«Преобразования плоскости и пространства в школьном курсе математики»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (РИНХ)»
ТАГАНРОГСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ А. П. ЧЕХОВА
Факультет физики, математики, информатики
Кафедра математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему:
«Преобразования плоскости и пространства в школьном курсе математики»

Выполнила студентка

группы MATZ - 131 Роева Алёна Сергеевна

Таганрог
2018

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3
1.ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ‏ㅤ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ‏ㅤ 7
1.1Движения плоскости и ‏ㅤ пространства ‏ㅤ 7
1.2Методики решения задач ‏ㅤ движения плоскости и ‏ㅤ пространства ‏ㅤ 18
2.ПРИМЕРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ ‏ㅤ И ПРОСТРАНСТВА ‏ㅤ 38
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 49
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ‏ㅤ 53

ВВЕДЕНИЕ

Движутся звёзды и ‏ㅤ целые галактики, вся ‏ㅤ Вселенная в целом ‏ㅤ и её мельчайшие ‏ㅤ частицы — молекулы, ‏ㅤ атомы, электроны. В ‏ㅤ движении находятся растения ‏ㅤ и животные, воздушные ‏ㅤ массы и водные ‏ㅤ потоки. Отчего это ‏ㅤ так — почему ‏ㅤ наш мир — ‏ㅤ это мир движущихся ‏ㅤ объектов? Здесь нет ‏ㅤ ответа на этот ‏ㅤ вопрос. Рассмотрим то, ‏ㅤ как описывают движения ‏ㅤ математики. Для начала ‏ㅤ приведём примеры геометрических ‏ㅤ преобразований — это ‏ㅤ повороты, отражения относительно ‏ㅤ точки, прямой, плоскости, ‏ㅤ переносы вдоль прямой ‏ㅤ или вдоль плоскости, ‏ㅤ подобие, сжатие и ‏ㅤ др. [5] Напомним ‏ㅤ некоторые определения. Если ‏ㅤ каждой точке пространства ‏ㅤ (будем называть её ‏ㅤ прообразом) поставлена в ‏ㅤ соответствие некоторая единственная ‏ㅤ точка пространства (её ‏ㅤ образ), и при ‏ㅤ этом каждый образ ‏ㅤ имеет единственный прообраз, ‏ㅤ то такое соответствие ‏ㅤ между точками пространства ‏ㅤ называется его геометрическим ‏ㅤ преобразованием. Прообраз точки ‏ㅤ может совпасть со ‏ㅤ своим образом, в ‏ㅤ этом случае он ‏ㅤ называется неподвижной точкой ‏ㅤ преобразования. Если все ‏ㅤ точки преобразования неподвижны, ‏ㅤ преобразование называют тождественным. ‏ㅤ Геометрическое преобразование, при ‏ㅤ котором сохраняются неизменными ‏ㅤ расстояния между любыми ‏ㅤ двумя точками, называют ‏ㅤ движением. Наглядное представление ‏ㅤ о движениях фигур ‏ㅤ в пространстве даёт ‏ㅤ механическое окружающих нас ‏ㅤ движение твёрдых тел. ‏ㅤ Движение является одним ‏ㅤ из центральных геометрических ‏ㅤ понятий. На нём ‏ㅤ основано понятие равенства ‏ㅤ фигур: две фигуры ‏ㅤ считаются равными, если ‏ㅤ существует движение, переводящее ‏ㅤ одну из них ‏ㅤ в другую. Кроме ‏ㅤ того, если при ‏ㅤ преобразовании фигуры сохраняются ‏ㅤ расстояния между её ‏ㅤ точками, то сохраняются ‏ㅤ и все остальные ‏ㅤ геометрические свойства фигуры ‏ㅤ — углы, параллельность ‏ㅤ отрезков, площадь и ‏ㅤ т. п.: все ‏ㅤ они зависят только ‏ㅤ от расстояний. Движения ‏ㅤ евклидовой планиметрии (именно ‏ㅤ она изучается в ‏ㅤ школе) представлены параллельными ‏ㅤ переносами (такое преобразование, ‏ㅤ при котором все ‏ㅤ точки фигуры перемещаются ‏ㅤ в одном направлении ‏ㅤ на одно и ‏ㅤ тоже расстояние), поворотами ‏ㅤ и осевыми симметриями ‏ㅤ с последующим параллельным ‏ㅤ переносом вдоль оси. ‏ㅤ Оказывается, что других ‏ㅤ движений плоскости нет, ‏ㅤ то есть все ‏ㅤ возможные движения, которые ‏ㅤ можно совершить на ‏ㅤ плоскости описываются комбинациями ‏ㅤ вышеназванных основных движений. ‏ㅤ Этот факт — ‏ㅤ теорема Шаля — ‏ㅤ был доказан в ‏ㅤ 19 веке французским ‏ㅤ математиком Мишелем Шалем ‏ㅤ (1793—1880). ‏ㅤ
Целью работы является ‏ㅤ рассмотрение преобразования плоскости ‏ㅤ и пространства в ‏ㅤ школьном курсе математики. ‏ㅤ

