Potensial listrik


Download 167.01 Kb.
Pdf ko'rish
Sana17.08.2017
Hajmi167.01 Kb.

x

 

y

 

z

 

q

 

 

POTENSIAL LISTRIK 



 

Mengingat integral garis dari medan listrik tidak bergantung pada bentuk lintasan, 

maka didefinisikan suatu besaran baru, yaitu 

≡ −


 



Keterangan: 

    


= potensial listrik pada suatu titik dengan vektor posisi 

ℴ       


= jarak titik acuan   

= | |  


= jarak titik yang ditinjau potensialnya terhadap sumbu koordinat 

 

Selanjutnya dalam menghitung potensial di suatu titik, titik acuan yang digunakan 



adalah titik yang jaraknya jauh tak hingga. Pada titik tersebut, potensialnya sama 

dengan  nol.  Melalui  definisi  ini,  potensial  listrik  pada  suatu  titik  dihitung  dari 

medan listrik. 

 

Sebagai  contoh,  kita  tinjau  kembali  medan  listrik  yang  ditimbulkan  oleh  suatu 



muatan titik  , yang berada pada titik asal 

= 0 . 


 

=

1



4

   


 

Potensial listrik pada titik   adalah 

= −

1

4



  ∙  

dengan 


=   +     + !"  sin     & 

maka 


= −

1

4



  ∙ '   +     + !"  sin     &( 

= −


1

4

   



=

1

4



   









θ 



dθ 

dr r dθ 

Terlihat bahwa potensial ditentukan oleh jarak antara muatan terhadap titik 

tinjauan. Oleh karena itu, jika muatan   berada pada titik sembarang dengan 

posisi  , dimana 

≠ 0 maka potensial pada titik   menjadi 

=

1



4

 | − ′| 


| − ′| adalah jarak dari muatan terhadap titik tinjauan 

 

Jika muatan berupa bongkahan berdistribusi kontinue maka, persamaan untuk 



potensial listrik berubah menjadi integral 

=

1



4

  | − ′| 

dengan 

 bergantung dari jenis distribusi muatannya. Untuk muatan yang 



terdistribusi pada garis, maka 

= +  ,, sehingga potensial listriknya menjadi 

=

1

4



 

+  ,


| − ′|

 

Untuk muatan yang terdistribusi pada luasan, maka 



= -  . 

=

1



4

 

-  .



| − ′|

 

Untuk muatan yang terdistribusi pada ruang, maka 



= /  0 

=

1



4

 

/  0



| − ′|

 

 



Contoh 1 

 

Tentukan potensial pada titik P yang berada pada jarak b di atas bidang setengah 



lingkaran berjejari R yang bermuatan listrik dengan distribusi seragam, 

-! 


. =       

| − ′| = 12 +  

3

=

1



4

 

-  .



| − ′|

 

3



=

1

4



  4

-       


√2 +

6 7


8 8

 


3

=

-



4  

   


√2 +

6

8



 

3

=



-

4  9


12 + 9

8

6



 

3

=



-

4  :


12 + ; − 2< 

 

Hal sebaliknya bisa dilakukan, yaitu bila potensial listrik diketahui, maka medan 



listrik juga dapat dihitung. Penurunan persamaannya dijabarkan pada uraian 

berikut ini.  Beda potensial titik b terhadap titik a adalah 

=



>



, yaitu 

=



>

= −


?



− @−

A



=



>

=



A



?



 

=



>

= −



A



?



 

=



>

= −



?

A



 

 

Teorema dasar gradien untuk fungsi skalar   menyatakan bahwa 



C ∙

?

A



=

=



>

 

dengan demikian, diperoleh hubungan 



C ∙

?

A



= −

?



A

 

= −C  



Inilah persamaan yang dicari 

 

Hubungan lain yang bisa diperoleh dari persamaan antara medan listrik dan 



potensial listrik adalah Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace. Hukum Gauss 

bentuk diferensial adalah 

C ∙ =

/

 



dengan mensubstitusikan persamaan 

= −C  maka 

C ∙ −C =

/

 



C = −

/

     ⟹     ini adalah persamaan Poisson 



 

Pada daerah tanpa muatan maka 

/ = 0, Persamaan Poisson berubah menjadi 

C = 0    ⟹     ini adalah persamaan Laplace 

 

Contoh 2 

Hitung potensial listrik di dalam dan di luar kulit bola berjari-jari R, yang 

membawa muatan berdistribusi seragam, 

-! 


 

 

Potensial listrik di luar bola 



Dari hukum Gauss diperoleh bahwa medan listrik di luar kulit bola adalah 

 =

 



4

   


maka potensialnya 

= −


 

4

  ∙  



V

=



4

   


 

 

Potensial listrik di dalam bola 



Medan listrik di dalam bola adalah nol, maka  

potensialnya adalah 

= −

∙  


V

= −


 

4

  ∙  



6

− 0 ∙


6

 

V



= −

 

4



 

6

− 0 



V

=



4

 ; 


R

 

r < R

 

r > R

 

+

 



+

 

+



 

+

 



+

 

+



 

+

 



+

 

+



 

+

 



+

 

+



 

+

 



+

 

+



 

+

 



+

 

+



 

+

 



+

 

+



 

USAHA DAN ENERGI DALAM ELEKTROSTATIKA 

 

Usaha untuk Memindahkan Muatan 

 

Usaha adalah kerja  yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan muatan dari 

satu tempat ke tempat lainnya. 

R = S ∙                                                                                                                       1  

 

Jika kita hendak memindahkan muatan dalam suatu medan listrik maka kerja yang 



dilakukan  adalah  melawan  gaya  yang  ditimbulkan  oleh  medan  listrik  di  tempat 

itu.  Usaha  yang  dilakukan  untuk  memindahkan  muatan  titik  dari  jarak  jauh  tak 

hingga ke posisi 

 adalah 


 

 

 



 

 

 



 

 

R =



−S ∙  

 adalah elemen perpindahan. Untuk koordinat bola, 

=   +      + sin     T U 

sedangkan 

S adalah gaya coulomb yang dialami oleh muatan akibat dari 

pengaruh medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan 



q

, yaitu

 

S =


 V

 

sehingga W  menjadi 



R = −

1

4



8

 V



  +      + sin     T U  



x



 

y

 

z

 

q

 

 

.



 

 

S



 

   Q

 

R

= −


1

4

8



 V

 

R



=

1

4



8

 V

                                                                                                                    2  



 

Usaha  tersebut  berubah  menjadi  energi  potensial  yang  tersimpan  pada  muatan  Q 

yang berada pada jarak terhadap muatan q. Energi potensial itulah yang disebut 

dengan energi elektrostatika.  

 

Energi Potensial untuk Muatan Titik 

 

Hubungan antara energi potensial dengan potensial diperoleh dengan menuliskan 



kembali bahwa potensial di titik   yang ditimbulkan oleh muatan q adalah: 

=

1



4

8

                                                                                                                   3  



Maka energi potensial muatan Q pada titik   dapat dinyatakan dengan 

R =


1

4

8



 V

 

R



= VV                                                                                                                           4  

 

Jika terdapat N muatan titik, 



Y

, ,


[

, … ,


]

, masing-masing dengan posisi 

^



_



`

,  ...  ,



a

  maka  bagaimana  ungkapan  energi  potensialnya?  Energi  potensial  yang 

dimiliki oleh sistem N muatan tersebut sama dengan usaha total  yang diperlukan 

untuk membawa muatan-muatan tersebut satu persatu dari posisi jauh tak hingga 

ke posisi 

^



_

`



, ... , dan 

a



 

 

 



 

 

 



 

 

y



 

z

 

^

 



.

 

.



 

.

 



.

 

x



 

_

 



`

 

b



 

q



q



q



q



Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan 

Y

 ke titik 



^

 adalah 

R

Y



, yaitu 

R

Y



=

Y

 V



^

                                                                                                                     5  

dengan 

V

^



 adalah potensial listrik di titik 

^

. Oleh karena belum ada muatan 



yang lain dalam sistem koordinat, maka 

V

^



= 0 sehingga 

R

Y



= 0                                                                                                                                  6  

 

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan 



 ke titik 

_

 adalah 



R , yaitu 

R =  


_

                                                                                                                    7  

 

dengan 


_

 adalah potensial listrik di titik 

_

. Oleh karena telah ada muatan 



Y

 

dalam sistem koordinat, maka potensial listrik di titik 



_

 yang ditimbulkan oleh 

muatan 

Y

 adalah 



_

1



4

8

Y



|

^



_

|                                                                                                   8

 

sehingga 



R  menjadi 

R =


1

4

8



Y

|

^



_

|                                                                                                          9



 

 

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan 



[

 ke titik 

`

 adalah 


R

[

, yaitu 



R

[

=



[

 

`



                                                                                                                  10  

dengan 


`

 adalah potensial listrik di titik 

`

. Pada sistem koordinat telah ada 



muatan 

Y

 dan 



 sehingga potensial listrik di titik 

`

 ditimbulkan oleh muatan 



Y

 

dan 



, yaitu 

Φ

`



1

4



8

Y

|



^

`



| +

1

4



8

|

_



`

|                                                                 11



 

 

sehingga 



R

[

 menjadi 



R

[

=



1

4

8



Y [

|

^



`

| +



1

4

8



[

|

_



`

|



 

R

[



=

1

4



8

i

Y [



|

^



`

| +


[

|

_



`

|j                                                                             12



 

 

Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan 



k

 ke titik 

b

 adalah 


R

k

, yaitu 



R

k

=



k

 

b



                                                                                                                  13  

dengan 

b

 adalah potensial listrik di titik 



b

. Kini telah ada muatan 

Y



, dan 



[

 sehingga potensial listrik di titik 

b

 ditimbulkan oleh muatan 

Y



, dan 

[



yang besarnya 

b



1

4

8



Y

|

^



b

| +



1

4

8



|

_



b

| +


1

4

8



[

|

`



b

|                                  14



 

sehingga 

R

k

 menjadi 



R

k

=



1

4

8



Y k

|

^



b

| +



1

4

8



k

|

_



b

| +



1

4

8



[ k

|

`



b

|



 

R

k



=

1

4



8

i

Y k



|

^



b

| +


k

|

_



b

| +



[ k

|

`



b

|j                                                        15



 

 

Adapun usaha yang diperlukan untuk memindahkan muatan ke-N adalah 



R

]

=



1

4

8



i

Y ]


|

^



a

| +


]

|

_



a

| +



[ ]

|

`



a

| + ⋯ +



]mY ]

|

am^



a

|j                   16



 

 

Usaha total untuk memindahkan N muatan adalah penjumlahan dari 



R

Y



R , R

[



R

k

,..., 



R

]

 



R

n o


= R

Y

+ R + R



[

+ R


k

… + R


]

 

R



n o

=

1



4

8

Y



|

^



_

| +


 

R

n o



=

1

4



8

i

Y [



|

^



`

| +


[

|

_



`

|j +



 

R

n o



=

1

4



8

i

Y k



|

^



b

| +


k

|

_



b

| +



[ k

|

`



b

|j + ⋯ +



 

R

n o



=

1

4



8

i

Y ]



|

^



a

| +


]

|

_



a

| +



[ ]

|

`



a

| + ⋯ +



]mY ]

|

am^



a

|j                17



 

 

Setelah persamaan (19) disusun ulang, didapatkan 



R

n o


=

1

4



8

Y

p|



^

_



| +

[

|



^

`



| +

k

|



^

b



| + ⋯ +

]

|



^

a



|q +

 

R



n o

=

1



4

8

p



[

|

_



`

| +



k

|

_



b

| + ⋯ +



]

|

_



a

|q +



 

R

n o



=

1

4



8

[

p



k

|

`



b

| + ⋯ +



]

|

`



a

|q +



 

R

n o



=

+ ⋯ 


R

n o


=

1

4



8

]mY


p

]

|



am^

a



|q +

 

R



n o

= r


s

]

stY



ur

1

4



8

v

w



x

y



w

]

vzs



{                                                                              18  

 

Oleh karena  



1

w

x



y

w



=

1

w



y

x



w

 

maka 



1

w

x



y

w



=

1

2 @



1

w

x



y

w



+

1

w



y

x



w

B                                                                              19  

 

Dengan mensubstitusikan persamaan (19) ke persamaan (18), diperoleh 



R

n o


= r

s

]



stY

u

1



2 r

1

4



8

v

@



1

w

x



y

w



+

1

w



y

x



w

B

]



vzs

{            

R

n o


=

1

2 r



s

]

stY



u  r

1

4



8

v

w



x

y



w

]

vtY,v|s



{                                                                   20  

 

Perhatikan  suku  dalam  kurung  kurawal  pada  persamaan  (20)!  Suku  tersebut 



adalah potensial listrik di 

x

, yaitu 



x

, yang ditimbulkan oleh 

} − 1  muatan, 

Y

, ,



[

, … ,


sm

,

smY



,

s~Y


,

s~

, … ,



]

.  


x

=

1



4

8

r



v

w

x



y

w



]

vtY,v|s


                                                                                         21  

 

Dengan demikian, persamaan (20) menjadi 



R

n o


=

1

2 r



s

]

stY



x

                                                                                                    22  

Ini  adalah  usaha  total  yang  diperlukan  untuk  menyusun  N  muatan  titik  secara 

bersama-sama.  Usaha  total  ini  merepresentasikan  besarnya  energi  potensial  yang 

tersimpan dalam susunan muatan tersebut. 

 


Energi pada Muatan Terdistribusi Kontinue 

 

Pada  distribusi  muatan  volume  dengan  rapat  muatan 

/,  maka  ungkapan  energi 

potensial pada persamaan (22) berubah menjadi 

R =

1

2 /   0                                                                                                               23



 

Ungkapan  energi  ini  dapat  juga  dinyatakan  dalam  medan  listrik    yaitu  dengan 

memanfaatkan persamaan pada Hukum Gauss. 

C ∙ =


/

8

 



/ =

8

C ∙                                                                                                                        24   



dengan mensubstitusikan persamaan (24) ke persamaan (23) diperoleh 

R =


1

2

8



C ∙

  0                                                                                                 25  

Salah satu sifat perkalian operator 

C adalah  

C ∙

= C ∙


+ ∙ C                                                                                  26    

dengan mensubstitusikan 

C = −  selanjutnya didapatkan 

C ∙


= C ∙

− •                                                                                         

atau 

C ∙


  = C ∙

+ •                                                                                            27    

Selanjutnya mensubstitusikan persamaan (27) ke persamaan (25), hasilnya 

R =


8

2 €C ∙


+ • •  0                                                                                

R =


8

2

C ∙



0

+



8

2

•   0



                                                                      28  

Ingat kembali teorema divergensi, bahwa 


C ∙ S   0

= ƒ S ∙ „



  

sehingga 



8

2

C ∙



  0

=



8

2 ƒ


∙ „

                                                                            29  



Maka persamaan (28) dapat ditulis menjadi 

R =


8

2 ƒ


∙ .†

+



8

2

•   0



                                                                            30  

R =

8

2



•   0

‡ˆˆ ‰Š‡‹Œ

                                                                                                   31  

Ini adalah ungkapan energi potensial dalam  , dimana pengintegralan dilakukan 

untuk seluruh ruang. 

Contoh 

Hitung energi potensial dari kulit bola bermuatan seragam dengan rapat muatan 

dan total muatan q jika jari-jari bola adalah R ! 



Solusi 1. Menggunakan ungkapan dalam potensial 

R =


1

2 -    .         

 

Potensial pada permukaan bola adalah konstan, besarnya 



=

1



8

 



sehingga  

R =


1

8



; -  .         

 

R =



1

8



;

 


Solusi 2. Menggunakan ungkapan dalam medan listrik 

R =


8

2

•   0



‡ˆˆ ‰Š‡‹Œ

 

Integral dilakukan pada seluruh ruang, di dalam dan di luar bola. 



•Ž† di dalam bola 

adalah nol sehingga integralnya bernilai nol untuk ruang di dalam bola. Sementara 

 di luar bola adalah 

=

1



8

̂ 



• =

1



8

 

k



 

dengan demikian energinya menjadi 

R =

8

2



•   0

‡ˆˆ ‰Š‡‹Œ

 

R

=



8

2

1



8

 



k



 

sin    d  d   T

    → koordinat bola 



R

=

8



2 4π

8

 



1



 sin    d  d   T

 



R

=

8



2 4π

8

 



1

˜



8

 d sin   d   T

˜

8

 



R

=

8



2 4π

8

™−



1



˜

8

 d sin   d   T



˜

8

 



R

=

8



2 4π

8

  



1

sin   d 



˜

8

  T



˜

8

 



R

=

8



2 4π

8

  



1

;   4π


 

R

=



1



8



  ;  


Download 167.01 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling