Produkte von Operatoren. Kommutator
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- Baker-Hausdorff-Identität
- 4. Postulat: Messwahrscheinlichkeiten
- Quantenmechanischer Erwartungswert (qmEWW) einer Observablen Q im Zustand
- Schrödinger-Gleichung
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1 6 Woche 17./18.5.11 • Produkte von Operatoren. Kommutator
Def.: ( ) ( )
ψ = ψ Bˆ Aˆ Bˆ Aˆ
(5.10) Im Allgemeinen sind Operatoren nicht vertauschbar. Die Differenz
[ ]
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ : Bˆ , Aˆ − =
(5.11)
wird Kommutator der Operatoren Aˆ und Bˆ genannt.
■
] h h h h h i x x 1 x x i x x x x i x x i x i x pˆ , xˆ . Ortsd
x = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + + ∂ ∂ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − =
→ komplexe Zahl
■ 0 x x x x x , x i j 2 j i 2 j i = ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ (stetige WF)
■
j i ij j i i j j i . Ortsd
j i x x x x x x x x x , x δ − = ∂ ∂ − δ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ also
[ ] ij j i i pˆ , xˆ δ = h
(5.12)
Bem.: Vergleiche mit fundamentalen Poisson-Klammern. ■ Komponenten des Bahndrehimpulses Drehimpuls ∇ ×
× = → × = − − r i pˆ rˆ Lˆ p r L Orts . darst enz Korrespond prinzip h
Für den Kommutator der Operatoren der Komponenten des Drehimpulses erhalten wir
[
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] z x y i z y i z x z y Null x y Null z z x z z x y z y x Lˆ i ) pˆ y pˆ x ( i pˆ , z pˆ x z , pˆ pˆ y pˆ x , pˆ z pˆ z , pˆ z pˆ x , pˆ y pˆ z , pˆ y pˆ x pˆ z , pˆ z pˆ y Lˆ , Lˆ h h 3 2 1 3 2 1 43 42 1 43 42 1 h h = − = + = = + − − = − − = −
2
[ ] k ijk j i Lˆ i Lˆ , Lˆ ε = h
(5.13)
■ Für den Hamilton-Operator ) r ( U m 2 pˆ Hˆ 2 + = eines qmT bei Bewegung in U(r) ist
[ ] i i pˆ m i xˆ , Hˆ h − = und [ ] i i i x U i x i , ) r ( U pˆ , Hˆ ∂ ∂ − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ − = h h (5.14)
■ Matrixelemente von Bˆ Aˆ
( ) ∑ ∑ ′ ′ = ′ = ′ = ′ = k n k nk k n n B A n Bˆ k k Aˆ n n Bˆ 1ˆ Aˆ n n Bˆ Aˆ n Bˆ Aˆ (5.15)
→ Matrizenmultiplikation
■ Beachte die Relationen
(i)
[ ] [ ] [ ] Bˆ Cˆ
Aˆ Cˆ , Bˆ Aˆ Cˆ , Bˆ Aˆ + =
(ii) [ ]
[ ] [ ] ... Bˆ , Aˆ , Aˆ ! 2 1 Bˆ , Aˆ Bˆ e Bˆ e Aˆ Aˆ + + + = −
→ Baker-Hausdorff-Identität
wobei der Ausdruck Aˆ e durch die Potenzreihe ∑ ∞
= 0 n n Aˆ Aˆ ! n 1 : e definiert ist .
3
sie kommutieren.
( →) Angenommen, Aˆ und Bˆ haben einen gemeinsamen VONS von EF { } n
, d.h. n n n a Aˆ ψ = ψ und n n n b Bˆ ψ = ψ . Dann gilt für alle ∈ ψ H
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ψ = ψ = ψ = ψ = ψ = ψ n n n n n n n n n n n n n n n n n n n . Vollst a b c Aˆ b c b c Aˆ Bˆ c Aˆ c Bˆ Aˆ Bˆ Aˆ bzw.
∑ ψ = = ψ n n n n n b a c ... Aˆ Bˆ . Also ist 0 Aˆ
Bˆ Aˆ = ψ − ψ , für beliebige ψ , denn die EW sind als i.a. komplexe Zahlen beliebig vertauschbar.
←) Sei [ ]
0 Bˆ , Aˆ = . Dann ist mit n ψ
n Bˆ ψ Lösung des EWP n n n a Aˆ ψ = ψ , also EF von Aˆ , denn
( ) ( ) n n n n n n Bˆ a a Bˆ Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ ψ = ψ = ψ = ψ .
Angenommen, der EW a n ist nicht entartet. Dann entspricht ihm (bis auf Multiplikation mit einer (Normierungs)Konstanten) genau eine EF n ψ , es muss also . b : const
Bˆ n n n n ψ = ψ = ψ
Das bedeutet, n ψ ist auch EF von Bˆ (zum EW b n ).
4 Im Fall a n entartet wird der Beweis etwas aufwendiger, da dann n n const Bˆ ψ ≠ ψ möglich ist: Angenommen, der EW a n { } ) k ( n ) 1 ( n , ... , ψ ψ eine Basis im Eigenraum von Aˆ zu diesem a n . Wie oben gezeigt, sind alle k , ... , 1 i Bˆ ) i ( n = ψ auch EF zu Aˆ , d.h. nach den { }
) i ( n ψ entwickelbar ) i ( n k j ij ) i ( n c Bˆ ψ = ψ ∑ (*). Wir behaupten, es gibt EF von Bˆ , die passende Linearkombinationen der ) i ( n ψ und damit auch EF von Aˆ sind: Wir suchen also φ derart, dass gilt φ = φ b Bˆ und ) i ( n k i i c ψ = φ ∑ .
Wir haben
i ( n k i i ) i ( n k i i c b c Bˆ Bˆ ψ = ψ = φ ∑ ∑ und
) j ( n k j ij k i i (*)
) i ( n k i i ) i ( n k i i c c Bˆ c c Bˆ Bˆ ψ = ψ = ψ = φ ∑ ∑ ∑ ∑
also
) i ( n k i i ) j ( n k j ij k i i c b c c ψ = ψ ∑ ∑ ∑ und schließlich ∑ ∑
= ψ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ δ − k j ) i ( n k i ij i ij i 0 c b c c .
Das führt auf das EWP 0 c ) b c ( k i i ij ij = δ − ∑ für die Matrix c ij :
⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∴ = ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∴ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∴ ∴ ∴ ∴ − − 0 0 0 c c c c ... c c c ... b c c c ... c b c k 2 1 kk 2 k 1 k k 2 22 21 k 1 12 11
Es hat k Lösungen; diese sind reell, wenn Bˆ ein hermitescher Operator ist (s.u). Beachte, dass allen
) j ( n k j ) i ( j ) i ( c ψ = φ ∑ derselbe EW a n bzgl. Aˆ , aber i.a. unterschiedliche EW b (i) bzgl. Bˆ entsprechen.
5
• Adjungierte und selbstadjungierte Operatoren. Im Zusammenhang mit Operatoren im Skalarprodukt ∫ ψ
= ψ φ ) x ( Qˆ ) x ( x d Qˆ * f definieren wir den adjungierten Operator + Qˆ .
Def.: + Qˆ ist der zu Qˆ adjungierte Operator, wenn für beliebige Kets φ und
ψ gilt
ψ φ = ψ φ + Qˆ Qˆ , ∈ ψ φ , H
(5.16) Def.: Q ˆ heißt selbstadjungiert oder hermitesch , wenn Qˆ Qˆ
+ .
(5.17)
Eigenschaften: (i) Qˆ
) Qˆ ( = + + , Qˆ ) Qˆ ( * λ = λ + (
∈ λ C )
(ii) Mit Aˆ und Bˆ ist auch Bˆ Aˆ
+ α , ∈ β α, C ein selbstadjungierter Operator.
(iii)
+ + + = Aˆ Bˆ ) Bˆ Aˆ (
denn ψ φ = ψ φ = ψ φ = ψ φ = ψ φ + + + + Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ ) Bˆ ( Aˆ ) Bˆ Aˆ ( ) Bˆ Aˆ (
.
Also ist das Produkt zweier vertauschbarer hermitescher Operatoren hermitesch Bˆ Aˆ Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ ) Bˆ Aˆ ( = = = + + + . Da jeder Operator mit sich selbst kommutiert, ist der Operator ) Aˆ ( f hermitesch, wenn Aˆ hermitesch ist und die Funktion f als Potenzreihe (Taylor-Reihe) darstellbar ist.
(iv)
[ ] [ ] + + + = Aˆ , Bˆ Bˆ , Aˆ denn
[ ] [ ] + + + + + + + + + = − = − = Aˆ , Bˆ Bˆ Aˆ Aˆ Bˆ ) Aˆ , Bˆ ( ) Bˆ , Aˆ ( Bˆ , Aˆ .
6 Folglich ist der Kommutator aus zwei hermiteschen Operatoren Aˆ und Bˆ antihermitesch
[ ] [ ] [ ] [ ] Bˆ , Aˆ Aˆ , Bˆ Aˆ , Bˆ Bˆ , Aˆ − = = = + + + . Dagegen ist der Operator [ ]
Bˆ , Aˆ i hermitesch, wenn Aˆ und Bˆ hermitesch sind.
■
∇ − = h i pˆ und ) r ( U m 2 Hˆ 2 2 + ∇ − = h hermitesche Operatoren sind. Z.B. ⎟⎟
⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ φ ∇ − ψ = φ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ψ ∇ − ∫ ∫ ∞ ∞ − ↑ ∞ ∞ − ) r ( m 2 ) r ( r d ) r ( ) r ( m 2 r d 2 2 * 3 * 2 2 3 h h ,
↑ zweimal partiell integrieren unter der Voraussetzung, dass ψ(r) und φ(r) im Unendlichen verschwinden. • Eigenwerte und Eigenfunktionen hermitescher Operatoren
n ψ ist Eigenfunktion ( → Eigenvektor, Eigenzustand) des Operators Qˆ zum Eigenwert q n
wenn gilt
n n n q Qˆ ψ = ψ
→ Eigenwertgleichung. (5.18)
Satz: EW hermitescher Operatoren sind reell.
Beweis: n n * n n n n * n n n n n n n n n n n n n n n n n n ) q q ( 0 ) q q Qˆ Qˆ Qˆ q q Qˆ ψ ψ − = − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ψ ψ = ψ ψ = ψ ψ = ψ ψ = ψ ψ ψ ψ = ψ ψ = ψ ψ +
Da
0 n n ≠ ψ ψ folgt * n n q q =
(für diskretes und kontinuierliches Spektrum) .
7
Beweis: Seien die EW q n und q
m des
Qˆ Qˆ = + entsprechend n n
q Qˆ ψ = ψ und m m m q Qˆ ψ = ψ nicht entartet. Wir haben n m m q q n m * m n m Qˆ Qˆ n m n m n q q Qˆ Qˆ q * m m ψ ψ = ψ ψ = ψ ψ = ψ ψ = ψ ψ = = + . Daraus folgt n m
n ) q q ( 0 ψ ψ − = bzw.
0 n m = ψ ψ für m n q q ≠ .
Auch wenn mehrere EF zu einem EW gehören, also im Fall der Entartung, können die EF eines hermiteschen Operators immer so gewählt werden, dass die Orthogonalitätsrelationen erfüllt sind ( → Hilbert-Schmidt-Verfahren, vgl. S. 4).
5.5 Fünf Postulate
1. Postulat: Zustand eines quantenmechanischen Systems (qmS)
Alle physikalischen Eigenschaften eines qmS zur Zeit t sind im Zustandsvektor (ZV) ) t ( ψ
codiert. Alle möglichen Zustände bilden einen linearen Raum, den Zustandsraum H. Beachte: 1. Da H linear, ergeben Linearkombinationen von ZV neue ZV → Superpositionsprinzip.
Jede Observable 1) Q wird durch einen im Zustandsraum H wirkenden linearen hermiteschen Operator beschrieben.
Folge: EF von + = Qˆ
Qˆ bilden VONS, also eine Basis in H, und EW von + = Qˆ
Qˆ reell.
8 Fazit: QM beschreibt den Zustand eines Systems durch einen Vektor ) t ( ψ , die Observablen, also die beobachtbaren (messbaren) physikalischen Größen (Energie, Ort, Impuls, Drehimpuls, usw.), durch hermitesche Operatoren im H.
physikalischer Größen
3. Postulat: Messwerte, Zustandsreduktion
Wird eine Observable Q im Zustand ψ gemessen, so kann das Messergebnis nur einer der EW des zugeordneten Operators Qˆ sein. Zusatz: Unmittelbar nach der Messung befindet sich das qmS in dem zum EW q n gehörenden Eigenzustand n ψ von Qˆ (entsprechend n n n q Qˆ ψ = ψ ).
Also: Messe Q im Zustand Postulat . I → ψ bedeutet Zuordnung Qˆ Q Postulat . II → und Messung
der nach
r unmittelba d tan
Zus n Messwerte n n q Qˆ ψ = ψ .
Dass die EW von Qˆ die möglichen Messwerte von Q sind ist einer der Gründe, den Observablen hermitesche Operatoren zuzuordnen. Bei diskretem Spektrum von Qˆ sind die möglichen Messergebnisse "quantisiert".
Beachte: Messung ändert den Zustand! n Q von Messung q Ergebnis mit n ψ → ψ → Zustandsreduktion Eine (unmittelbar) anschließende zweite Messung trifft qmS u.U. bereits in einem anderen Zustand an.
9 • Welcher der möglichen Messwerte q n wird tatsächlich gemessen? Die Antwort auf diese Frage ist abhängig von Systemzustand ψ und statistischer Natur. 4. Postulat: Messwahrscheinlichkeiten
Wird die Observable Q eines qmS im (normierten) Zustand ψ gemessen, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis der (nichtentartete) EW des dazugehörigen (hermiteschen) Operators Qˆ ist, gleich
2
n ) q q ( ob Pr ψ ψ = = , n n n q Qˆ ψ = ψ .
(5.19)
Anders formuliert: Der Zustand ψ , in dem die Observable Q gemessen werden soll (er sei bekannt) ist als Superposition der EF n ψ von Qˆ darstellbar (da + = Qˆ Qˆ , bildet { } n
eine Basis in H)
ψ
= ψ = ψ ∑ n n n n n c , c .
Die Wahrscheinlichkeit der Messergebnisse ist durch das Betragsquadrat der Entwicklungskoeffizienten gegeben.
∑ = ψ ψ = = n g 1 1 2 n n ) q q ( ob Pr .
(5.20)
Dabei ist g n der Entartungsgrad des EW q n und
{ } i n ψ das System orthonormierter Vektoren, die im Eigenraum H n zum EW q n von Qˆ eine Basis bilden.
Beachte: Für die bedingte Wahrscheinlichkeit Prob(q = q m | q = q
n ) gilt
10 ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = δ = ψ ψ = = = n m , 0 n m , 1 ) q q | q q ( ob Pr mn 2 n n m
(5.21) → Eine "zeitnahe" erneute Messung von Q ergibt mit Sicherheit wieder q n . Offensichtlich sichert die Zustandsreduktion die Reproduzierbarkeit der Messung: Für eine Theorie, die Anspruch auf die Beschreibung von Experimenten erhebt, ist die Reproduzierbarkeit einer Messung unverzichtbar.
Sicher ist ( → 3. Postulat), dass eine Messung von Q im Zustand ψ (
Eigenwert q n aus dem Spektrum des repräsentierenden Operators + = Qˆ
Qˆ ( → 2. Postulat) ergibt. Welcher der Eigenwerte tatsächlich gemessen wird, kann nur mit einer Wahrscheinlichkeit 2 n
ψ vorhergesagt werden ( → 4. Postulat).
• Quantenmechanischer Erwartungswert (qmEWW) einer Observablen Q im Zustand ψ
Wir haben ∑ = n n q Qˆ Prob(q = q n ) =
(5.22) ___
__________ __________ 1ˆ n
n n n n n n n EWG
n n n n n n n n n n * n n n 2 n n Qˆ Qˆ Qˆ Qˆ Qˆ q q q q ψ = ψ ψ = ψ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ψ ψ ψ = ψ ψ ψ ψ = ψ ψ ψ ψ = = ψ ψ ψ ψ = ψ ψ ψ ψ = ψ ψ ψ ψ = ψ ψ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 4 4 3
4 4 2
1 .
Dieser (darstellungsunabhängige) Ausdruck für den qmEWW verallgemeinert die uns aus der Schrödinger´schen Wellenmechanik bekannte Relation
∫
ψ = ) r ( Qˆ ) r ( r d Qˆ * 3
11 • Projektionsoperator und Messung
Die Wahrscheinlichkeit, mit der q n gemessen wird, ist
Prob(q = q n ) ψ ψ = ψ ψ ψ ψ = ψ ψ = ψ n Pˆ n n 2 n , also gleich dem qmEWW des Projektors n n
n Pˆ Pˆ ψ ψ = ≡ ψ EW von Qˆ gemessen wird, muss gelten
1 = ∑ n Prob(q = q n ) 1 n n n = ψ ψ = ψ ψ ψ ψ = ∑ . (vgl. 4. Postulat)
Das ist die darstellungsunabhängige Formulierung der Normierungsbedingung, die wir in der Schrödingerschen Wellenmechanik in der Form
1 ) r ( ) r ( r d * 3 = ψ ψ ∫
bereits kennen gelernt haben ( → statistische Interpretation der Wellenfunktion).
Außerdem lässt sich der qmEWW in der Form ∑ ∑ ∑ ∑ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ψ ψ ψ ψ = ψ ψ ψ ψ = ψ ψ = ψ ψ = n n n n n n n n 2 n n n 2 n n Qˆ q q q Qˆ
also
( ) Qˆ Pˆ Sp Qˆ Pˆ Qˆ n n n ⋅ = ψ ⋅ ψ = ψ ψ ∑
darstellen.
12
Die zeitliche Entwicklung des ZV ψ wird durch
)
( Hˆ ) t ( t i ψ = ψ ∂ ∂ h
→ Schrödinger-Gleichung (5.23)
mit dem (hermiteschen) Hamilton-Operator des qmS beschrieben. Bem.: Gemeint ist die zeitliche Entwicklung des Zustand zwischen zwei Messungen; ansonsten Zustandsreduktion. Download 235.37 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
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