechimi tushunchalari 

8 

I.2. Koshi  masalasi 

16 

I.3. Geometrik talqin 

18 

I.4. Differensiallarda yozilgan tenglamalar 

20 

I.5. O’zgaruvchilari ajraladigan tenglamalar 

22 

I.6. O’zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli differensial tenglama 

27 

I.7. Chiziqli tenglama. Bernulli va Rikkati tenglamalari 

29 

I.8. To’la differensialli tenglama va integrallovchi  ko’paytuvchi  

35 

I.9. Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi  

40 

I.10. Davomsiz yechimlar 

48 

I.11. Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglama uchun yechimning mavjudlik va 

yagonalik  teoremasi 

50 

I.12. Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamani yechish usullari 

54 

I.13. Maxsus yechimlar 

58 

I.14. Lagranj  va Klero tenglamalari 

61 

I.15. Maxsus yechimni yechimlar o’ramasi sifatida topish 

63 

 

II MODUL. YUQORI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR 

 

II.1. Umumiy ko’rinishdagi 



n

tartibli differensial tenglama va uning yechimi 

65 

II.2. Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi 

68 

II.3. Yuqori tartibli tenglamaning  tartibini pasaytirish va uni yechish usullari 

70 

II.4. 



n

tartibli chiziqli differensial tenglamaning umumiy xossalari 

76 

II.5. Chiziqli erkli va chiziqli bog’langan funksiyalar 

78 

II.6. Chiziqli bir jinsli tenglama umumiy yechimining tuzilishi 

82 

II.7. Bazis yechimlariga ko’ra chiziqli bir jinsli differensial tenglamani tiklash. 

Ostrogradskiy-Liuvill formulasi 

85 

II.8. 

n

-tartibli chiziqli bir jinsli bo`lmagan tenglamani yechish 

89 

II.9. Tenglamani  komplekslashtirish 

97 

II.10. 

n

- tartibli chiziqli o’zgarmas koeffitsientli bir jinsli differensial tenglamalar 

103 

II.11. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli o’zgarmas koeffitsientli tenglama 

108 

II.12. Tenglamalarni  darajali qatorlar yordamida yechish 

115 

II.13

*

. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglama yechimlarining nollari 

128 

II.14. Chegaraviy masalalar 

134 

 

 III MODUL. NOCHIZIQLI NORMAL SISTEMALAR 

 

III.1. Yordamchi ma’lumotlar. 

n

fazoda analiz elementlari 

144 

III.2. Differensial tenglamalar sistemasini normal ko‘rinishga keltirish 

158 

III.3. Mavjudlik va yagonalik teoremalari 

163 

4 

 

III.4. Davomsiz yechim 

171 

III.5. Muhim integral tengsizliklar 

175 

III.6. Yechimning boshlang‘ich ma’lumot va parametrlarga uzluksiz bog‘liqligi 

178 

 

  IV MODUL. CHIZIQLI NORMAL SISTEMALAR 

 

IV.1. Chiziqli differensial tenglamalar normal sistemasining umumiy xossalari 

184 

IV.2. Chiziqli erkli va chiziqli bog‘langan vektor-funksiyalar. Vronskian 

186 

IV.3. Fundamental matritsa.  Chiziqli bir jinsli normal sistema umumiy 

yechimining tuzilishi 

189 

IV.4. Fundamental matritsa xossalari 

191 

IV.5. Bir jinsli bo‘lmagan normal sistemani yechish 

196 

IV.6. Sistemani komplekslashtirish 

198 

IV.7. O‘zgarmas koeffitsientli bir jinsli sistemani eksponensial matritsa 

yordamida yechish 

200 

IV.8. 

tA

e

 ni matritsaning Jordan kanonik ko‘rinishidan foydalanib hisoblashh  

204 

IV.9. 

A

=



x

x

 sistema umumiy yechimining tuzilishi 

209 

IV.10

*

. 

tA

e

 ni hisoblashning yana bir usuli 

216 

IV.11. Chiziqli o‘zgarmas koeffitsientli bir jinsli bo‘lmagan sistemalar 

220 

 

 V MODUL. AVTONOM SISTEMALAR 

 

V.1. Avtonom sistema yechimlarining umumiy xossalari 

226 

V.2. Tekislikda chiziqli avtonom sistemalar fazaviy portreti 

236 

V.3. Tekislikda nochiziqli avtonom sistemalar fazaviy portreti 

244 

V.4

*

. Tekislikda avtonom sistemalarning sikllari (davralari) 

247 

 

VI MODUL.  LYAPUNOV BO‘YICHA TURG‘UNLIK 

 

VI.1. Turg‘unlik tushunchasi 

256 

VI.2. Chiziqli sistemalarning turg‘unligi 

260 

VI.3. Lyapunov funksiyalari yordamida turg‘unlikka tekshirish 

266 

VI.4. Birinchi yaqinlashishga ko‘ra turg‘unlik 

274 

VI.5

*

. Lorens sistemasining muvozanat holatlarini turg‘unlikka tekshirish 

279 

VII MODUL. YECHIMNING PARAMETRGA SILLIQ BOG‘LIQLIGI VA 

 

UNING TATBIQLARI 

 

VII.1. Yechimning boshlang‘ich ma’lumotlar va parametr bo‘yicha 

differensiallanuvchiligi 

282 

VII.2. Kichik parametr metodi 

292 

VII.3. Birinchi  integrallar 

295 

VII.4. Birinchi tartibli xususiy hosilali differensial  tenglamalar 

304 

AMALIY MASHG`ULOTLAR RESURSI 

 

1. Differensial tenglama va uning yechimi 

318 

2. O`zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar 

324 

3. O`zgaruvchilariga nisbatan bir jinsli differensial tenglamalar 

333 

4. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar 

344 

5. To`liq differensialli va unga keltiriluvchi tenglamalar 

355 

5 

 

6. Birinchi tartibli normal ko`rinishdagi differensial tenglama  uchun Koshi 

masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi 

369 

7. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial  

tenglamalar.Maxsus yechimlar 

378 

8. Yuqori tartibli differensial tenglamalar. Ularning tartibini  pasaytirish va 

yechish 

392 

9. O`zgaruvchan koeffitsientli chiziqli differensial tenglamalar 

412 

10. n - tartibli chiziqli o`zgarmas koeffitsientli differensial tenglamalar 

421 

11. Chegaraviy masalalar 

427 

12. Differensial tenglamalarning normal sistemasi 

433 

13. Normal ko`rinishdagi chiziqli differensial tenglamalar sistemasi 

446 

14. Chiziqli o`zgarmas koeffitsientli normal differensial tenglamalar sistemasi 

456 

15. Tekislikda avtonom sistemalar 

475 

16. Differensial tenglamalar yechimlarining turg`unligi 

489 

17. Differensial tenglamalar yechimlarini qatorlar yordamida qurish 

502 

18. Kichik parametr metodi 

521 

19. Birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar 

531 

MUSTAQIL TA’LIM MASHG’ULOTLARI 

 

Mustaqil ish №1 topshiriqlari 

542 

Mustaqil ish №2 topshiriqlari 

545 

Mustaqil ish №3 topshiriqlari 

547 

Mustaqil ish №4 topshiriqlari 

549 

Mustaqil ish №5 topshiriqlari 

551 

Mustaqil ish №6 topshiriqlari 

555 

Mustaqil ish №7 topshiriqlari 

557 

Mustaqil ish №8 topshiriqlari 

559 

Mustaqil ish №9 topshiriqlari 

563 

Mustaqil ish №10 topshiriqlari 

566 

Mustaqil ish №11 topshiriqlari 

568 

Mustaqil ish №12 topshiriqlari 

570 

Mustaqil ish №13 topshiriqlari 

572 

Mustaqil ish №14 topshiriqlari 

575 

Mustaqil ish №15 topshiriqlari 

577 

Mustaqil ish №16 topshiriqlari 

579 

Mustaqil ish №17 topshiriqlari 

582 

Mustaqil ish №18 topshiriqlari 

584 

Mustaqil ish №19 topshiriqlari 

586 

GLOSSARIY  

588 

ILOVALAR  

596 

Namunaviy o`quv dasruri 

623 

Ishchi o`quv dasturi 

630 

6 

 

ASOSIY BELGILASHLAR RO`YXATI   

 



 



  har qanday, ixtiyoriy, har bir (umumiylik kvantori). 



 



  mavjud, kamida bitta mavjud (mavjudlik kvantori). 



 



 kelib chiqadi (implikatsiya belgisi). 



 



 teng kuchli (ekvivalent). 

def





 ta’rifga ko`ra ekvivalent (teng kuchli). 

def





 ta’rifga ko`ra teng. 

{x



E |P(x)} 



 E to`plamning P(x)   xossaga ega bo`lgan barcha x elementlari to`plami. 

 



 natural sonlar to`plami; 

n

- natural son, 

n



. 

 



 haqiqiy sonlar to`plami. 



 kompleks sonlar to`plami. 

n

 



  n o`lchamli haqiqiy Evklid fazosi. 

1

2

, , ,

c c c



  ixtiyoriy o`zgarmaslar (doimiylar). 

const 



  o`zgzrmas (doimiy). 

( , )

|

{

} (

)

def

a b

x

a

x

b

a b

 

 



 



 interval. 

[ , ]

|

{

} (

)

def

a b

x

a

x

b

a b

 

 



 



 segment. 

( , ]

|

{

} (

)

def

a b

x

a

x

b

a b

 

 



 



 yarim segment. 

[ , )

|

{

} (

)

def

a b

x

a

x

b

a b

 

 





 yarim segment. 

[0,

)

def



 

. 

I

 



 sonli oraliq (ichi bo`sh bo`lmagan bog`lanishli (tutash) sonli to`plam). 

D 



 soha (

n

dagi) , ya’ni ochiq va bog`lanishli to`plam. 

minE 



 E sonli to`plamning minimumi (eng kichik elementi). 

supE 



  E  sonli  to`plamning  supremumi  (  yuqori  crgaralarning  eng  kichigi,  aniq  yuqori 

chegara). 

infE 



 E  sonli to`plamning infimumi (quyi crgaralarning eng kattasi, aniq quyi chegara). 

 



 norma (yoki matritsa) belgisi. 



E 



 E to`plamning chegarasi. 

E

C

 



 E to`plamning (qaralayotgan fazogacha) to`ldiruvchisi. 

B



(a) 



  



radiusli a markazli (ochiq) shar. 

B



= B



(o) 

X



Y 



  to`plamlarning to`g`ri (Dekart) ko`paytmasi. 

, 

, \  



 mos ravishda  to`plamlar birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi. 

7 

 

f : X



Y 



  X  to`plamda  aniqlangan,  qiymatlari  Y    to`plamda  joylashgan 

f

  funksiya 

(akslantirish). 

D(f) 



 

f

 funksiyaning aniqlanish to`plami (sohasi). 

f|

E

  



  f funksiyaning E to`plamga torayishi. 

f|

a

=f(a)  

g○f 



 f va g funksiyalar kompozitsiyasi (ketma-ket bajarilishi). 

f(x)=o(g(x)),  x



a , 



    asimptotik  tenglik  (kichik  o);u  f(x)=



(x)



g(x),

lim

( )

0

x

a

x







, 

ekanligini anglatadi. 

( , )

C X Y

 



 barcha uzluksiz  f : X 



 Y  funksiyalar sinfi (oilasi, to`plami); 

( )

( , )

C X

C X



 

( , )

k

C X Y

) 



  k-  tartibli  barcha  hosilalari  (demak,  undan  past  tartiblilari  ham)  uzluksiz 

bo`lgan  f : X



Y funksiyalar sinfi. 

( )

( , )

k

k

C

X

C

X



 

dist(X,Y) 



  to`plamlar orasidagi masofa (distance – masofa). 

dimX 



 X  fazoning o`lchami (dimension – o`lcham). 

degP  



 P ko`phadning darajasi (degree – daraja). 

( )

n n



M





( )

n n



M

 



  haqiqiy (kompleks) sonlardan tuzilgan 

n n



 o`lchamli matritsalar 

to`plami. 

, , , , , , , , ,...

x y c h f m n p q

 (qalin harflar) 



 vektorlar. 

MYaT  



 mavjudlik va jagonalik teoremasi.  

ODT (=DT)  



 (oddiy) differensial tenglama. 



 



   masala (misol) yechilishining, isbotning boshlanishi belgisi. 



 



  masala (misol) yechilishining, isbotning tugallanganligi belgisi. 

 

 

8 

 

MA’RUZALAR  RESURSI 

I MODUL. BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR 

 

I.1. DIFFERENSIAL TENGLAMA VA UNING YECHIMI TUSHUNCHALARI 

 

 

Differensial tenglama 

Differensial tenglama yechimi 

Misollar, integral chiziq 

Umumiy yechim 

Differensial tenglamaga olib keluvchi masalalar 

 

Differensial tenglama, oraliq, Differensial tenglama yechimi, umumiy yechim. 

 

1. 

( )

( , , ,

,

,

)

0

n

F x y y y

y

 



 ko`rinishdagi tenglama. Ushbu  





n



 

( )

, ( ), ( ),

( ),

,

( )

0

(

)

n

F x y x y x y x

y

x







 

yoki qisqaroq 

 

( )

( , , ,

,

,

)

0

n

F x y y y

y

 



                                       (I.1.1) 

tenglama 

( )

y

y x



noma’lum funksiyaga nisbatan 

n

-  tartibli  oddiy  differensial  tenglama 

deb ataladi; bu yerda 

1

2

( , ,

,

,

,

)

0

n

F x y p p

p



 – biror 

2 n

G





sohada aniqlangan 

2

n



 

ta haqiqiy o’zgaruvchining  uzluksiz  haqiqiy funksiyasi, ya’ni  

:

,

( , )

F G

F

C G





(yoki qasqaroq:

( )

F

C G



), bu funksiya  

n

p

 o’zgaruvchiga tub ma’noda bog’liq, ya’ni u 

n

p

 

argumentning  funksiyasi  sifatida  (boshqa  argumentlar    tayinlanganda)  o’zgarmasga 

aylanmaydi deb faraz qilinsdi (bu – tenglamaning 

n

- tartibli ekanligini ta’minlaydi).  

Qaralayotgan tenglamaning yechimi biror oraliqda 

n

- tartibli hosilasi uzluksiz, ya’ni 

n

 marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyalar sinfida izlanadi. 

 

I bilan haqiqiy sonlar o’qidagi biror oraliqni (ya’ni bog’lanishli va kamida bitta ichki 

nuqtaga ega bo’lgan sonli to’plamni) belgilaylik. Analizdan ma’lumki, oraliq ushbu  

(

,

)

 

, 

(

, )

b



, 

(

, ]

b



,  

[ , )

a b

,  

( , ]

a b

,  

( , )

a b

,  

[ , ]

a b

,  

( ,

)

a



, 

[ ,

)

a



 

sonli to’plamlarning biridir; bunda 

a

b



.  

 

Agar I  oraliqda aniqlangan 

( )

y

x





 haqiqiy funksiya  uchun 

1

0

. 

( )

( )

n

x

C I





, ya’ni 

( )

( )

n

x



hosila I  oraliqda  uzluksiz 





( )

( )

( )

n

C I

x





, 

2

0

. 

( )

, ( ), ( ),

( ),

,

( )

0

(

)

n

x

I F x

x

x

x

x













 



, ya’ni 

( )

y

x





 funksiya  

I  oraliqda (I.1.1)  tenglamani ayniyatga aylantiradi (qanoatlantiradi)  

shartlar bajarilsa, 

( )

y

x





 funksiya  (I.1.1) tenglamaning 

I

 oraliqda (aniqlangan)  yechimi 

deyiladi.