Практическое занятие 1

Лекция 8. Частотные характеристики динамических звеньев и систем
При получении частотных характеристик входной сигнал звена рассматривается в форме x₁(t)=sint, то есть считается изменяющимся по синусоидальному закону с амплитудой А=1, фазой =0 и частотой . Значение частоты рассматриваются в диапазоне от  до +. Отрицательные частоты здесь вводятся для удобства построения математического аппарата анализа систем. На практике характеристики получают для частот в диапазоне от 0 до +. В область отрицательных частот их распространяют в соответствии со свойствами четности или нечетности. Следует помнить, что аналитические выражения для частотных характеристик принято также записывать, подразумевая значение аргумента 0.

Известно, что, преобразуя гармонический сигнал, линейное звено может изменить его амплитуду и фазу. Частота сигнала сохраняется. Степени изменения амплитуды и фазы определяются динамическими свойствами звена и зависят от частоты преобразуемого сигнала. Эти эффекты отражаются двумя главными частотными характеристиками – амплитудно-частотной и фазо-частотной.
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) A() показывает степень усиления или ослабления звеном амплитуды пропускаемого гармонического сигнала в зависимости от его частоты.
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) () показывает зависимость от частоты фазового сдвига, вносимого звеном в пропускаемый гармонический сигнал.
Формально АЧХ и ФЧХ могут быть получены на основе частотной передаточной функции (ЧПФ) звена W(j).
ЧПФ может быть получена из обычной передаточной функции заменой оператора Лапласа s на j
W(j)=W(s)|_s=j.
ЧПФ представляет собой комплексную функцию, то есть каждому фиксированному значению =₁, соответствует значение ЧПФ W₁=W(j_), в общем случае являющееся комплексным числом W₁=a+jb=re^j, где а–вещественная часть, b–мнимая часть, – модуль числа W₁, =arg(W₁)=arctg(b/a) – аргумент числа W₁.

Аналогично комплексному числу ЧПФ может быть представлена в алгебраической (через вещественную и мнимую части) и показательной (через модуль и аргумент) формах:
W(j)=U()+jV()=A()e^j(), (7.1)
где U() и V() – соответственно вещественная и мнимая части ЧПФ, A() и () – соответственно модуль и аргумент ЧПФ.
АЧХ определяется как модуль ЧПФ: A()=|W(j)|. Модуль, как известно, является четной функцией.
ФЧХ определяется как аргумент ЧПФ: ()=argW(j). Аргумент – нечетная функция.
Вещественной частотной характеристикой (ВЧХ) называется вещественная часть частотной передаточной функции: . ВЧХ – функция четная.
Мнимой частотной характеристикой (МЧХ) называется мнимая часть частотной передаточной функции: . МЧХ – функция нечетная.
На основе (7.1) для АЧХ и ФЧХ можно записать соотношения:
, (7.2)
, (7.3)
но пользоваться этими соотношениями для получения характеристик динамических звеньев и систем не рекомендуется. Для того, чтобы понять причины этого, рассмотрим следующий пример.
Пусть требуется получить АЧХ и ФЧХ динамического звена, описываемого уравнением

.
и построить их примерные графики.

Используя взаимно-однозначную связь дифференциального уравнения и передаточной функции, запишем ее:

.
Теперь можно было бы перейти к ЧПФ:

и заняться выделением ее вещественной и мнимой частей, чтобы воспользоваться соотношениями (7.2) и (7.3). Преобразования будут весьма трудоемкими, а итоговое выражение вида (7.2) – неоправданно сложным и явно неудобным для дальнейшего использования.
Кроме того, при получении () в форме (7.3) следует помнить, что математическая функция arctg x имеет бесконечное множество значений: