Samarqand davlat arxitektura qurilish instituti «oliy matematika va fizika»

Sana	03.12.2020
Hajmi	393.42 Kb.
	#157666

Bog'liq
tola differensialli tenglamalar. lagranj va klero tenglamalari

MAVZU: TO’LA DIFFERENSIALLI TENGLAMALAR. LAGRANJ VA KLERO TENGLAMALARI Mavzu rejasi
1-misol
2-misol
3-misol
Ta’rif
4-misol
5-misol
Foydalanilgan adabiyotlar

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM

VAZIRLIGI

SAMARQAND DAVLAT ARXITEKTURA – QURILISH INSTITUTI

«OLIY MATEMATIKA VA FIZIKA »

kafedrasi

Mavzu: « To’la differensialli tenglamalar. Lagranj va Klero tenglamalari»

Samarqand 2016 y.

MAVZU: TO’LA DIFFERENSIALLI TENGLAMALAR. LAGRANJ VA

KLERO TENGLAMALARI

Mavzu rejasi:

1. Bernulli tenglamasi.

2. To’la differensialli tenglama.

3. Klero va Lagranj tenglamalari.

1.Bernulli tenglamasi

Bernulli tenglamasi deb,

n

y

x

Q

y

x

p

dx

dy

)

(

)

(





(1)

ko’rinishdagi tenglamaga aytiladi, bunda

)

-

x

ning uzluksiz

funksiyalari



n



(aks holda chiziqli tenglama hosil bo’lar edi). Bu

tenglamani chiziqli tenglamaga keltirish uchun uni barcha hadlarini

n

y

hadma-had bo’lamiz

Q

Py

dx

dy

y

n

n







(2)

Endi







n

y

z

(3)

almashtirishni bajaramiz U holad (4) tenglama hosil bo’ladi.

1

1







Pz

dx

dz

n

(4)

(4) va(3) larni (2) ga qo’ysak,

z

ga nisbatan chiziqli differensial tenglama

hosil bo’ladi.

Q

n

Pz

n

dx

dz

)

(

)

(













(5)

Buning umumiy integralini topib,

z

o’rniga ifodani





n

y

qo’yib, Bernulli

tenglamasi integralini quyidagicha topamiz.

Q

n

Pz

n

dx

dz

)

(

)

(









(5`)

)

(

)

(

)

(

1

x

P

n

x

P





)

(

)

(

)

(

x

Q

n

x

Q























C

dx

e

x

Q

e

z

dx

x

P

dx

x

P

)

(

)

(

)

(

formulaga asosan hamda (3)ni e’tiborga olsak,























C

dx

e

x

Q

n

e

y

dx

x

P

n

dx

x

P

n

n

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(6)

Bernulli tenglamasining umumiy integralini topish formulasi bo’ladi.

1-misol:

y

x

xy

dx

dy





tenglamani yeching.

Yechish: Tenglamani hamma hadlarini

3

y

ga bo’lamiz,

3

x

xy

y

y









(a)

tenglama hosil bo’ladi. Bunda





y

z

almashtirish olsak

dx

dy

y

dx

dz





bo’ladi.

Buni (a) tenglamaga qo’yib,

2

2

x

xz

dx

dz







(b) ni hosil qilamiz. (b) tenglamani

umumiy integralini

uv

y



dx

du

v

dx

dv

u

dx

dz





,

z

dx

dz

ning ifodalarini (b)

tenglamaga qo’ysak,

2

x

xuv

dx

du

v

dx

dv

u









yoki

x

dx

du

v

xv

dx

dv

u





















Bundan





xv

dx

dv

dan





xdx

v

dv





ln

x

v

2

x

e

v



ni aniqlash uchun

2

2

x

dx

dv

e

x





tenglamani

hosil

qilamiz.

O’zgaruvchilarni

ajratib









dx

x

e

du

x











C

dx

x

e

u

x

ni bo’laklab integrallab,

C

e

e

x

u

x

x







2

x

Ce

x

uv

z





ekanligini topamiz. Demak, berilgan tenglamani umumiy

integrali

2

x

Ce

x

y







yoki

2

x

Ce

x

y





3

x

Q

x

P

n



Bularni

(6)ga

qo’ysak,























C

dx

e

x

e

y

xdx

xdx

)

(















C

dx

e

x

e

y

x

x

)

(

2

C

e

e

x

e

y

x

x

x







yoki

x

Ce

x

y





berilgan Bernulli tenglamasini umumiy integrali bo’ladi.

2.To’la differensialli tenglama

Ta’rif: Agar

)

,

(

)

(





y

x

N

dx

y

x

M

(1)

tenglamada

)

(

y

x

M

)

(

y

x

N

funksiyalar uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib,

bular uchun

x

N

y

M







(2)

munosibat bajarilsa (1) tenglama to’la differensialli tenglama deyiladi. Bunda

N

M



va

x

N



funksiyalar biror sohada uzluksiz funksiyalardir. Agar (1)

tenglamaning chap tomoni to’la differensial bo’lsa, u holda (2) shartning

bajarilishi va aksiga (2) shart bajarilsa (1) tenglamaning chap tomoni to’la

differensial bo’lsa, u holda (2) shartning bajarilishi va aksiga (2) shart bajarilsa,

(1) tenglamaning chap tomoni biror

)

(

y

x

u

funksiyaning to’la bo’lishini

isbotlaymiz, ya’ni (1) tenglamani ko’rinishi

)

,

(



y

x

du

(3)

bo’ladi, demak uning umumiy integrali

C

y

x

u



)

(

bo’ladi.

Dastlab, (1) tenglamaning chap tomonini biror

)

(

y

x

u

funksiyaning to’la

differensiyali deb faraz qilamiz, ya’ni

dy

y

u

dx

x

u

du

dy

y

x

N

dx

y

x

M











)

(

)

(

U holda

x

u

M





y

u

N





(4)

ni birinchisini

bo’yicha, ikkinchisini

bo’yicha xususiy hosilalarini topamiz.

y

x

u

y

M







x

y

x

N







Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini uzluksiz deb faraz qilsak,

x

N

y

M







bo’ladi,

ya’ni (2) tenglik (1) tenglamaning chap tomoni biror

)

,

(

y

x

u

funksiyaning to’la

differensiali bo’lishining zaruriy shartidan biridir. Bu shartning

yetarli shart

bo’lishi, ya’ni (2) tenglik bajarilganda (1) tenglamaning chap tomoni biror

)

(

y

x

u

funksiyaning to’la differensiyali bo’lishini ko’rsatamiz.

)

,

(

y

x

M

x

u





munosabatdan







x

x

y

dx

y

x

M

u

)

(

)

(



ni topamiz, bunda

0

x

-mavjud bo’lgan

sohadagi ixtiyoriy nuqtaning abssissasi.

x

bo’yicha integrallashda

o’zgarmas deb hisoblaymiz va shuning uchun integrallashda hosil bo’lgan

ixtiyoriy o’zgarmas

ga bog’liq bo’lishi mumkin.

ni (4) munosabatlardan

ikkinchisi bajariladigan qilib tanlab olamiz. Buning uchun keyingi tenglikni

ikkala tomonini

bo’yicha differensiallab natijani

)

,

(

y

x

M

ga tenglasak:















x

x

y

x

N

y

dx

y

M

y

u

)

(

)

(



, ammo,

x

N

y

M







bo’lgani uchun quyidagini

yozamiz











x

x

y

x

N

y

dx

x

N

)

(

)

(



dan

)

(

)

(

)

(

y

x

N

y

y

x

N

x

x









yoki

)

(

)

(

)

(

)

(

y

x

N

y

y

x

N

y

x

N











Demak,

)

(

)

(

0

y

x

N

y







yoki







x

x

C

dy

y

x

N

y

)

(

)

(



. Shunday qilib,

)

(

y

x

u

funksiya







x

x

x

x

C

dy

y

x

N

dx

y

x

M

y

x

u

)

(

)

(

)

(

ko’rinishda bo’ladi. Bunda

)

,

(

0

y

x

P

shunday nuqtani, uning biror atrofida (1) tenglamaning yechimi mavjud. Bu

ifodani ixtiyoriy

C

o’zgarmas miqdorda tanlab, (1) tenglamaning umumiy

integralini hosil qilamiz.







x

x

x

x

C

dy

y

x

N

dx

y

x

M

)

(

)

(

Xuddi shunga o’xshash







x

x

x

x

C

dy

y

x

N

dx

y

x

M

)

(

)

(

(6)

bo’ladi.

2-misol:







dy

y

x

y

dx

y

x

tenglamani umumiy integralini toping.

Yechish: Bu yerda

y

x

M



3

y

x

y

N





(



) deb olamiz, u holda

6

y

x

y

M







6

y

x

x

N







Demak,

(2)

shart

bajariladi.

holda

tenglamani

chap

tomoni

)

(

y

x

u

funksiyaning to’la differensiyali bo’ladi. Bu funksiyani topamiz:

2

y

x

dx

du



bo’lagani uchun











)

(

)

(

3

y

y

x

y

dx

y

x

u



, bunda

)

( y



funksiya

ning

noma’lum funksiyasi. Buni

y

bo’yicha differensiallab va

2

2

3

y

x

y

N

y

u







ekanligini e’tiborga olib,

2

2

)

(

y

x

y

y

y

x













bo’lishini topamiz. Demak,

1

)

(

y

y







)

(

C

y

y









)

(

C

y

y

x

y

x

u







Shunday qilib, dastlabki tenglamaning umumiy integrali

C

y

y

x





yoki

2

Cy

y

x





bo’ladi.

3.Integrallovchi ko’paytuvchi

Bizga

)

(

)

(





dy

y

x

N

dx

y

x

M

(1)

tenglama berilgan bo’lsin va uning chap tomoni biror funksiyali to’la

differensiyali bo’lmasin. U holda, ba’zan, shunday

)

,

(

y

x



funksiyani tanlab

olish mumkin bo’ladiki, tenglamaning barcha hadlarini shu ko’paytuvchiga

ko’paytirilganda tenglamaning chap tomoni biror funksiyani to’la differensialini

beradi. Shu usul bilan topilgan tenglamaning umumiy yechimi dastlabki

tenglamani umumiy yechimi bilan bir xil bo’ladi.

)

,

(

y

x



funksiya (1)

tenglamaning

integrallovchi

ko’paytiruvchi

deyiladi.

Integrallovchi

ko’paytuvchini topish uchun hozircha bizga noma’lum bo’lgan

)

(

y

x



ga (1)ni

har ikkala tomonini ko’paytiramiz:





Ndy

Mdx



. (2)

(2) tenglama to’la differensialli tenglama bo’lishi uchun quyidagi tenglik

bajarilishi zarur va yetarlidir

x

N

y

M







)

(

)

(



, (3)

ya’ni

x

N

x

N

x

M

y

M

















yoki



























y

M

x

N

x

N

y

M



. (4)

Bu tenglamani har ikkala tomonini



ga bo’lib,

y

M

x

N

x

N

y

M

















(5)

tenglik hosil qilamiz. (5) tenglamani qanoatlantiruvchi har qanday

)

(

y

x



funksiya (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi bo’ladi. (5) tenglama

ikkita

o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lgan



noma’lum funksiyaga

nisbatan xususiy hosilali tenglamadir. Ma’lum shartlar bajarilganda bu

tenglamani yechimlari cheksiz ko’p ekanini va (1) tenglamaning integrallovchi

ko’paytuvchisi bor ekanligini isbotlaymiz. Ammo, umumiy holda (5)

tenglamaning integralovchi ko’paytuvchisi

)

,

(

y

x



ni topish (1) tenglamani

integrallashga nisbatan qiyinroq. Faqat ba’zi xususiy hollardagina

)

(

y

x



topish

mumkin. Masalan, (1) tenglamaning integrallovchi ko’paytuvchisi faqat

y

bog’liq bo’lsin. Bu holda







ni topish uchun

M

y

M

x

N

y













oddiy

differensial tenglama hosil bo’ladi: bunda (bitta kvadratura bilan)



aniqlanib

undan



topiladi. Bunday ish ko’rish

M

y

M

x

N







ifoda

x

ga bog’liq bo’lmagan

holdagina qo’llaniladi. Shunga o’xshash, agar

N

y

M

x

N







ifoda

y

ga bog’liq

bo’lmasdan, faqat

x

ga bog’liq bo’lsa, u holda faqat

ga bog’liq bo’lmagani

integrallovchi ko’paytuvchi oson topiladi.

3-misol:

)

(







xdy

dx

xy

y

tenglamni yeching.

Yechish: Bu yerda

x

N

xy

y

M









x

N

y

M







Demak, to’la differensialli

tenglama emas. Bu tenglamani faqat

ga bog’liq bo’lgan integrallovchi

ko’paytuvchisi bor ekanlini tekshiramiz.

y

xy

y

xy

M

y

M

x

N















ekanligidan integrallovchi ko’paytuvchisi bor degan

xulosaga kelamiz va uni quyidagicha topamiz.









y

y











1

y





.

Berilgan tenglamani har ikkala tomonini



ga ko’paytirib,

1

y

x

N

y

M











bo’lganini, ya’ni to’la differensialli tenglama hosil qilinganligiga ishonch hosil

qilamiz va tenglamani yechib,









2

C

x

y

x

C

x

x

y







umumiy

yechimini topamiz.

Birinchi tartibli differensial tenlamalarning maxsus yechimlari.

Klero va Lagranj tenglamasi

Faraz qilaylik

)

(



dx

dy

y

x

F

(1)

differensial tenglamaning umumiy integrali

)

,

(



C

y

x

Ф

(2)

tenglamaga mos

integral egri chiziqlar oilasining o’ramasi

mavjud, deb faraz

qilamiz. Bu o’rama (1) differensial tenglamani integral egri chizig’i bo’ladi.

Ta’rif: Agar

L

chiziq o’zining har bir nuqtasi bilan bir parametrli chiziqlar

oilasining u yoki bu chizig’iga urinsa,

L

chiziq bir parametrili chiziqlar

oilasining o’ramasi deyiladi. (1-rasm).

4.Klero tenglamasi

Klero tenglamasi

deb ataluvchi

















dx

dy

dx

dy

x

y



(1)

tenglama berilgan bo’lsin. Bu tenglama

yordamchi parametr

kiritish usuli bilan

integrallanadi. Agar

p

dx

dy



deb olsak, (1) tenglama quyidagicha bo’ladi.

)

( p

xp

y







(2)

dx

dy

p



ning funksiyasi ekanligini e’tiborga olib, so’ngra tenglamani barcha

hadlarini

x

bo’yicha differensiallaymiz.











dx

dp

p

p

dx

dp

x

p

)

(







)

(







dx

dp

p

x



(3)

ni hosil qilamiz. Har bir ko’paytuvchini alohida nolga tenglab,



dx

(4)

)

(







p

x



(5)

tengliklarni hosil qilamiz:

1. (4) tenglikni integrallasak

)

(

const

C

C

p





bo’ladi,

p

ning bu qiymatini (2)

ga qo’ysak, uni

)

xC

y







(6)

umumiy integralni topamiz; bu geometrik nuqtai nazardan

to’g’ri chiziqlar oilasi

bo’lishligini ko’rsatadi.

2. Agar (5) tenglamadan

p

ning funksiyasi kabi topsak, uni (2)

tenglikka qo’ysak, u holda





)

(

)

(

x

p

x

xp

y







(7)

hosil bo’ladi: bu funksiya (1) tenglamaning yechimi bo’lishini ko’rsatamiz.

Haqiqatan ham, (5) tenglikka muvofiq





p

dx

dp

p

x

p

dx

dy









)

(



. Shuning uchun

(7) funksiyani (1) tenglamaga qo’yib,

)

(

)

(

p

xp

p

xp











ayniyatni hosil qilamiz. (7) yechim (6) umumiy integraldan

ning hyech bir

qiymatida hosil bo’lmadi. Shuning uchun bu maxsus yechimdir. Bu yechim





)

(

)

(

x

p

x

xp

y







)

(







p

x



tenglamalar sistemasidan

parametrni

yo’qotish natijasida yoki















)

(

)

(

C

x

C

xC

y

C



tenglamalar sistemasidan

C

parametrni

yo’qotish natijasida hosil qilinadi. Demak, Klero tenglamasining

maxsus

yechimi

(6) umumiy integral bilan berilgan to’g’ri chiziqlar oilasining

o’ramasini aniqlar ekan.

4-misol:

)

(

)

(















a

y

y

a

y

x

y

differensial tenglamaning umumiy va

maxsus integrallarini toping.

Yechish:

Berilgan

tenglamada

dx

dy

y





ning o’rniga

C

ni qo’ysak,

1 C

aC

xC

y





umumiy integral hosil bo’ladi. Maxsus yechimni hosil qilish

uchun keyingi tenglamani

C

bo’yicha differensiallab





0







C

a

x

ni topamiz.

U holda maxsus yechim o’rama tenglamalari.





























1

C

aC

y

C

a

x

parametrik

ko’rinishda hosil bo’ladi. Bundan

C

parametrni yo’qotsak,

orasidagi

munosabatni bevosita hosil qilishimiz mumkin. Har bir tenglama ikkala

tomonini

2

-darajaga ko’tarib va hosil bo’lgan tenglamalarni hadma-had

qo’shsak,

2

a

y

x





maxsus yechimni hosil qilamiz. Bu astroidani

tenglamasidir. Ammo, oilaning o’ramasi maxsus yechimi ham butun astroida

bo’lmay, balki uning chap yarimidan iborat, chunki o’ramaning parametrik

tenglamalaridan



x

ekanligi ma’lum.

5.Lagranj tenglamasi

Lagranj tenglamasi

deb

)

(

)

(

y

y

x

y













(1) ko’rinishdagi tenglamaga

aytiladi, bu yerda





lar

dx

dy

y





ning ma’lum funksiyalaridir. Bu tenglama

x

larga nisbatan chiziqli tenglama. Avval ko’rilgan Klero tenglamasi

Lagranj tenglamasini

y

y







)

(



bo’lgandagi xususiy holidir. Lagranj

tenglamasini integrallash Klero tenglamasini integrallash kabi yordamchi

p

parametr kiritish usuli bilan integrallanadi. Agar

p

y





deb olsak. (1) ni

)

(

)

(

p

p

x

y









shaklda yozamiz. (2)ni

ga nisbatan differensiallab,





dx

dp

p

p

x

p

p

)

(

)

(

)

(















ni hosil qilamiz.

Bundan





dx

dp

p

p

x

p

p

)

(

)

(

)

(















(3) tenglamani yozamiz. Bu

tenglamadan esa ba’zi yechimlarni birdaniga topish mumkin, bu

ning

)

(





p

p



shartni qanoatlantiruvchi har qanday o’zgarmas

0

p

p



qiymatida

ayniyatga aylanadi. Haqiqatan ham,

p

ning o’zgarmas qiymatida hosila



dx

va (3) tenglamaning ikkala tomoni nolga aylanadi. Har bir

0

p

p



, ya’ni

0

p

dx

dy



qiymatga mos bo’lgan yechim

ning chiziqli funksiyasi bo’ladi. Buni

topish uchun (2) tenglamaga

0

p



qiymatni qo’yamiz

)

(

)

(

p

p

x

y









. Lekin,

bu yechim integraldan ixtiyoriy o’zgarmas miqdorlarning hyech bir qiymatida

hosil bo’lmasa, u holda bu maxsus yechim bo’ladi. Endi umumiy yechimni

topish uchun (3) tenglamani

)

(

)

(

)

(

)

(

p

p

p

p

p

p

x

dp

dx



















ko’rinishga yozib va

ning funksiyasi deb qaraymiz. Bu holda hosil qilingan tenglama

ning

funksiyasiga nisbatan chiziqli differensial tenglama bo’ladi. Uni chiziqli

tenglamani yechish formulasiga asosan





































C

dp

e

p

p

p

e

x

dp

p

p

p

dp

p

p

p

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(





(4)

topamiz va (2) tenglamadan

parametrni yo’qotsak, (1) Lagranj tenglamasini

umumiy integrali

)

(



C

y

x

Ô

hosil bo’ladi.

5-misol:

y

y

x

y









tenglamani yeching.

Yechish:

p

y





deb olsak,

p

xp

y





bo’ladi.

x

ga nisbatan differensiallab,





dx

dp

p

xp

p

p





(*)

tenglamani hosil qilamiz. Maxsus yechimlari



p



bo’lganda,

2

p

p



bo’lgani uchun yechimlar chiziqli funksiyalardan iborat bo’ladi.







x

y

, ya’ni



y





x

y

umumiy integralni topish uchun (*)ni

ko’rinishda yozamiz va x ni erkli o’zgaruvchi R ning funksiyasi deb qaraymiz.

Hosil qilingan chiziqli tenglamani integrallaymiz. Bunldan va tenglamalardan R

ni yo’qotsak umumiy integral hosil bo’ladi.

Foydalanilgan adabiyotlar

1. Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 1-қисм. –Тошкент:

Ўқитувчи, 1985.

2. Пискунов Н.С. Дифференциал ва интеграл ҳисоб. 2-қисм. –Тошкент:

Ўқитувчи, 1986.

3. Соатов Ё.У. Олий математика. 1-жилд. – T.: Ўқитувчи, 1994.

4. Соатов Ё.У. Олий математика. 2-жилд. – T.: Ўқитувчи, 1995.

5. Соатов Ё.У. Олий математика. 3 -жилд. – T.: Ўқитувчи, 1996.

6. Соатов Ё.У. Олий математика. 4 -жилд. – T.: Ўқитувчи, 1998

7. Соатов Ё.У. Олий математика. 5 -жилд. – T.: Ўқитувчи, 2000.

8. Danko P.E., Popov A.G., Kojevnikova T.E. Oliy matematika mashqlar va

masasalarda. 1-qism.– Toshkent, “O’qituvchi”, 2009 y.

9. Danko P.E., Popov A.G., Kojevnikova T.E. Oliy matematika mashqlar va

masasalarda. 2-qism.– Toshkent, “O’qituvchi”, 2009 y.

10.

Минорский В.П. Олий математикадан масалалар тўплами. – T.:

Ўқитувчи, 1982.

Download 393.42 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham: