Proektiv tekislik. Proektiv fazo aksiomalari Proektiv geometriyaning asosiy faktlari
Download 318.04 Kb. Pdf ko'rish
|
8-ma'ruza. Proektiv tekislik. Proektiv fazo.
|
Proektiv tekislik. Proektiv fazo. Proektiv fazo aksiomalari Proektiv geometriyaning asosiy faktlari Proyektiv geometriyaning o’zi nima? Turli geometriyalar qanday paydo bo’ladi?
1.Aksiomatik metod bilan geometriya ko’rish mumkin.Masalan, Yevklid geometriyasi asosiy tushunchalar «nuqta » va «masofa» bo’lib, ular quyidagi aksiomalarni qanoatlantiradi:
, ( ) , ( ) , ( , , ) , ( ) , ( 0 , C B B A C A uchun C B A A B B A B A
2. F.Kleyn nazariyasi bilan geometriyalar ko’rish mumkin. Har bir geometriya biror almashtirishlar gruppasining invariantlarining o’rgatadi. Masalan, Yevklid geometriyasi harakatlar {D}, o’xshash almashtirishlar {R} gruppasining invariantlarini o’rgansa, Affin geometriyasi affin almashtirishlar gruppasini invariantlarini o’rganadi. Proyektiv geometriya eng muhim geometriya bo’lib, Keli tabiri bo’yicha u «Hamma geometriya»larini o’z ichiga olgan bo’lib, proyektiv almashtirishlarning invariantlarini o’rgatadi. Proyektiv almashtirishning o’zi nima? Bu almashtirish ham tarixan kishilarning ehtiyojini qondirish maqsadida kelib chiqqan. Aniqrog’i, fazoviy figuralarni tasvir qilishdir. Masalan jismlarni ko’z orqali tasavvur qilish bunda M va M’ nuqtalarni birlashtiruvchi to’g’ri chiziqlarning hammasi bir S nuktadan – « ko’z qorachig’idan» o’tadi. Bunday akslantirishlarning ko’paytmasi Ponem ta’rifi bo’yicha proyektiv almashtirish deyiladi.
Uning asosiy xossalari quyidagilardan iborat. 1. «Qarashli» munosabati saqlanadi. (1-chizma )
Agar
F M bo’lsa 1 1
M bo’ladi. 2. Kesmaning uzunligi va burchakning kattaligi o’zgaradi, chunki bunda bir to’g’ri chiziqda yotuvchi uchta nuqtaning oddiy nisbati saqlanmaydi (2-chizma)
𝑔 1 → 𝑔, (𝑆𝐵) − ∠𝐴𝑆𝐶 ning bissektrisasi 𝑆𝐴 ′ 𝑆𝐶 ′ = 𝐴 ′ 𝐵 ′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ < 1,
𝑆𝐴 𝑆𝐵 = 𝐴𝐵 𝐵𝐶 > 1. Demak, 𝐴 ′
′ 𝐵 ′ 𝐶 ′ ≠ 𝐴𝐵 𝐵𝐶
, (𝐴𝐵. 𝐶) ≠ (𝐴 ′ 𝐵 ′ . 𝐶
′ )
3. «orasida» tushunchasi saqlanmaydi. (4 – chizma).
П ХХ ХХ В В П П Sdan C B А B C A ), ( , , ) , , ( ) , , ( 1 1 1
4. Kesma nurga o’tishi mumkin (3-chizma) Agar П // П 1 bo’lsa, markaziy proyeksiyalash o’zaro bir qiymatli, aks holda ( П П ) markaziy proyeksiyalash o’zaro bir qiymatli emas (5- chizma).
Р- ning asli yo’q, Q 1 – ning tasviri yo’q. Shuning uchun tekislikdagi har bir to’g’ri chiziqni bitta cheksiz uzoqlashgan (xosmas) nuqta bilan to’ldiramiz. Har bir tekislik bitta (xosmas) yoki cheksiz uzoklashgan to’g’ri chiziq bilan to’ldiriladi. E 3 fazoni xosmas nuqta va xosmas to’g’ri chiziqlardan iborat xosmas tekislik bilan to’ldiramiz. Shu usul bilan rekostruksiya qilingan E 3 fazo proyektiv fazo deyiladi va Р 3 kabi belgilanadi. Shu munosabat bilan E 3 dagi to’g’ri chiziq va tekisliklarning o’zaro joylashuvi o’zgaradi. Masalan 1 Р 2 da yotuvchi ixtiyoriy ikkita to’g’ri chiziq o’zaro kesishadi. 2. Tekislikda yotmaydigan to’g’ri chiziq albatta bu tekislikni kesadi. 3. Ixtiyoriy ikkita tekislik to’g’ri chiziq bo’yicha kesishadi Shuni ta’kidlash joizki, markaziy proyeksiyalash natijasida xosmas nuqta va maxsus (oddiy nuqtaga o’tishi) mumkin. Masalan 5-chizmadagi q’ to’g’ri chiziqning xosmas nuqtasi p ning oddiy nuqtasiga o’tadi. Bundan tashqari proyektiv geometriyani shu modelda o’rgatadigan bo’lsak, u holda E 3 dagi «orasida » «parallel», «kesmaning uzunligi», «burchakning kattaligi» tushunchalaridan foydalanishga to’g’ri keldi. Bu tushunchalar markaziy proyeksiyalashning invariantlari emas. Shu sababli, proyektiv fazoning boshqa modellari bilan tanishib chiqamiz. 1.Aksiomatik metod bilan qurilgan proyektiv fazo. 2.Kengaytirilgan Yevklid fazosi . 3.Vektor fazo yordamida qurilgan proyektiv fazo va h. k.
Faraz kilaylik, V – (n+1) o’lchovli haqiqiy vektor fazo V’ shu fazoning О bo’lmagan vektorlar to’plami bo’lsin V’ = V/{ О }.
Ta’rif: Quyidagi ikki aksiomani bajaruvchi f :V 1
akslantirish mavjud bo’lsa, P - n o’lchovli proyektiv fazo deyiladi. 1 0
f – syur’yektiv, ya’ni R dan olingan har bir element originalga ega. 2 0 𝑥⃗𝐼𝐼𝑦⃗ ⇔ 𝑓(𝑥⃗) = 𝑓(𝑦⃗) P - ning elementlarini nuqtalar deb ataladi va A,B,C,... kabi belgilanadi. Agar f(
) = x bo’lsa, x ni x vektor hosil qildi deymiz. 2 0 - aksiomadan ko’rinib turibdiki , Р dagi bitta nuqtani hosil qilgan vektorlar to’plami V 1 /{ О } dan iboratdir. Kolleniar bo’lmagan vektorlar turli nuqtalarni hosil qilganligi sababli Р n
cheksiz ko’p nuqtalardan iboratdir. Biz faqat Р 2 ba’zan Р 3 bilan shug’ullanamiz xolos. Faraz qilaylik Р 3 ni hosil qilgan V 4 ning fazo osti bo’lmish V 2 , V 3 ni
qaraylik. Agar V 1 /{ О } nuqtani hosil qilsa, V 2 /{
} hosil qilgan elementlar to’g’ri chiziqlar, V 3 /{
}hosil qilgan elementlar esa tekisliklar deb ataladi.
To’g’ri chiziqlar a,b,с,…… kabi , tekisliklar esa ,... , , kabi belgilanadi.To’g’ri chiziqlar va tekisliklar ko’p nuqtalardan iborat bo’ladi. Bu modelda quyidagilarni ko’rsatish mumkin. 1.Р 3 da bir to’g’ri chiziqda yotmagan uchta nuqta bir tekislikda yotmagan to’rtta nuqta mavjuddir. 2. Ikki A va B nuqtalar orqali bitta va faqat bitta to’g’ri chiziq o’tadi. 3. Bir to’g’ri chiziqda yotmagan uchta A,В,С nuqtalardan bitta va faqat bitta tekislik o’tadi. 4. Agar A,В nuqtalar tekislikka qarashli bo’lsa, (AВ) to’g’ri chiziq shu tekislikka qarashli bo’ladi. 5. Bir tekislikka qarashli har qanday ikki to’g’ri chiziq kesishadi.
6. Tekislikka qarashli bo’lmagan to’g’ri chiziq albatta uni kesadi. 7.
П П ,
П П , uchun bajarilidi.
Download 318.04 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|