1. 
   ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ‏ㅤ ПРЕОБРАЗОВАНИИ ‏ㅤ
   

1. 
   Движения плоскости и ‏ㅤ пространства ‏ㅤ
   

Принципиальная сводимость всех ‏ㅤ возможных движений к ‏ㅤ набору из нескольких ‏ㅤ основных не должна ‏ㅤ нас особенно удивлять. ‏ㅤ Самые сложные музыкальные ‏ㅤ композиции сводятся к ‏ㅤ проигрыванию той или ‏ㅤ иной комбинации из ‏ㅤ нескольких десятков музыкальных ‏ㅤ звуков, многообразие сочетаний ‏ㅤ красок происходит от ‏ㅤ смешивания небольшого количества ‏ㅤ основных тонов на ‏ㅤ палитре художника, собрание ‏ㅤ сочинений писателя — ‏ㅤ запись комбинаций из ‏ㅤ трёх десятков букв ‏ㅤ алфавита. С другой ‏ㅤ стороны, к комбинациям ‏ㅤ простейших обычно сводятся ‏ㅤ структуры, придуманные человеком, ‏ㅤ но не объекты ‏ㅤ природы: облака не ‏ㅤ состоят из нескольких ‏ㅤ одинаковых «маленьких облачков», ‏ㅤ а камни не ‏ㅤ состоят из других ‏ㅤ «элементарных» камешков. Но, ‏ㅤ так или иначе, ‏ㅤ все возможные движения ‏ㅤ плоскости сводятся к ‏ㅤ последовательности выполнения (композиции) ‏ㅤ нескольких основных движений. ‏ㅤ Поясним это утверждение ‏ㅤ следующей иллюстрацией. Рассмотрим ‏ㅤ солдата, умеющего выполнять ‏ㅤ четыре команды строевой ‏ㅤ подготовки: «смирно» (С), ‏ㅤ «налево» (Л), «направо» ‏ㅤ (П), «кругом» (К). ‏ㅤ Нетрудно проверить, что ‏ㅤ последовательное выполнение любых ‏ㅤ двух из этих ‏ㅤ команд даст тот ‏ㅤ же результат, что ‏ㅤ выполнение какой-то одной ‏ㅤ из этих четырёх. ‏ㅤ Так, например, результат ‏ㅤ последовательного выполнения команд ‏ㅤ «направо» и «кругом» ‏ㅤ совпадает с результатом ‏ㅤ выполнения команды «налево»: ‏ㅤ К○П= Л», а ‏ㅤ последовательное выполнение двух ‏ㅤ команд «налево» даёт ‏ㅤ тот же результат, ‏ㅤ что выполнение команды ‏ㅤ «кругом» Л○Л=К. Соответствие ‏ㅤ между выполнением каких-то ‏ㅤ двух команд третьей ‏ㅤ задаётся таблицей умножения ‏ㅤ (рис. 1); такое ‏ㅤ название не случайно: ‏ㅤ суть таблицы умножения ‏ㅤ натуральных чисел и ‏ㅤ таблицы умножения команд ‏ㅤ одна и та ‏ㅤ же — определить ‏ㅤ результат выполнения операции ‏ㅤ над двумя объектами. ‏ㅤ Понятно, что результат ‏ㅤ выполнения нашим солдатом ‏ㅤ сколь угодно длинной ‏ㅤ цепочки команд в ‏ㅤ конечном итоге будет ‏ㅤ сведён к выполнению ‏ㅤ какой-то одной из ‏ㅤ четырёх основных. ‏ㅤ

‏ㅤ
Рис.1.

Знаете, как на ‏ㅤ самом деле называется ‏ㅤ набор действий солдата? ‏ㅤ «Циклическая группа 4-го ‏ㅤ порядка» или «группа ‏ㅤ вычетов по модулю ‏ㅤ 4». Понятие группы ‏ㅤ — одно из ‏ㅤ важнейших понятий математики. ‏ㅤ Без конечных групп ‏ㅤ нельзя, например, указать, ‏ㅤ какие алгебраические уравнения ‏ㅤ разрешимы в радикалах, ‏ㅤ а какие — ‏ㅤ нет, при помощи ‏ㅤ групп описывают, как ‏ㅤ устроены кристаллы. Несмотря ‏ㅤ на то, что ‏ㅤ в школьном курсе ‏ㅤ группы пока не ‏ㅤ изучаются, возможность познакомить ‏ㅤ с ними чрезвычайно ‏ㅤ привлекательной. ‏ㅤ

Набор некоторых действий, ‏ㅤ которые можно последовательно ‏ㅤ выполнять, называют группой, ‏ㅤ если в этом ‏ㅤ наборе для каждого ‏ㅤ действия обязательно присутствует ‏ㅤ обратное к нему, ‏ㅤ а результат последовательного ‏ㅤ выполнения любых двух ‏ㅤ действий также является ‏ㅤ действием из этого ‏ㅤ набора. ‏ㅤ
Четыре действия солдата ‏ㅤ составляют группу R(□)={C, ‏ㅤ П, Л, К; ‏ㅤ ○). Особую роль ‏ㅤ играет действие С, ‏ㅤ которое можно назвать ‏ㅤ «ничегонеделание». Такое действие ‏ㅤ обязательно есть в ‏ㅤ любой группе: рассмотрим ‏ㅤ его, выполнив произвольное ‏ㅤ действие, а затем ‏ㅤ обратное к нему. ‏ㅤ У нас действия ‏ㅤ П и Л ‏ㅤ обратны друг к ‏ㅤ другу, действие К ‏ㅤ — обратно к ‏ㅤ самому себе, и ‏ㅤ т. д. ‏ㅤ
Полезно заметить, что ‏ㅤ выполнение солдатом двух ‏ㅤ любых команд не ‏ㅤ зависит от порядка ‏ㅤ этих команд, например, ‏ㅤ Л○П=П○Л. Такое свойство ‏ㅤ групповой операции называется ‏ㅤ свойством коммутативности, а ‏ㅤ группа в этом ‏ㅤ случае называется коммутативной ‏ㅤ или Абелевой. В ‏ㅤ общем случае (в ‏ㅤ отличие от привычных ‏ㅤ нам операций сложения ‏ㅤ или умножения чисел) ‏ㅤ групповая операция не ‏ㅤ обязана быть коммутативной. ‏ㅤ Скажем, если бы ‏ㅤ солдат умел ещё ‏ㅤ выполнять команду «шаг ‏ㅤ вперёд» (В), то ‏ㅤ выполнение последовательности команд ‏ㅤ «налево» и «шаг ‏ㅤ вперёд» отличалось бы ‏ㅤ от результата выполнения ‏ㅤ команд «шаг вперёд» ‏ㅤ и «налево»: Н○В≠В○Н. ‏ㅤ
Однако групповая операция ‏ㅤ всегда должна удовлетворять ‏ㅤ свойству ассоциативности, то ‏ㅤ есть для любых ‏ㅤ действий f, g, ‏ㅤ h должно быть ‏ㅤ справедливо равенство (f○g)○h=f○(g○h). ‏ㅤ В случае с ‏ㅤ нашим солдатом, например, ‏ㅤ (В○Л)○К=В○(Л○К) — то ‏ㅤ есть выполнение команды ‏ㅤ «кругом», а затем ‏ㅤ результата выполнения двух ‏ㅤ команд «шаг вперёд» ‏ㅤ и «налево» приводит ‏ㅤ к тому же ‏ㅤ состоянию, что сначала ‏ㅤ выполнение результата двух ‏ㅤ команд «кругом» и ‏ㅤ «шаг налево», а ‏ㅤ потом команды «шаг ‏ㅤ вперёд». ‏ㅤ
С более общих ‏ㅤ формальных позиций группы ‏ㅤ могут состоять из ‏ㅤ элементов любой природы, ‏ㅤ а групповая операция ‏ㅤ — не обязательно ‏ㅤ композиция действий. В ‏ㅤ этом случае группой ‏ㅤ называют непустое множество ‏ㅤ некоторых элементов с ‏ㅤ заданной операцией над ‏ㅤ ними, удовлетворяющей следующим ‏ㅤ условиям: результат выполнения ‏ㅤ операции даёт элемент ‏ㅤ этого же множества, ‏ㅤ выполнено свойство ассоциативности ‏ㅤ и задана обратная ‏ㅤ операция. Если набор ‏ㅤ движений удовлетворяет этим ‏ㅤ свойствам, то говорят, ‏ㅤ что задана группа ‏ㅤ движений. Можно убедиться, ‏ㅤ что движения евклидовой ‏ㅤ плоскости образуют группу. ‏ㅤ (Если к ней ‏ㅤ добавить гомотетии и ‏ㅤ их композиции с ‏ㅤ евклидовыми движениями, то ‏ㅤ получится группа преобразований ‏ㅤ подобия [3].) ‏ㅤ
Движения в пространстве ‏ㅤ также сводятся к ‏ㅤ композиции нескольких основных: ‏ㅤ центральной симметрии, зеркальной ‏ㅤ симметрии (симметрии относительно ‏ㅤ плоскости), параллельному переносу ‏ㅤ и повороту вокруг ‏ㅤ оси (в частности, ‏ㅤ осевой симметрии). В ‏ㅤ ряде случаев композиция ‏ㅤ этих движений даёт ‏ㅤ одно из них ‏ㅤ же, однако некоторые ‏ㅤ их композиции приводят ‏ㅤ к новым движениям ‏ㅤ пространства: скользящей плоскостной ‏ㅤ симметрии, зеркальному вращению ‏ㅤ и винтовому движению. ‏ㅤ Перечисленными семью различными ‏ㅤ видами движений исчерпываются ‏ㅤ все возможные движения ‏ㅤ пространства. ‏ㅤ
Интересно отметить, что, ‏ㅤ оказывается, всякое движение ‏ㅤ плоскости может быть ‏ㅤ получено с помощью ‏ㅤ не более чем ‏ㅤ трёх осевых симметрий, ‏ㅤ а любое движение ‏ㅤ пространства может быть ‏ㅤ представлено в виде ‏ㅤ композиции не более ‏ㅤ чем четырёх симметрий ‏ㅤ относительно плоскостей. Это ‏ㅤ — частные случаи ‏ㅤ общего утверждения о ‏ㅤ том, что любую ‏ㅤ изометрию (движение) в ‏ㅤ nмерном евклидовом пространстве ‏ㅤ можно представить в ‏ㅤ виде композиции не ‏ㅤ более чем n ‏ㅤ + 1 отражения. ‏ㅤ
Помимо движений, сохраняющих ‏ㅤ расстояние между точками, ‏ㅤ в геометрии изучаются ‏ㅤ такие преобразования пространства, ‏ㅤ которые изменяют расстояния. ‏ㅤ Например, преобразования подобия ‏ㅤ — эти преобразования ‏ㅤ изменяют расстояние между ‏ㅤ точками в одно ‏ㅤ и то же ‏ㅤ число раз. Подобие ‏ㅤ фигур — одно ‏ㅤ из часто используемых ‏ㅤ преобразований: план местности, ‏ㅤ города или квартиры ‏ㅤ представляет собой изображение, ‏ㅤ подобное исходному. Преобразование ‏ㅤ подобия сохраняет отношения ‏ㅤ пар отрезков. ‏ㅤ
Существуют преобразования, для ‏ㅤ которых не выполняется ‏ㅤ условие о сохранении ‏ㅤ расстояний. Так, надувая ‏ㅤ мыльный пузырь, тоже ‏ㅤ осуществляется геометрическое преобразование, ‏ㅤ при этом расстояния ‏ㅤ между точками изменяются, ‏ㅤ значит, такое преобразование ‏ㅤ не является движением ‏ㅤ [1]. ‏ㅤ
Дана произвольная точка ‏ㅤ пространства - ‏ㅤ О. Зададим преобразование, ‏ㅤ по которому, каждой ‏ㅤ точке ‏ㅤ А поставлена в ‏ㅤ соответствие точка ‏ㅤ А1, такая что ‏ㅤ А1 ‏ㅤ лежит на луче ‏ㅤ АО, причем точка ‏ㅤ О - средина ‏ㅤ отрезка ‏ㅤ АА1. Точка О переходит в ‏ㅤ себя при преобразовании. ‏ㅤ Будет ли заданное ‏ㅤ преобразование движением? Да, ‏ㅤ будет. Это преобразование ‏ㅤ является движением, так ‏ㅤ как оно является ‏ㅤ преобразованием пространства, и ‏ㅤ сохраняет расстояния между ‏ㅤ соответствующими точками, так ‏ㅤ как ‏ㅤ ОА1 = ‏ㅤ О А. ‏ㅤ

2. 
   Методики решения задач ‏ㅤ движения плоскости и ‏ㅤ пространства ‏ㅤ
   

Свойства движений в ‏ㅤ учебниках изложены в ‏ㅤ разном объеме. У ‏ㅤ Погорелова А.В. в ‏ㅤ курсе планиметрии доказаны ‏ㅤ основные свойства, а ‏ㅤ в курсе стереометрии ‏ㅤ представлено одно свойство ‏ㅤ движения - переводить ‏ㅤ плоскость в плоскость. ‏ㅤ По-другому поступают Смирнова ‏ㅤ И.М. и Смирнов ‏ㅤ В.А. и в ‏ㅤ курсе планиметрии приводят ‏ㅤ следующие свойства: движение ‏ㅤ переводит прямые в ‏ㅤ прямые, лучи в ‏ㅤ лучи и отрезки ‏ㅤ в отрезки, при ‏ㅤ движении сохраняются углы, ‏ㅤ а в пространстве ‏ㅤ свойства не описывают. ‏ㅤ Более подробно свойства ‏ㅤ представлены в учебниках, ‏ㅤ где еще добавлены ‏ㅤ такие свойства как: ‏ㅤ треугольник движением переводится ‏ㅤ в треугольник; при ‏ㅤ движении образом полуплоскости ‏ㅤ является полуплоскость; при ‏ㅤ движении образом тетраэдра ‏ㅤ является тетраэдр; движение ‏ㅤ обратимо и другие. ‏ㅤ

Вопрос методики решения ‏ㅤ задач с использованием ‏ㅤ геометрических преобразований пространства ‏ㅤ является недостаточно изученным, ‏ㅤ несмотря на то, ‏ㅤ что использование преобразований ‏ㅤ является одним из ‏ㅤ эффективных способов решения ‏ㅤ геометрических задач. ‏ㅤ
Термин «геометрические преобразования», ‏ㅤ в большинстве своем, ‏ㅤ вводится в курсе ‏ㅤ планиметрии. В курсе ‏ㅤ стереометрии на его ‏ㅤ определение либо ссылаются, ‏ㅤ либо заново формулируют. ‏ㅤ
После введения определения ‏ㅤ геометрического преобразования следует ‏ㅤ предложить специально подобранные ‏ㅤ задачи на образование ‏ㅤ данного понятия у ‏ㅤ учащихся. Возможно использование ‏ㅤ задачного материала из ‏ㅤ учебно-методических пособий. ‏ㅤ
Определение движения вводится ‏ㅤ на плоскости и ‏ㅤ в пространстве аналогично. ‏ㅤ
Свойства движений являются ‏ㅤ общими для всех ‏ㅤ видов движений, которые ‏ㅤ в последствие будут ‏ㅤ изучаться учащимися. Для ‏ㅤ плоскости и пространства ‏ㅤ перечень свойств одинаков ‏ㅤ с той разницей, ‏ㅤ что в старшей ‏ㅤ школе добавляется еще ‏ㅤ одно свойство - ‏ㅤ переводить при движении ‏ㅤ плоскость в плоскость. ‏ㅤ Четко сформулировав и ‏ㅤ познакомив с доказательствами ‏ㅤ общих свойств движений ‏ㅤ в курсе планиметрии ‏ㅤ позволяет при изучении ‏ㅤ стереометрии вместе с ‏ㅤ учащимися вспомнить ранее ‏ㅤ изученный материал, что ‏ㅤ позволит сэкономить учебное ‏ㅤ время на обучение ‏ㅤ свойствам движений в ‏ㅤ пространстве. Дополнительные свойства ‏ㅤ движений можно выносить ‏ㅤ в заданный материал ‏ㅤ или на самостоятельное ‏ㅤ изучение и доказательство, ‏ㅤ например, свойства движений ‏ㅤ переводить параллельные прямые ‏ㅤ в параллельные, перпендикулярные ‏ㅤ прямые — в ‏ㅤ перпендикулярные и другие. ‏ㅤ Во - первых, ‏ㅤ учащиеся познакомятся с ‏ㅤ этими свойствами в ‏ㅤ основной школе, а, ‏ㅤ во- вторых, отнесение ‏ㅤ их к задачам ‏ㅤ поможет эффективнее расходовать ‏ㅤ учебные часы, выделяемые ‏ㅤ на данную тему ‏ㅤ [9]. ‏ㅤ
В учебно-методических пособиях ‏ㅤ введение и изучение ‏ㅤ каждого вида движения ‏ㅤ (центральная симметрия, осевая ‏ㅤ симметрия, поворот вокруг ‏ㅤ точки и параллельный ‏ㅤ перенос) начинается с ‏ㅤ самого определения, что ‏ㅤ не верно. Для ‏ㅤ образования понятий каждого ‏ㅤ вида движения до ‏ㅤ введения самого определения ‏ㅤ задается соответствие между ‏ㅤ точками по определенному ‏ㅤ правилу (для каждого ‏ㅤ преобразования свое правило) ‏ㅤ - это помогает ‏ㅤ более логичному построению ‏ㅤ изучаемого материала, с ‏ㅤ одной стороны, а, ‏ㅤ с другой, связывает ‏ㅤ введенное ранее понятие ‏ㅤ «геометрические преобразования» с ‏ㅤ каждым конкретным преобразованием. ‏ㅤ Аналогичным образом поступаем ‏ㅤ при обучении движениям ‏ㅤ плоскости, что позволить ‏ㅤ оптимизировать изучаемое содержание. ‏ㅤ
Центральная симметрия и ‏ㅤ параллельный перенос на ‏ㅤ плоскости и в ‏ㅤ пространстве описываются и ‏ㅤ изучаются одинаково. Разница ‏ㅤ состоит в том, ‏ㅤ что в курсе ‏ㅤ старшей школы учащиеся ‏ㅤ будут изучать дополнительные ‏ㅤ свойства данных движений ‏ㅤ в пространстве. ‏ㅤ
Преобразование пространства порождает ‏ㅤ и преобразование фигур, ‏ㅤ находящихся в нём. ‏ㅤ При преобразовании пространства ‏ㅤ все точки любой ‏ㅤ фигуры ‏ㅤ F переходят в их ‏ㅤ образы, которые и ‏ㅤ составят фигуру . ‏ㅤ Эта фигура называется ‏ㅤ образом фигуры F ‏ㅤ при данном преобразовании ‏ㅤ . Сама фигура ‏ㅤ F называется прообразом фигуры ‏ㅤ . Говорят также, ‏ㅤ что фигура ‏ㅤ F отображается на ‏ㅤ фигуру ‏ㅤ , и пишут ‏ㅤ при этом: ‏ㅤ F → [4] .
Геометрическое преобразование считается ‏ㅤ заданным, если указан ‏ㅤ способ, позволяющий для ‏ㅤ любой точки пространства ‏ㅤ найти её образ. ‏ㅤ Чаще всего это ‏ㅤ означает возможность построения ‏ㅤ образа точки. Если ‏ㅤ же в пространстве ‏ㅤ задана система координат, ‏ㅤ то преобразование считается ‏ㅤ заданным, если по ‏ㅤ координатам точки можно ‏ㅤ найти координаты её ‏ㅤ образа. ‏ㅤ
По определению фигура ‏ㅤ F является неподвижной ‏ㅤ при данном преобразовании ‏ㅤ g, если преобразование ‏ㅤ g отображает эту ‏ㅤ фигуру на себя, ‏ㅤ то есть g(F) ‏ㅤ = F. В ‏ㅤ геометрии различают два ‏ㅤ вида «неподвижности фигуры ‏ㅤ F» при данном ‏ㅤ преобразовании g: ‏ㅤ
1) каждая точка ‏ㅤ фигуры F неподвижна ‏ㅤ (отображается на себя) ‏ㅤ при данном преобразовании ‏ㅤ g; в этом ‏ㅤ случае иногда говорят, ‏ㅤ что фигура F ‏ㅤ локально неподвижна, локально ‏ㅤ инвариантна [10]; ‏ㅤ
2) фигура F ‏ㅤ преобразованием g отображается ‏ㅤ на себя, но ‏ㅤ среди точек этой ‏ㅤ фигуры существуют как ‏ㅤ точки, каждая из ‏ㅤ которых неподвижна при ‏ㅤ преобразовании g, так ‏ㅤ и такие точки, ‏ㅤ которые не являются ‏ㅤ неподвижными точками этого ‏ㅤ преобразования g, но ‏ㅤ отображаются преобразованием g ‏ㅤ на точки фигуры ‏ㅤ F; в этом ‏ㅤ случае иногда говорят, ‏ㅤ что фигура F ‏ㅤ глобально неподвижна, глобально ‏ㅤ инвариантна. ‏ㅤ
Например, любая прямая, ‏ㅤ проходящая через точку ‏ㅤ А, глобально неподвижна ‏ㅤ (глобально инварианта) при ‏ㅤ симметрии с центром ‏ㅤ А; любая прямая ‏ㅤ (плоскость), перпендикулярная плоскости ‏ㅤ α, глобально инвариантна ‏ㅤ (глобально неподвижна) при ‏ㅤ симметрии относительно плоскости ‏ㅤ α, но сама ‏ㅤ плоскость a локально ‏ㅤ неподвижна при симметрии ‏ㅤ Sa, так как ‏ㅤ каждая точка плоскости ‏ㅤ a при симметрии ‏ㅤ Sa отображается на ‏ㅤ себя [8]. ‏ㅤ
Любая центрально-симметричная фигура ‏ㅤ F с центром ‏ㅤ О является глобально ‏ㅤ инвариантной фигурой при ‏ㅤ симметрии пространства с ‏ㅤ центром О, но ‏ㅤ сама фигура F ‏ㅤ имеет только одну ‏ㅤ неподвижную точку при ‏ㅤ этой симметрии — ‏ㅤ центр О симметрии. ‏ㅤ
Следует обратить внимание ‏ㅤ учащихся на вопрос ‏ㅤ о равенстве двух ‏ㅤ преобразований. По определению ‏ㅤ два преобразования g1 ‏ㅤ и g2 пространства ‏ㅤ называются равными, если ‏ㅤ образы любой точки ‏ㅤ пространства при этих ‏ㅤ преобразованиях совпадают, то ‏ㅤ есть для любой ‏ㅤ точки M пространства ‏ㅤ имеет место . ‏ㅤ Важным является не ‏ㅤ путь, не траектория ‏ㅤ перемещения («путешествия») данной ‏ㅤ точки М при ‏ㅤ каждом из преобразований ‏ㅤ g1 и g2, ‏ㅤ а тот факт, ‏ㅤ что в результате ‏ㅤ каждого из преобразований ‏ㅤ g1 и g2 точка ‏ㅤ М, образно выражаясь, ‏ㅤ «перешла» в одну ‏ㅤ и ту же ‏ㅤ точку М'. ‏ㅤ
В новых учебных ‏ㅤ планах и программах, ‏ㅤ вводимых в практику ‏ㅤ работы советской школы, ‏ㅤ большое внимание уделяется ‏ㅤ научности и систематичности ‏ㅤ обучения, т. е. ‏ㅤ такому построению учебного ‏ㅤ плана и учебно-воспитательного ‏ㅤ процесса, которые обеспечивают ‏ㅤ формирование у школьников ‏ㅤ общей естественнонаучной картины ‏ㅤ мира. «При изучении ‏ㅤ общих научных понятий ‏ㅤ в курсах физики, ‏ㅤ математики и химии ‏ㅤ рекомендуется согласовывать глубину ‏ㅤ раскрытия их содержания ‏ㅤ и преемственность изложения ‏ㅤ в различных учебных ‏ㅤ предметах», — говорится ‏ㅤ в объяснительной записке ‏ㅤ к переработанным программам ‏ㅤ средней школы. Высший ‏ㅤ уровень систематизации знаний ‏ㅤ учащихся может быть ‏ㅤ достигнут только при ‏ㅤ осуществлении межпредметных связей, ‏ㅤ под которыми понимаем ‏ㅤ возможность и необходимость ‏ㅤ использования знаний, приобретенных ‏ㅤ учащимися при изучении ‏ㅤ одних учебных дисциплин; ‏ㅤ комплексное применение приобретенных ‏ㅤ знаний для выполнения ‏ㅤ разного рода практических ‏ㅤ задач; возможность полноценной ‏ㅤ подготовки гражданина коммунистического ‏ㅤ общества, способного к ‏ㅤ целостному познанию законов ‏ㅤ природы. ‏ㅤ
Известно, что прочность ‏ㅤ и практическая значимость ‏ㅤ приобретенных знаний зависит ‏ㅤ и от того, ‏ㅤ насколько они применяются ‏ㅤ не только в ‏ㅤ этой области, где ‏ㅤ эти знания приобретены, ‏ㅤ но и в ‏ㅤ различных ситуациях других ‏ㅤ областей наук. Учащиеся ‏ㅤ при этом убеждаются ‏ㅤ в том, что ‏ㅤ сила научного знания ‏ㅤ заключается не только ‏ㅤ в логических построениях ‏ㅤ одной области знаний, ‏ㅤ но и в ‏ㅤ универсальности фундаментальных положений ‏ㅤ науки. Особенно возросло ‏ㅤ политехническое значение меж ‏ㅤ предметных связей в ‏ㅤ современных условиях, когда ‏ㅤ любому специалисту необходимо ‏ㅤ опираться на достижения ‏ㅤ смежных областей знаний. ‏ㅤ В настоящее время ‏ㅤ в средней школе ‏ㅤ некоторые вопросы, идеи, ‏ㅤ даже приборы рассматриваются ‏ㅤ по нескольку раз ‏ㅤ при изучении разных ‏ㅤ предметов. Правильное установление ‏ㅤ меж предметных связей ‏ㅤ исключает дублирование учебного ‏ㅤ материала различными пред ‏ㅤ метами естественнонаучного цикла, ‏ㅤ что может дать ‏ㅤ значительную экономию учебного ‏ㅤ времени. Можно выделить ‏ㅤ три вида связей: ‏ㅤ
а) Связь между ‏ㅤ учебными предметами, заключающаяся ‏ㅤ в размещении отдельных ‏ㅤ тем программы в ‏ㅤ определенном порядке, не ‏ㅤ нарушающем стройность и ‏ㅤ логику данного предмета, ‏ㅤ и учитывающая не ‏ㅤ об ходимость использования ‏ㅤ полученных учащимися знаний ‏ㅤ при раскрытии новых ‏ㅤ тем смежных предметов, ‏ㅤ — так называемая ‏ㅤ понятийно-временная связь. ‏ㅤ
б) Связь, предусматривающая ‏ㅤ использование знаний, учащихся ‏ㅤ по другим смежным ‏ㅤ предметам для осуществления ‏ㅤ единого подхода к ‏ㅤ формированию общих понятий, ‏ㅤ умений и навыков, ‏ㅤ — так называемая ‏ㅤ объединяющая связь. При ‏ㅤ установлении такого вида ‏ㅤ связей предусматривается рассмотрение ‏ㅤ отдельных вопросов в ‏ㅤ комплексе. ‏ㅤ
в) Связь, когда ‏ㅤ на начальном этапе ‏ㅤ формирования понятия при ‏ㅤ изучении какого-либо учебного ‏ㅤ предмета дается ориентация ‏ㅤ на наиболее глубокое ‏ㅤ усвоение этого понятия ‏ㅤ при изучении других ‏ㅤ смежных учебных предметов ‏ㅤ в будущем, — ‏ㅤ так называемая дополняющая ‏ㅤ связь. Новое содержание ‏ㅤ школьного курса геометрии ‏ㅤ поставило много проблем ‏ㅤ как при изучении ‏ㅤ самого этого курса, ‏ㅤ так и при ‏ㅤ использовании геометрического материала ‏ㅤ в смежных дисциплинах. ‏ㅤ Так, говоря о ‏ㅤ временно-понятийной связи и ‏ㅤ дополняющей связи курса ‏ㅤ геометрии, следует выделить ‏ㅤ так называемые внутри ‏ㅤ - предметные связи, ‏ㅤ которые решают проблемы ‏ㅤ согласования используемой символики, ‏ㅤ распределения учебного материала ‏ㅤ по главам и ‏ㅤ классам. С другой ‏ㅤ стороны, все три ‏ㅤ вида связей находят ‏ㅤ свое использование при ‏ㅤ согласовании изложения курса ‏ㅤ геометрии с другими ‏ㅤ математическими и естественнонаучными ‏ㅤ дисциплинами. Все сказанное ‏ㅤ свидетельствует о том, ‏ㅤ что изучение внутри ‏ㅤ - предметных и ‏ㅤ межпредметных связей курса ‏ㅤ геометрии 6—8 классов ‏ㅤ является весьма актуальным. ‏ㅤ В особенности это ‏ㅤ актуально сейчас, 9 ‏ㅤ когда перед школой ‏ㅤ поставлены новые серьезные ‏ㅤ задачи по совершенствованию ‏ㅤ процесса обучения всем ‏ㅤ предметам, в том ‏ㅤ числе и геометрии ‏ㅤ [2]. ‏ㅤ
Происходящие сегодня изменения ‏ㅤ общественных структур и ‏ㅤ отношений порождают значительную ‏ㅤ социальную и психологическую ‏ㅤ напряженность, которая проявляется ‏ㅤ в разнообразных угрозах ‏ㅤ безопасности жизни человека. ‏ㅤ
Определение 1.
1) Если каждой ‏ㅤ точке ‏ㅤ A пространства поставлена в ‏ㅤ соответствие вполне определённая ‏ㅤ (единственная) точка и ‏ㅤ
2) Каждая точка пространства ‏ㅤ соответствует какой-либо и ‏ㅤ притом единственной точке ‏ㅤ A, то такое ‏ㅤ соответствие между точками ‏ㅤ пространства называют его ‏ㅤ геометрическим преобразованием.
Примеры.

1. 
   Отложив от каждой ‏ㅤ точки пространства некоторый ‏ㅤ вектор , тем ‏ㅤ самым каждой его ‏ㅤ точке ‏ㅤ A поставим в соответствие ‏ㅤ единственную точку . ‏ㅤ Это соответствие, как ‏ㅤ нетрудно видеть, удовлетворяет ‏ㅤ и первому, и ‏ㅤ второму условиям определения, ‏ㅤ а потому является ‏ㅤ геометрическим преобразованием (рис. ‏ㅤ 2). ‏ㅤ
   

Рис.2. ‏ㅤ

2) Другой пример ‏ㅤ соответствия между точками ‏ㅤ пространства даёт параллельное ‏ㅤ проектирование на плоскость. ‏ㅤ Пусть точки пространства ‏ㅤ проектируются на плоскость ‏ㅤ в направлении прямой ‏ㅤ l (рис. 3). При ‏ㅤ этом каждой точке ‏ㅤ A будет соответствовать вполне ‏ㅤ определённая и единственная ‏ㅤ точка плоскости — ‏ㅤ точка пересечения проектирующей ‏ㅤ прямой ‏ㅤ a с плоскостью ‏ㅤ . Это соответствие ‏ㅤ в отличие от ‏ㅤ первого не будет ‏ㅤ геометрическим преобразованием пространства, ‏ㅤ поскольку в этом ‏ㅤ случае не выполнено ‏ㅤ второе условие определения: ‏ㅤ во-первых, не всякая ‏ㅤ точка пространства соответствует ‏ㅤ какой-нибудь его точке, ‏ㅤ например точка , ‏ㅤ не лежащая в ‏ㅤ , ‏ㅤ не соответствует никакой ‏ㅤ точке ‏ㅤ пространства; во-вторых, хотя ‏ㅤ точка и соответствует ‏ㅤ точке ‏ㅤ A, она соответствует ‏ㅤ не только ей, ‏ㅤ а и любой ‏ㅤ другой точке проектирующей ‏ㅤ прямой ‏ㅤ a, т.е. ‏ㅤ соответствует не одной ‏ㅤ точке ‏ㅤ . Таким образом, ‏ㅤ соответствие между точками ‏ㅤ пространства тогда и ‏ㅤ только тогда будет ‏ㅤ геометрическим преобразованием, когда ‏ㅤ для него выполнены ‏ㅤ оба условия определения ‏ㅤ .

Рис.3.
3) Определение 2. ‏ㅤ Если точке ‏ㅤ A соответствует точка , ‏ㅤ то называется ‏ㅤ образом точки A, а ‏ㅤ A называют прообразом точки . ‏ㅤ Точки ‏ㅤ A и называют соответствующими ‏ㅤ друг другу в ‏ㅤ данном преобразовании, их ‏ㅤ записывают в виде ‏ㅤ упорядоченной пары ( ‏ㅤ A, ). На первом ‏ㅤ месте в паре ‏ㅤ записывают прообраз, а ‏ㅤ на втором—образ. Если ‏ㅤ A соответствует точка , ‏ㅤ то часто пишут ‏ㅤ и так: ‏ㅤ A → .
Замечание. Может случиться, что ‏ㅤ точка совпадает со ‏ㅤ своим прообразом ‏ㅤ A. В этом ‏ㅤ случае точка ‏ㅤ A называется неподвижной или двойной точкой преобразования ‏ㅤ .

2. 
   ПРИМЕРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ ‏ㅤ И ПРОСТРАНСТВА ‏ㅤ
   
   
   

Задача 1. В правильной ‏ㅤ треугольной пирамиде АВСD ‏ㅤ (рис.3) ребро АВ ‏ㅤ перпендикулярно ребру СD, ‏ㅤ угол АСВ равен ‏ㅤ углу АDВ, площадь ‏ㅤ сечения, проходящего через ‏ㅤ ребро АВ и ‏ㅤ середину ребра DС, ‏ㅤ равна S, DС ‏ㅤ = а. Найдите ‏ㅤ объем пирамиды АВСD. ‏ㅤ

Рис.3. ‏ㅤ

Решение:
1. Дана АВСD ‏ㅤ – правильная треугольная ‏ㅤ пирамида, АВ┴СD, DМ ‏ㅤ = МС, ˂ ‏ㅤ АСВ= ˂ АDВ, ‏ㅤ S ‏ㅤ _АВМ = S, ‏ㅤ DC=а. ‏ㅤ

2. Построим сечение ‏ㅤ АВМ, что V ‏ㅤ _АВСD = V ‏ㅤ _АВМС + V ‏ㅤ _АВМD.
3. В основании ‏ㅤ правильной треугольной пирамиды ‏ㅤ АВСD лежит правильный ‏ㅤ ∆ВСD. ВМ - ‏ㅤ медианой ΔВСD ВМ ‏ㅤ высота ΔВСD. ‏ㅤ
4. Так как ‏ㅤ АВ┴СD, ˂ АСВ= ‏ㅤ ˂ АDВ, СD┴ВМ ‏ㅤ СD┴АМ (по теореме ‏ㅤ о трех перпендикулярах) ‏ㅤ СD┴ АМ ∩ ‏ㅤ ВМ СD ┴(АВМ) ‏ㅤ (по признаку перпендикулярности ‏ㅤ прямой и плоскости) ‏ㅤ С и D ‏ㅤ симметричны относительно (АВМ). ‏ㅤ
5. Точки А ‏ㅤ и В лежат ‏ㅤ в плоскости (АВМ) ‏ㅤ и являются неподвижными ‏ㅤ точками ‏ㅤ
при преобразовании (АВМ) ‏ㅤ - плоскость симметрии ‏ㅤ пирамиды АВСD, а ‏ㅤ именно S ‏ㅤ _АВМ(С) = D, ‏ㅤ S ‏ㅤ _АВМ(А) = А, ‏ㅤ S ‏ㅤ _АВМ(В) = В. ‏ㅤ
6. (АВМ) разбивает ‏ㅤ треугольную пирамиду АВСD ‏ㅤ на две равные ‏ㅤ треугольные пирамиды АВMD ‏ㅤ и АВМС, у ‏ㅤ которых равны объемы ‏ㅤ [6]. ‏ㅤ

Задача 2. Дан тетраэдр ‏ㅤ АВСD. Постройте то ‏ㅤ его сечение, параллельное ‏ㅤ ребрам АВ и ‏ㅤ CD, которое является ‏ㅤ ромбом. Построение. Строим ‏ㅤ точку E на ‏ㅤ ребре АD, точка ‏ㅤ H суть параллельная ‏ㅤ CD проекция E ‏ㅤ на АС. Строим ‏ㅤ EF' параллельно АВ, ‏ㅤ EF' = ЕН. ‏ㅤ Луч AF' пересекает ‏ㅤ ВD в точке ‏ㅤ F.'' Точка F ‏ㅤ суть вершина искомого ‏ㅤ ромба. Чтобы его ‏ㅤ построить, необходимо выполнить ‏ㅤ гомотетию с центром ‏ㅤ в точке А ‏ㅤ и коэффициентом k=AF''AF'. ‏ㅤ Доказательство: Равенство EF' ‏ㅤ = ЕН при ‏ㅤ гомотетии сохраняется. При ‏ㅤ гомотетии вершина E ‏ㅤ перемещается по лучу ‏ㅤ АD, вершина Н ‏ㅤ по лучу АС. ‏ㅤ Докажем, что точка ‏ㅤ G расположена на ‏ㅤ прямой ВС. Действительно, ‏ㅤ прямая GH, параллельная ‏ㅤ АВ, делит ВС ‏ㅤ в том же ‏ㅤ отношении, в котором ‏ㅤ точка E делит ‏ㅤ AD. И прямая ‏ㅤ FG, параллельная CD, ‏ㅤ делит ВС в ‏ㅤ том же отношении. ‏ㅤ Значит, эти прямые ‏ㅤ пересекаются на ВС ‏ㅤ (рис.4). ‏ㅤ
Двигая точку Е ‏ㅤ на интерактивном рисунке ‏ㅤ наблюдайте преобразование. Подберите ‏ㅤ такое положение Е, ‏ㅤ при котором ‏ㅤ совпадут точки ‏ㅤ F'' и F'. ‏ㅤ

Рис.4 . ‏ㅤ
Задача 3. Даны точка ‏ㅤ А на плоскости ‏ㅤ П и сфера ‏ㅤ ω (O,r). Постройте ‏ㅤ сферу, которая касается ‏ㅤ плоскости П в ‏ㅤ точке А и ‏ㅤ сферы ω. Построение. ‏ㅤ Строим перпендикуляр к ‏ㅤ плоскости П через ‏ㅤ точку О и ‏ㅤ выбираем в качестве ‏ㅤ В любую из ‏ㅤ двух точек пересечения ‏ㅤ перпендикуляра со сферой ‏ㅤ ω. Строим точку ‏ㅤ С на пересечении ‏ㅤ прямой АВ и ‏ㅤ сферы ω. Строим ‏ㅤ центр Q искомой ‏ㅤ сферы как точку ‏ㅤ пересечения прямой СО ‏ㅤ и перпендикуляра к ‏ㅤ плоскости П через ‏ㅤ точку A. Доказательство: ‏ㅤ Две касающиеся сферы ‏ㅤ гомотетичны с центром ‏ㅤ гомотетии в точке ‏ㅤ касания. Образ плоскости ‏ㅤ П параллелен плоскости ‏ㅤ П. Если В ‏ㅤ суть образ А, ‏ㅤ то радиус ОВ ‏ㅤ перпендикулярен образу плоскости ‏ㅤ П и плоскости ‏ㅤ П. ‏ㅤ
Выполните исследование, изменяя ‏ㅤ параметры конфигурации. Постройте ‏ㅤ другое решение задачи ‏ㅤ [7].

Рис.5. ‏ㅤ


Задача 4. Можно ли ‏ㅤ взаимно-однозначно отобразить: а) ‏ㅤ поверхность куба на ‏ㅤ поверхность другого куба; ‏ㅤ б) поверхность куба ‏ㅤ на сферу; в) ‏ㅤ сферу с выколотой ‏ㅤ точкой на плоскость? ‏ㅤ Сделайте соответствующие рисунки. ‏ㅤ
Решение. а) Достаточно ‏ㅤ кубы расположить так, ‏ㅤ чтобы совпали их ‏ㅤ центры, а грани ‏ㅤ одного были параллельны ‏ㅤ граням другого. Тогда ‏ㅤ поверхность одного куба ‏ㅤ взаимно-однозначно отображается на ‏ㅤ поверхность другого куба ‏ㅤ посредством центрального проектирования ‏ㅤ из их общего ‏ㅤ центра. (Аналогичная задача ‏ㅤ планиметрии — о ‏ㅤ взаимно-однозначном отображении одного ‏ㅤ квадрата на другой ‏ㅤ посредством центрального проектирования.) ‏ㅤ
б) Достаточно центр ‏ㅤ сферы совместить с ‏ㅤ центром куба, тогда ‏ㅤ поверхность куба взаимно-однозначно ‏ㅤ отображается на сферу ‏ㅤ посредством центрального проектирования ‏ㅤ из их общего ‏ㅤ центра. (Аналогичная задача ‏ㅤ планиметрии — о ‏ㅤ взаимно-однозначном отображении квадрата ‏ㅤ — замкнутой ломаной ‏ㅤ — на окружность ‏ㅤ посредством центрального проектирования.) ‏ㅤ
в) Если в ‏ㅤ сфере с диаметром ‏ㅤ АВ «выколота» точка ‏ㅤ А, то достаточно ‏ㅤ провести через точку ‏ㅤ В, плоскость перпендикулярно ‏ㅤ прямой АВ. Тогда ‏ㅤ посредством центрального проектирования ‏ㅤ с центром А ‏ㅤ осуществляется взаимно-однозначное отображение ‏ㅤ данной сферы на ‏ㅤ эту плоскость. (Аналогичная ‏ㅤ задача планиметрии: окружность ‏ㅤ с выколотой точкой ‏ㅤ А и диаметром ‏ㅤ АВ посредством проектирования ‏ㅤ из точки А ‏ㅤ взаимно-однозначно отображается на ‏ㅤ прямую, проведенную через ‏ㅤ точку В перпендикулярно ‏ㅤ АВ). ‏ㅤ
Задача 5. Даны ‏ㅤ точка ‏ㅤ O и фигура ‏ㅤ F. Рассмотрим все ‏ㅤ точки пространства, симметричные ‏ㅤ точке O относительно ‏ㅤ всех точек фигуры ‏ㅤ F. Какую фигуру ‏ㅤ они образуют, если ‏ㅤ фигура F: а) ‏ㅤ отрезок; б) прямая; ‏ㅤ в) плоскость; г) ‏ㅤ треугольник; д) куб; ‏ㅤ е) шар? Ответ ‏ㅤ поясните на рисунке. ‏ㅤ
Решение. а) Пусть ‏ㅤ в качестве фигуры ‏ㅤ F дан отрезок ‏ㅤ АВ. Тогда из ‏ㅤ Z ‏ㅤ _А(О) = А ‏ㅤ _{1 и} ‏ㅤ Z_В(О) = В ‏ㅤ _{1 следует соответственно} ‏ㅤ ОА_{1 = 2} ‏ㅤ ОА и ОВ ‏ㅤ _{1= 2}ОВ. Значит, отрезок ‏ㅤ А ‏ㅤ ₁В_{1 C} ‏ㅤ АВ и |А ‏ㅤ ₁В_{1 | = 2|} ‏ㅤ АВ|. Если М— ‏ㅤ любая точка отрезка ‏ㅤ АВ и Z ‏ㅤ _М(О) =М_1,
то точка ‏ㅤ М_{1 принадлежит отрезку} ‏ㅤ А₁В_{1. В силу} ‏ㅤ _{произвольного выбора точки} ‏ㅤ М на отрезке ‏ㅤ АВ, приходим к ‏ㅤ выводу: множеством всех ‏ㅤ точек, симметричных точке ‏ㅤ Относительно всех точек ‏ㅤ отрезка АВ, является ‏ㅤ такой отрезок А ‏ㅤ ₁В_{1, что}
А₁В₁ АВ и |А ‏ㅤ ₁В_{1 | = 2|} ‏ㅤ АВ|.
Аналогично решаются остальные ‏ㅤ задачи этого номера. ‏ㅤ
Ответ: б)–е): одноименную ‏ㅤ фигуру. ‏ㅤ
Симметрия с центром ‏ㅤ в начале координат, ‏ㅤ при которой точка ‏ㅤ М(x; y; z) ‏ㅤ отображается на точку ‏ㅤ М'(x'; y'; z'), ‏ㅤ задается формулами: ‏ㅤ
x' = –x, ‏ㅤ y' = –y, ‏ㅤ z' = –z. ‏ㅤ
Пользуясь этими формулами, ‏ㅤ полезно рассмотреть вопрос ‏ㅤ о композиции отображений ‏ㅤ (преобразований). ‏ㅤ