Reja kirish asosiy qism


Download 1.01 Mb.
Pdf ko'rish
bet1/4
Sana17.05.2020
Hajmi1.01 Mb.
#107159
  1   2   3   4
Bog'liq
DIRAK SISTEMASI UCHUN LYAPUNOV FUNKSIYASI VA UNING XOSSALARI


REJA

1.  KIRISH

2.  ASOSIY QISM

2.1 

Dirak sistemasi uchun Lyapunov funksiyasi va uning

xossalaripredikatlar

2.2 

Dirak operatori spektral berilganlarining vaqt bo`yicha

evolyutsiyasipredikatlar

2.3 

Turg‘unlikni Lyapunov funksiyasi yordamida tekshirish

3.  FOYDALANGAN ADABIYOTLAR

4.  XULOSA

1. 

KIRISH

Differensial  tenglamalar  fani  turli  xil  fizik  jarayonlarni  o'rganish 

bilan chambarchas  bog’liqdir.  Bunday  jarayonlar  qatoriga  gidrodinamika, 

elektro dinamika  masalalari  va  boshqa  ko’plab  masalalarni  keltirish 

mumkin.  Turli jarayonlarni  ifodalovchi  matematik  masalalar  ko’pgina 

umumiylikka  ega bo’lib,  differensial  tenglamalar  fanining  asosini  tashkil 

etadi.  Differensial tenglamalar  oliy  matematikaning  asosiy  fundamental 

va  tadbiqiy  bo’lim laridan  biri  bo’lib,  u  bakalavriatning  matematika, 

mexanika,  amaliy matematika  va  informatika  kabi  yo  ’nalishlari  o’quv 

rejasidagi  umumkasbiy fanlardan  biri  hisoblanadi.  Hozirgi  kunda  fan  va 

texnikaning  jadal  rivojlanib borishi  turli  murakkab  texnik,  mexanik, 

fizik  va 

boshqa  jarayonlarni o’rganish,  ularni  matematik  nuqtai 

nazardan  tasavvur  qilish,  matematik modellarini tuzish va yechish nafaqat 

tadbiqiy  jihatdan  balki  nazariy  jihatdan ham 

dolzarb,  ham  amaliy 

axamiyatga  ega  bo’lgan  muammolardan  biri hisoblanadi.  Differensial 

tenglamalar fanining asosiy maqsadi bakalavriatning matematika  yo’nalishi 

talabalariga  bu  fanning  fundamental  asoslarini  yetarli darajada  o’qitish, bu 

nazariy  bilimlar yordamida  mexanika,  fizika,  texnika va boshqa  sohalarda 

sodir  bo’ladigan  jarayonlarni  differensial  tenglamalar ko’rinishda 

ifodalashni,  matematik  modellar  uchun  masalaning  berilishiga qarab, 

ularni 

yechishga 



o’rgatish 

va 


ixtisoslik 

fanlarini 

o’rgatishga

tayyorlashdan iborat.

Differensial  tenglamalar  fani  fundamental  va  tadbiqiy  fanlarning 

asosini tashkil  qiladi.  Jarayonlarning  differensial  tenglamalar  yordamida 

matematik modelini  tuzish  va  yechimlarini  topish  usullarini  o  ’rganish, 

masalaning berilishiga  qarab,  uning  yechimini  nazariy  tahlil  qilish 

differensial tenglamalar fanining asosiy vazifasiga kiradi.


 

 

 

2.1 



DIRAK SISTEMASI UCHUN LYAPUNOV

FUNKSIYASI VA UNING XOSSALARI

 Quyidagi Dirak sistemasini ko`rib chiqamiz  

,

)

(



)

(

)



(

)

(



0

1

1



0

2

1



2

1

2



1















































y



y

y

y

x

p

x

q

x

q

x

p

y

y

Ly

    


)

,

(







x

.    


(1.1) 

Bu yerda 

)

(x



p

 va 


)

(x



q

 haqiqiy uzluksiz 



 davrli funksiyalar,  



 esa kompleks 

parametr. (1.1) tenglamaning ushbu 









0



1

)

,



0

(



c

,    










1

0



)

,

0



(



s

 

boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini 











)

,



(

)

,



(

)

,



(

2

1









x

c

x

c

x

c

   va   










)

,



(

)

,



(

)

,



(

2

1









x

s

x

s

x

s

 

orqali belgilaymiz. 



 

)

,



(



x

c

va 


)

,

(





x

s

    vektor-funksiyalar  quyidagi  integral  tenglamalarni 

qanoatlantiradi:  

,

)



,

(

)



(

)

(



)

(

)



(

0

1



1

0

0



1

)

,



(

0

dt



t

c

t

p

t

q

t

q

t

p

x

c

x



































 



dt

t

s

t

p

t

q

t

q

t

p

x

s

x

)

,



(

)

(



)

(

)



(

)

(



0

1

1



0

1

0



)

,

(



0





































Bu  integral tenglamalardan 

)

,



(



x

c

 va 


)

,

(





x

s

 yechimlar  mavjudligi,  yagonaligi   

va   ning har bir fiksirlangan qiymatida 

 parametrga nisbatan butun funksiya 

bo`lishi kelib chiqadi. Bu yechimlar, (1.1) tenglamaning yechimlar fundamental 


 

sistemasini tashkil qiladi hamda bu yechimlar uchun quyidagi Vronskiy ayniyati 

bajariladi: 

1

)



,

(

)



,

(

)



,

(

)



,

(

1



2

2

1













x

s

x

c

x

s

x

c



Ta’rif  1.1. 

)

,

(



)

,

(



)

(

2



1











s

c



  funksiyaga  Dirak  operatori  uchun 

Lyapunov funksiyasi yoki Xill diskriminanti deyiladi.  

Teorema  1.1.  a) 

]

,



0

[

  kesmada  Dirak  sistemasi  uchun  qo`yilgan  davriy  

)

(



)

0

(



1

1



y

y



)

(

)



0

(

2



2



y

y

  chegaraviy  shartli  masalaning  xos  qiymatlari 



haqiqiy  bo`ladi  va  ular   

0

2



)

(





  tenglamaning  ildizlari  bilan  ustma-ust 

tushadi; 

b) 

]

,



0

[

  kesmada  Dirak  sistemasi  uchun  qo`yilgan  antidavriy  

)

(



)

0

(



1

1



y

y



)

(



)

0

(



2

2



y

y



  chegaraviy  shartli  masalaning  xos  qiymatlari 

haqiqiy  bo`ladi  va  ular   

0

2

)



(





  tenglamaning  ildizlari  bilan  ustma-ust 

tushadi. 

Natija  1.1.  Ushbu 

0

2



)

(





  va 

0

2



)

(





  tenlamalarning  ildizlari 

haqiqiy bo`ladi. 



Misol. Agar 

0

)



(



x



p

0



)

(



x

q

 bo`lsa, u holda  













x

x

x

c





sin


cos

)

,



(

,   








 





x

x

x

s





cos


sin

)

,



(

,    




cos


2

)

(



 



bo`ladi.   

0

2



)

(





  tenglamaning  ildizlari 

Z

n

n

n

n



,



2

4

1



4



  bo`ladi;  

0

2

)



(





 tenglamaning ildizlari  



Z

n

n

n

n





,

1



2

2

4



1

4



 bo`ladi. 

Ushbu  

dt

t

c

t

p

t

q

t

q

t

p

t

x

t

x

t

x

t

x

x

x

x

c

x

)

,



(

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

sin



)

(

cos



)

(

cos



)

(

sin



sin

cos


)

,

(



0















































dt



t

s

t

p

t

q

t

q

t

p

t

x

t

x

t

x

t

x

x

x

x

s

x

)

,



(

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

sin



)

(

cos



)

(

cos



)

(

sin



cos

sin


)

,

(



0











































 


 



 

integral  tenglamalar  yordamida 

)

,

(





x

c

  va 


)

,

(





x

s

  yechimlarning  katta 



 

lardagi  asimptotikasini  o`rganish  mumkin.  Bunda  quyidagi  asimptotik 



formulalar kelib chiqadi: 

]

,



0

[

,



,

sin


cos

)

,



(

Im































x



e

O

x

x

x

c

x

,  


]

,

0



[

,

,



cos

sin


)

,

(



Im





























 



x



e

O

x

x

x

s

x

Bulardan,  xususan,  Lyapunov  funksiyasining  haqiqiy 



  lardagi  asimptotikasi 

kelib chiqadi: 

.

,



1

cos


2

)

(



















O

 

Teorema  1.2.  Lyapunov  funksiyasining  hosilasi  uchun  quyidagi  formula 

o`rinli: 



.

)

,



(

)

,



(

)

,



(

)

,



(

)]

,



(

)

,



(

[

)



,

(

)



,

(

)



,

(

)



,

(

)



,

(

)



,

(

)]



,

(

)



,

(

[



)

,

(



)

,

(



)

(

2



2

1

2



2

2

1



2

2

2



0

2

1



1

1

1



2

1

2



1

2

dt



t

c

s

t

s

t

c

s

c

t

s

c

t

c

s

t

s

t

c

s

c

t

s

c

d

d





























































 

(1.2) 



Teorema 1.3.  Agar haqiqiy 

 son uchun ushbu 

2

)

(



2





 tengsizlik 

bajarilsa, u holda bu son uchun quyidagi tengsizliklar ham o`rinli bo`ladi: 

0

)

,



(

)

(



2













c

d

d

,  


0

)

,



(

)

(



1













s

d

d



Natija  1.2.  Ushbu   

2

)

(



2





  tasmada    Lyapunov  funksiyasing 

ekstremal qiymatlari yo`q. 



Teorema 1.4. a) 

 son 


2

)

(





 tenglamaning ikki karrali ildizi bo`lishi 

uchun quyidagi tengliklar bajarilishi zarur va yetarlidir: 

0

)

,



(

,

1



)

,

(



,

1

)



,

(

,



0

)

,



(

2

1



2

1





















c

c

s

s

b) 



  son 


2

)

(





  tenglamaning  ikki  karrali  ildizi  bo`lishi  uchun 

quyidagi tengliklar bajarilishi zarur va yetarlidir: 


 

0

)



,

(

,



1

)

,



(

,

1



)

,

(



,

0

)



,

(

2



1

2

1























c

c

s

s



Teorema  1.5.  a)  agar   



  son   


2

)

(





  tenglamaning  ikki  karrali  ildizi 

bo`lsa,  u  holda   

0

)

(







  bo`ladi.  Hususan,  bu  nuqtada  Lyapunov  funksiyasi 



lokal maksimumga erishadi. 

b) agar  



 son  


2

)

(





 tenglamaning ikki karrali ildizi bo`lsa, u holda  

0

)

(







  bo`ladi.  Hususan,  bu  nuqtada  Lyapunov  funksiyasi  lokal  minimumga 



erishadi. 


Download 1.01 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling