Proektiv tekislik. Proektiv fazo aksiomalari Proektiv geometriyaning asosiy faktlari


Download 318.04 Kb.
Pdf ko'rish
Sana21.11.2020
Hajmi318.04 Kb.

Proektiv tekislik. Proektiv fazo. Proektiv fazo aksiomalari Proektiv 

geometriyaning asosiy faktlari

 

             Proyektiv geometriyaning o’zi nima? Turli geometriyalar qanday 

paydo bo’ladi? 

               

1.Aksiomatik metod bilan geometriya ko’rish mumkin.Masalan, Yevklid 

geometriyasi  asosiy  tushunchalar  «nuqta  »  va  «masofa»  bo’lib,  ular 

quyidagi aksiomalarni qanoatlantiradi: 

                             



)



,

(

)



,

(

)



,

(

,



,

)

,



(

)

,



(

0

,



C

B

B

A

C

A

uchun

C

B

A

A

B

B

A

B

A









  

 

2.  F.Kleyn  nazariyasi  bilan  geometriyalar  ko’rish  mumkin.  Har  bir 



geometriya  biror  almashtirishlar    gruppasining  invariantlarining 

o’rgatadi.  Masalan,  Yevklid  geometriyasi  harakatlar  {D},  o’xshash 

almashtirishlar  {R}  gruppasining  invariantlarini  o’rgansa,  Affin 

geometriyasi affin almashtirishlar gruppasini invariantlarini o’rganadi.  

         Proyektiv  geometriya  eng  muhim  geometriya  bo’lib,  Keli  tabiri 

bo’yicha u «Hamma geometriya»larini o’z ichiga olgan bo’lib, proyektiv 

almashtirishlarning invariantlarini  o’rgatadi. Proyektiv almashtirishning 

o’zi nima?  Bu almashtirish ham tarixan kishilarning ehtiyojini qondirish 

maqsadida kelib chiqqan. Aniqrog’i, fazoviy figuralarni tasvir qilishdir. 

Masalan jismlarni ko’z orqali tasavvur qilish bunda va M’ nuqtalarni  

birlashtiruvchi  to’g’ri  chiziqlarning  hammasi  bir  S    nuktadan  –  «  ko’z 

qorachig’idan»  o’tadi.  Bunday  akslantirishlarning  ko’paytmasi  Ponem 

ta’rifi bo’yicha proyektiv almashtirish deyiladi.  


Uning asosiy xossalari quyidagilardan iborat.  

1.  «Qarashli» munosabati saqlanadi.  (1-chizma ) 

 

Agar 


F

M

bo’lsa  



1

1

F



M

bo’ladi. 



2.  Kesmaning  uzunligi  va  burchakning  kattaligi  o’zgaradi,  chunki 

bunda bir to’g’ri chiziqda yotuvchi uchta nuqtaning oddiy nisbati 

saqlanmaydi (2-chizma) 

 

 



𝑔

1

→ 𝑔,  (𝑆𝐵) − ∠𝐴𝑆𝐶 ning bissektrisasi  



𝑆𝐴

𝑆𝐶



=

𝐴



𝐵



𝐵

𝐶





< 1,  

  

𝑆𝐴



𝑆𝐵

=

𝐴𝐵



𝐵𝐶

> 1.  Demak, 

𝐴



𝐵



𝐵



𝐶



𝐴𝐵

𝐵𝐶

 



,  (𝐴𝐵. 𝐶) ≠ (𝐴

𝐵



. 𝐶


 



 

 

 



3.  «orasida» tushunchasi  saqlanmaydi. (4 – chizma). 

  

П



П

ХХ

ХХ

В

В

П

П

Sdan

C

B

А

B

C

A







),

(



,

,

)



,

,

(



)

,

,



(

1

1



1

  

4. Kesma nurga o’tishi mumkin (3-chizma)  



 

Agar  П

//

  П



bo’lsa,  markaziy  proyeksiyalash  o’zaro  bir  qiymatli,  aks 

holda   (





П

П 

) markaziy proyeksiyalash o’zaro bir qiymatli  emas (5-

chizma).  

 

 


Р- ning asli yo’q,  Q

– ning tasviri yo’q.  



Shuning  uchun  tekislikdagi  har  bir  to’g’ri  chiziqni  bitta  cheksiz 

uzoqlashgan  (xosmas) nuqta bilan to’ldiramiz.  

Har  bir  tekislik  bitta  (xosmas)  yoki  cheksiz  uzoklashgan  to’g’ri 

chiziq  bilan to’ldiriladi.  



E

fazoni  xosmas  nuqta  va  xosmas    to’g’ri  chiziqlardan  iborat 



xosmas tekislik bilan to’ldiramiz. Shu usul bilan rekostruksiya  qilingan  

E

fazo proyektiv fazo deyiladi va Р



3

 kabi belgilanadi. Shu munosabat 

bilan E

dagi to’g’ri chiziq va tekisliklarning o’zaro  joylashuvi  o’zgaradi. 



Masalan 

Р

da yotuvchi  ixtiyoriy ikkita to’g’ri chiziq o’zaro kesishadi.  



2. Tekislikda yotmaydigan to’g’ri chiziq albatta bu tekislikni kesadi. 

3. Ixtiyoriy ikkita tekislik to’g’ri chiziq  bo’yicha kesishadi 

Shuni ta’kidlash joizki, markaziy proyeksiyalash natijasida xosmas nuqta 

va maxsus  (oddiy nuqtaga o’tishi)  mumkin. Masalan 5-chizmadagi q’ 

to’g’ri chiziqning xosmas nuqtasi p ning oddiy nuqtasiga o’tadi. Bundan 

tashqari  proyektiv  geometriyani    shu  modelda  o’rgatadigan  bo’lsak,  u 

holda E

dagi «orasida » «parallel», «kesmaning uzunligi», «burchakning 



kattaligi» tushunchalaridan foydalanishga to’g’ri keldi.  Bu tushunchalar 

markaziy  proyeksiyalashning  invariantlari  emas.  Shu  sababli,  proyektiv 

fazoning boshqa modellari  bilan tanishib chiqamiz.  

1.Aksiomatik metod bilan qurilgan proyektiv fazo. 

2.Kengaytirilgan Yevklid fazosi . 

3.Vektor fazo yordamida qurilgan proyektiv fazo va h. k. 

 

 


Faraz kilaylik,  – (n+1) o’lchovli haqiqiy vektor fazo  V’ shu fazoning

О

 bo’lmagan vektorlar to’plami  bo’lsin  V’ V/{



О

}. 


Ta’rif: Quyidagi ikki aksiomani bajaruvchi :V

1





P

 akslantirish 

mavjud bo’lsa,   o’lchovli proyektiv fazo deyiladi. 

1

0   


– syur’yektiv, ya’ni R dan olingan har bir element originalga ega. 

2

0  



𝑥⃗𝐼𝐼𝑦⃗ ⇔ 𝑓(𝑥⃗) = 𝑓(𝑦⃗) 

P - ning elementlarini nuqtalar deb ataladi va A,B,C,... kabi belgilanadi. 

Agar f(

х

) = x   bo’lsa, ni 



x

vektor hosil qildi deymiz. 2

-  aksiomadan 



ko’rinib turibdiki , Р dagi bitta nuqtani hosil qilgan  vektorlar to’plami  

V

/{



О

} dan iboratdir. Kolleniar bo’lmagan vektorlar turli nuqtalarni hosil 

qilganligi  sababli    Р

n   


cheksiz  ko’p nuqtalardan iboratdir. Biz  faqat   Р

ba’zan Р



bilan shug’ullanamiz xolos. 

 Faraz qilaylik  Р

ni hosil qilgan V



ning fazo osti bo’lmish V

V



3     

ni 


qaraylik. Agar V

1

/{



О

}  nuqtani hosil qilsa, V

2

/{

О



} hosil qilgan elementlar 

to’g’ri chiziqlar, V

3

/{

О



}hosil qilgan elementlar esa tekisliklar deb ataladi.  

 

To’g’ri  chiziqlar  a,b,с,……  kabi  ,  tekisliklar  esa 



,...

,

,





  kabi 

belgilanadi.To’g’ri  chiziqlar  va  tekisliklar  ko’p  nuqtalardan  iborat 

bo’ladi. Bu modelda quyidagilarni ko’rsatish mumkin.  

1.Р

da bir to’g’ri chiziqda yotmagan uchta nuqta  bir tekislikda yotmagan 



to’rtta nuqta mavjuddir.  

2. Ikki  va nuqtalar orqali bitta va faqat bitta to’g’ri chiziq o’tadi.  

3.  Bir to’g’ri chiziqda yotmagan uchta A,В,С  nuqtalardan bitta va faqat 

bitta tekislik o’tadi.  

4.  Agar  A,В  nuqtalar  tekislikka  qarashli  bo’lsa,  ()  to’g’ri  chiziq  shu 

tekislikka qarashli bo’ladi.  

5.  Bir tekislikka qarashli har qanday ikki to’g’ri chiziq kesishadi.  


6. Tekislikka qarashli bo’lmagan  to’g’ri chiziq albatta uni kesadi.  

7. 




П

П 

 , 


П

П



,

  uchun bajarilidi.  

 

 


    

 

 



Download 318.04 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling