SayilabLr kümeler 17. 1 EGÜÇLÜ KÜmeler
Download 139,43 Kb. Pdf ko'rish
|
|
Bölüm 17 SAYILABLR KÜMELER 17.1 EGÜÇLÜ KÜMELER Tanm 17.1.1. A ile B herhangi iki küme olsun. (a) A ile B kümeleri arasnda bire-bir bir e³leme varsa, A ile B kümelerine e³güçlüdürler (equipotent), denir ve bu durum ksaca, A ≈ B simgesiyle gösterilir. (b) A kümesi B kümesinin bir alt kümesine e³güçlü ise, A kümesi B kümesin- den daha güçlü de§il, diyecek ve bunu A B simgesiyle gösterece§iz. Bu durumu simgesel olarak ³öyle ifade edebiliriz: A B ⇔ ∃C(C ⊂ B) ∧ A ≈ C) (17.1)
A B ile B A gösterimleri e³ anlamda kullanlacaktr. Birinci gösterim, A kümesi B kümesinden daha güçlü de§il, diye okunur. kinci gösterim ise, B kümesi A kümesinden daha az güçlü de§il , diye okunur. (c) A kümesi B kümesinden daha güçlü de§il ve A ile B e³güçlü olmuyorsa, A kümesi B kümesinden daha az güçlüdür, diyecek ve bunu A ≺ B simgesiyle gösterece§iz. Bu durumu simgesel olarak ³öyle ifade edebiliriz: A ≺ B ⇔ A B ∧ ¬(A ≈ B) (17.2) A
ile B ≻ A gösterimleri e³ anlamda kullanlacaktr. Birinci gösterim, A kümesi B kümesinden daha güçsüzdür diye okunur. kinci gösterim, B kümesi A kümesinden daha güçlüdür, diye okunur. Önerme 17.1.1. Herhangi bir kümeler ailesi üzerinde e³güçlülük bir denklik ba§ntsdr. spat: A bir kümeler ailesi olsun. E³güçlülük tanm gere§ince, A ≈ B ol- mas için gerekli ve yeterli ko³ul A dan B ye bire-bir-örten (bbö) bir fonksiyonun var olmasdr. 195
196 BÖLÜM 17. SAYILABLR KÜMELER Her A ∈ A için I A : A → A özde³lik (birim) fonksiyonu bbö oldu§undan A ≈ A dr. O halde e³güçlülük ba§nts dönü³lüdür. imdi A, B, C ∈ A , A ≈ B ve B ≈ C oldu§unu varsayalm. Tanmdan, f : A → B ve g : B → C bbö fonksiyonlar vardr. Öyleyse, g◦f bile³kesi A dan C ye bbö 'dir. Dolaysyla A ≈ C
olur; yani e³güçlülük geçi³lidir. Son olarak, A, B ∈ A ve A ≈ B oldu§unu varsayalm. Bir f : A → B bbö fonksiyonu var olacaktr. Öyleyse, f − 1
ters fonksiyonu bbö dir. Dolaysyla, B ≈ A dr; yani e³güçlülük simetriktir. ⊡ imdi,
ba§ntsnn herhangi bir kümeler ailesi üzerinde bir iyi sralama ba§nts oldu§unu göstermek istiyoruz. Bunu yapmak için, önce, bu ba§ntnn bir tikel (ksmî) sralama ba§nts oldu§unu gösterece§iz. Bu i³i yaparken de a³a§daki ilk iki teoreme dayanaca§z. Önerme 17.1.2. A herhangi bir küme olmak üzere f : P(A) → P(A) fonksi- yonu
X ⊂ Y ⇒ f (X) ⊂ f (Y ) (17.3) özeli§ine sahip bir fonksiyon ise f(T ) = T olacak ³ekilde bir T ∈ P(A) kümesi vardr. spat: Bu önerme Sabit Nokta Teoremi'nin kümeler ailesi için ifade edilmi³ biçimidir. S = {X | X ∈ P(A), X ⊂ f (X)} (17.4) kümeler ailesini tanmlayalm. ∅ ∈ S oldu§undan S ailesi bo³ de§ildir. T =
X (17.5)
diyelim. T kümesinin istenen ko³ulu sa§lad§n gösterece§iz. Gerçekten X ∈ S ⇒ X ⊂ f (X) ⇒ X ⊂ T ⇒ f (X) ⊂ f (T ) ⇒ X ⊂ f (T ) ⇒ X∈S X ⊂ f (T )
⇒ T ⊂ f (T ) elde edilir. Oysa T ⊂ f (T ) ⇒ f (T ) ⊂ f (f (T )) ⇒ f (T ) ∈ S ⇒ f (T ) ⊂ T dir. ⊡
17.1. EGÜÇLÜ KÜMELER 197
17.1.1 Schröder-Bernstein Teoremi Teorem 17.1.1 (Schröder-Bernstein Teoremi). ki kümeden her biri ötekinin bir alt kümesine e³güçlü ise, bu iki küme birbirine e³güçlüdür. spat: A ile B herhangi iki küme olsun. E§er B nin bir B 1 alt kümesi A ile e³güçlü ve A nn bir A 1 alt kümesi B ile e³güçlü ise, A ile B kümelerinin e³güçlü oldu§unu gösterece§iz. Bunu simgesel gösterirsek, (A ≈ B
1 ⊂ B) ∧ (B ≈ A 1 ⊂ A) ⇒ A ≈ B (17.6) yazabiliriz. Varsaymmz gere§ince f : A → B 1 ve g : B → A 1 bbö fonksiyon- larnn varl§n söyleyebiliriz. imdi, öncelikle A − T = g(B − f (T )) olacak ³ekilde bir T ⊂ A alt kümesi oldu§unu gösterece§iz. Her X ⊂ A için bir ˜ X kümesini ˜ X = A − g(B − f (X)) diye tanmlayalm. Buradan X ⊂ Y ⇒ f (X) ⊂ f (Y ) ⇒ (B − f (X)) ⊃ (B − f (Y )) ⇒ g(B − f (X)) ⊃ g(B − f (Y )) ⇒ (A − g(B − f (X))) ⊂ (A − g(B − f (Y ))) ⇒ ˜
X ⊂ ˜
Y olur Öyleyse, Önerme 17.1.2 gere§ince, ˜ f
X ∈ P(A) ⇒ ˜ f (X) = ˜
X fonksiyonunun sabit brakt§ bir T ⊂ A alt kümesi var olacaktr; yani ∃T ∈ P(A) ; T = f (T ) = ˜ T Oysa bu T = A − g(B − f (T )) olmas demektir. Öte yandan g(B − f(T )) ⊂ A oldu§undan, T kümesinin iste- di§imiz e³itli§i sa§lad§ görülür. Artk teoremin ispatn tamamlamak için h (x) =
f (x),
x ∈ T
g − 1 (x), x ∈ A − T ³eklinde tanmlanan h : A → B fonksiyonunun bbö oldu§unu görmek yetecektir. Bu ise, hemen görülmektedir.⊡ 198 BÖLÜM 17. SAYILABLR KÜMELER Teorem 17.1.2. Her A kümeler ailesi ba§ntsna göre tikel (ksmi) sraldr. spat: Bu ba§ntnn dönü³lü, geçi³li ve antisimetrik oldu§unu gösterece§iz. Bir A ∈ A seçelim. A ≈ A oldu§undan, Tanm 17.1.1(b) gere§ince A A olur ; yani ba§nts dönü³lüdür. Ba§ntnn geçi³li oldu§unu göstermek için A, B, C
∈ A ve A
B , B
C oldu§unu varsayalm. Bu durumda A ≈ B 1 ve
≈ C 1 olacak ³ekilde B 1 ⊂ B
ile C 1 ⊂ C kümeleri vardr. Öyleyse, f : A → B 1 ve g : B → C 1 bbö fonksiyonlarnn varl§n söyleyebiliriz. imdi C 2 = (g◦f )(A) diyelim. C 2 ⊂ C ve g ◦ f : A → C 2 bbö oldu§undan, A C çkar. Son olarak ba§ntnn antisimetrik oldu§unu gösterelim. Bunun için (A B ) ∧ (B A ) ⇒ A ≈ B (17.7) oldu§unu göstermeliyiz. Oysa bunun varl§n (17.6) den; yani Schröder-Bernstein teoreminden biliyoruz.⊡ Artk asl amacmza geçebiliriz; yani ba§ntsnn herhangi bir kümeler ailesi üzerinde bir iyi sralama ba§nts oldu§unu gösterebiliriz. Bunun ispat "Her küme iyi sralanabilir" diyen yi Sralama Teoremi'ne(bkz. 22.4) ve "iyi sralanm³ kümeler mukayese edilebilir" diyen Teorem 20.6.2 'e dayanmaktadr. yi Sralama Teoremi'nin, Seçme Aksiyomuna ve sra saylarna dayal ispatn kitabn son bölümünde yapaca§z. O zamana kadar, iyi sralama teoremini is- patsz olarak kullanmakta bir saknca görmüyoruz. Teorem 17.1.3. A herhangi bir kümeler ailesi olsun. Bu aile ba§ntsna göre iyi sraldr. spat: Herhangi bir S ⊂ A alt ailesi verilsin. Rasgele bir S ∈ S seçelim. E§er S kümesi, (S , ) tikel sral sisteminin en küçük ö§esi ise, istedi§imiz özelik S tarafndan sa§lanyor demektir. E§er S kümesi, S nin en küçük ö§esi de§ilse
B = {B | B ∈ A | B S }
sralayalm ve böylece olu³turdu§umuz iyi sralanm³ sistemi (S, ) ile göstere- lim. Her x ∈ S için S x
diyelim. Sonra her B ∈ B için ψ (B) = min{x | x ∈ S, B ≈ S x } kümesini tanmlayalm. A = {ψ(B) | B ∈ B} kümesi S nin bo³ olmayan bir alt kümesidir. (S, ) iyi sral oldu§undan, A kümesi en küçük (min) ö§eye sahiptir. Buna ψ(D) diyelim. Gösterece§iz ki D kümesi, B nin en küçük ö§esidir. Gerçekten, B ∈ B için ψ(D) ψ (B) dr. Öyleyse, S ψ (D)
⊂ S ψ (B) olacaktr. Buradan D → S ψ (D)
→ S ψ (B) → B 17.2. SONLU VE SONSUZ KÜMELER 199
dönü³ümleri bire-bir-içinedir. Demek ki D B dir. Bu da D kümesinin, (S, ) sisteminin en küçük ö§esi oldu§unu gösterir. B nin tanmndan, D kümesi , (B, )
sisteminin en küçük ö§esi olur. Böylece, A nn her alt kümesinin en küçük ö§esinin varl§ çkar. ⊡ 17.2 SONLU ve SONSUZ KÜMELER Onüçüncü bölümde do§al saylar tanmlarken kurdu§umuz (1.2) sistemini yeniden dü³ünelim: Tanm: 0 =
♮ (∅)
1 = ♮ ({0}) 2 = ♮ ({0, 1}) 3 = ♮ ({0, 1, 2}) ... ...
(17.8) r = ♮ ({0, 1, 2, · · · , r − 1}) ... ...
Bütün bu kümelerden olu³an aileye do§al saylar kümesi demi³ ve bunu ω ile göstermi³tik; yani ω = {0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .} (17.9) demi³tik. imdi sonlu ve sonsuz kümeleri tanmlayabiliriz. Tanm 17.2.1. (17.8) sistemine ait kümelerden her hangi birisine e³güçlü olan kümeye sonlu küme, denir. Tanm 17.2.2. Sonlu olmayan kümeye sonsuz küme, denir. Tanm 17.2.3. (17.9) ile belirlenen do§al saylar kümesine e³güçlü olan kümeye saylabilir sonsuz küme, denir. Tanm 17.2.4. Sonlu ya da saylabilir sonsuz bir kümeye saylabilir küme, denir. Kümenin sonsuz oldu§unu vurgulamak gerekti§inde saylabilir sonsuz, diyece§iz. Bir A kümesinin sonlu olmas demek, tanm gere§ince, ω do§al saylar küme- sine ait bir n+ says ile bire-bir e³lenebilmesi demektir. Öyleyse, bir f : n+ → A
bbö dönü³ümü vardr. Her m ∈ n+ ö§esinin f altndaki resmini a m ile göstere- lim; yani f (m) = a m 200 BÖLÜM 17. SAYILABLR KÜMELER olsun. Daha açkças 0 −→ a
0 1 −→ a
1 2 −→ a
2 3 −→ a
3 ...
(17.10) n −→ a n olsun. Buna göre A = {a
0 , a
1 , a
2 , a
3 , . . . , a n }
olacaktr. Bu durum oldu§unda, A kümesinin ö§eleri n+ do§al saysnn ö§eleriyle damgalanm³tr. Dolaysyla, A kümesinin n+ tane ö§esi vardr, denir. imdi bunu daha genel olarak dü³ünelim. E§er A saylabilir sonsuz bir küme ise A ile ω do§al saylar kümesi bire-bir e³lenebilir. Öyleyse, (17.10) e³lemesi her n ∈ ω
için dü³ünüldü§ünde, A = {a 0 , a
1 , a
2 , a
3 , . . . , a n , . . .
} (17.12)
olacaktr. Bu durum oldu§unda, A kümesinin ö§eleri ω do§al saylar kümesinin ö§eleriyle damgalanm³tr. Dolaysyla A kümesinin ö§elerinin says, ω kümesinin ö§elerinin says kadardr. (17.11) ve (17.12) de, özel olarak, damgalayan kümele- rin ö§elerinin birer do§al say oldu§u dü³ünülerek, bu kümelere numaralanabilir kümeler de denir. 17.3 SAYILABLR KÜMELER Bu kesimde saylabilir kümelerin temel özeliklerini görece§iz. Teorem 17.3.1. Saylabilir bir kümenin her alt kümesi de saylabilir. spat: Sonlu her kümenin alt kümeleri de sonlu olaca§ndan, bu durum apaçktr. Öyleyse, saylabilir sonsuzluk durumunu inceleyelim. Saylabilir son- suz bir A kümesi dü³ünelim. (17.12) deki dü³ünü³le A = {a 0 , a
1 , a
2 , a
3 , . . . , a n , . . .
} yazabiliriz, A nn herhangi bir B alt kümesini seçelim. B kümesine ait ö§elerin damgalarnn (index) olu³turdu§u kümeye α diyelim; yani α = {n | n ∈ ω, a n ∈ B}
kümesini tanmlayalm, α ⊂ ω dr. ω do§al saylar kümesi iyi sral oldu§undan, α nn en küçük (min) ö§esi vardr. Bunu r 0 ile gösterelim. Sonra B 1
r 0 }) 17.3. SAYILABLR KÜMELER 201
kümesini dü³ünelim. B 1 kümesine ait ö§elerin damgalarnn (indislerinin) olu³- turdu§u kümeye α 1 ve bunun en küçük ö§esine de r 1 diyelim. Böylece devam edersek, n + 1 admdan sonra B n +1 = (B − {a r 0
r 1 , a r 2 , . . . , a r n }) kümesini elde ederiz. Tüme Varm lkesi uyarnca, bu i³lemi istedi§imiz kadar sürdürebiliriz. Dolaysyla, B kümesine ait herhangi bir a k ö§esine, yukardaki yöntemle, ençok k+1 admda varabiliriz. Ba³ka bir deyi³le B nin bütün ö§elerini numaralayabiliriz. ⊡ Teorem 17.3.2. Her sonsuz kümenin saylabilir sonsuz bir alt kümesi vardr. spat: Verilen sonsuz küme A olsun. A = ∅ oldu§undan, A nn herhangi bir ö§esini seçebilir ve bunu a 0 ile gösterebiliriz. Sonra A−{a 0 } kümesinden bir ö§e seçip buna da a 1 diyebiliriz. Böylece devam ederek {a 0 , a
1 , a
2 , . . . , a n }
seçmi³ olalm. A sonsuz oldu§undan, her n ∈ ω için (A − {a
0 , a
1 , a
2 , . . . , a n }) = ∅
olacaktr. Öyleyse, bu sonuncudan da bir ö§e seçip buna a n +1 diyebiliriz. A sonsuz oldu§una göre, bu i³i istedi§imiz kadar tekrarlayabilir ve Tüme Varm lkesi uyarnca, saylabilir sonsuz S = {a 0 , a
1 , a
2 , . . . , a n , a
n +1 , . . . } kümesini kurabiliriz. S kümesi saylabilirdir. Ö§eleri A dan seçildi§i için, S kümesinin A nn bir alt kümesi oldu§u apaçktr. ⊡ Teorem 17.3.3. A sonsuz bir küme, B saylabilir bir küme ise A ∪ B bile³imi A kümesine e³güclüdür. spat: A∪B = A∪(B−A) dr ve Teorem 17.3.1 gere§ince, (B−A) saylabilir bir kümedir. Öyleyse, i³in ba³nda A ∩ B = ∅ kabul edersek, teoremin genelli§i bozulmayacaktr. Bu kabul altnda iki ayr durum dü³ünebiliriz. 1.Durum: B saylabilir sonsuz bir küme ise, B = {b
0 , b
2 , b
3 , . . . , b n , . . .
} yazabiliriz. Teorem 17.3.2 gere§ince, A nn saylabilir sonsuz bir C = {a
0 , a
1 , a
2 , a
3 , . . . , a n , a
n +1 , . . . } alt kümesini seçebiliriz. imdi bir f : A → A ∪ B fonksiyonu a³a§daki gibi tanmlanm³ olsun: f (x) = a n , x = a 2n b n , x = a 2n+1
x, x ∈ (A − C) 202 BÖLÜM 17. SAYILABLR KÜMELER Kolayca görülece§i gibi bu fonksiyon bbö bir fonksiyondur. Dolaysyla, A ≈ A ∪ B olur. 2.Durum: B sonlu bir küme olsun. B yi kapsayan saylabilir sonsuz bir D kümesi dü³ünelim. Buradan A ⊂ A ∪ B ⊂ A ∪ D yazabiliriz. A → A ∪ B ve A ∪ B → A ∪ D gömme fonksiyonlan bire-bir-içine oldu§undan A (A ∪ B)
(A ∪ D) çkar. Oysa 1.Durum gere§ince A ∪ D A dr. Demek ki A (A ∪ B)
A dr. Artk, Schröder-Bernstein Teoreminden A ≈ A ∪ B olur. ⊡ Sonuç 17.3.1. Saylabilir kümelerin sonlu tanesinin bile³imi saylabilir bir kü- medir.
spat: {A i | i = 0, 1, 2, ..., n} ailesine ait her A i kümesinin saylabilir oldu§unu varsayalm. Teorem 17.3.3 gere§ince, A 0 ≈ A 0 ∪ A
1 dir; yani A 0 ∪ A
1 bile³imi
saylabilir bir küme olacaktr. imdi B = A 0 ∪ A 1 dersek, ayn dü³ünü³le, B ∪ A
2 = A
0 ∪ A
1 ∪ A
2 bile³imi de saylabilir bir küme olacaktr. Bu eyleme devam edersek n i =0 A i bile³iminin saylabilir bir küme oldu§u çkar. ⊡ Teorem 17.3.4. Saylabilir sonsuz iki kümenin kartezyen çarpm saylabilir sonsuz bir kümedir. spat: A = {a 0 , a
1 , a
2 , . . . , a n , . . .
} ve B = {b 0 , b
1 , b
2 , . . . , b n , . . .
} kümeleri
verilsin. A × B kartezyen çarpmnn ö§elerini a³a§daki ³ekilde sralayalm: (a 0 , b 0 ) (a 0 , b 1 ) (a 0 , b
2 ) (a 0 , b
3 ) . . . (a 0 , b m ) . . . (a 1 , b 0 ) (a 1 , b
1 ) (a 1 , b
2 ) (a 1 , b
3 ) . . . (a 1 , b m ) . . . (a 2 , b 0 ) (a 2 , b
1 ) (a 2 , b
2 ) (a 2 , b
3 ) . . . (a 2 , b m ) . . . (a 3 , b 0 ) (a 3 , b
1 ) (a 3 , b
2 ) (a 3 , b
3 ) . . . (a 3 , b m ) . . . .. . (a n , b
0 ) (a n , b
1 ) (a n , b
2 ) (a n , b
3 ) . . . (a n , b m ) . . . .. . Cantor Diyagonal Sayma A × B
kartezyen çarpmnn bütün ö§eleri bu tabloda yer alm³ olacaktr. Artk bu tablodaki sral çiftleri saymak kolaydr. Bunun için ya Tablo 16.2 de yapt§mz gibi kareleme saymn kullanabiliriz ya da tabloda sol üst kö³ede,
17.3. SAYILABLR KÜMELER 203
srayla, olu³an karelerin kö³egenleri üzerindeki ö§eleri karelerin olu³ srasyla saymaya ba³layalm: (a 0
0 ) −→ 0
(a 0 , b 1 ) −→ 1
(a 1 , b 0 ) −→ 2
(a 0 , b 2 ) −→ 3
(a 1 , b 1 ) −→ 4
(a 2 , b 0 ) −→ 5
... Bu sayma yöntemine Cantor kö³egen yöntemi denilir. Kolayca sezildi§i gibi, bu sayma (e³le³tirme) yöntemi, A × B kartezyen çarpm ile ω do§al saylar kümesi arasnda bire-bir bir e³leme kurar. O halde A × B kartezyen çarpm saylabilir bir kümedir. ⊡ Sonuç 17.3.2. Saylabilir sonsuz kümelerin sonlu tanesinin kartezyen çarpm saylabilir sonsuz bir kümedir. spat: {A i | i = 0, l, 2, ..., n} ailesinin her A i kümesi saylabilir sonsuz bir küme olsun. Teorem 17.3.4 uyarnca B = A 0 ×A 1 kartezyen çarpmnn saylabilir sonsuz bir küme oldu§unu biliyoruz. Ayn dü³ünü³le, B 1 = B×A 2 = A
0 ×A 1 ×A 3 kartezyen çarpm da saylabilir sonsuz bir küme olacaktr. Bu eylemi n kez tekrarlarsak, Tüme Varm lkesine göre, n i =0 A i kartezyen çarpmnn saylabilir sonsuz bir küme oldu§u görülür. ⊡ Sonuç 17.3.3. Q rasyonel saylar kümesi saylabilir bir kümedir. spat: Önce bir gösterim tanmlayalm. x ile y herhangi iki tamsay olsun. E§er x ile y tamsaylarnn 1 den ba³ka ortak böleni yoksa, bunu < x, y >= 1 simgesiyle belirtelim. A = {(x, y) | x, y ∈ ω, y = 0, < x, y >= 1} kümesini dü³ünelim. A ⊂ ω × ω oldu§u apaçktr. Öyleyse, A saylabilir bir kümedir. Ayrca, A kümesi {(x, 1) | x ∈ ω} kümesini kapsad§ndan, sonsuz bir kümedir. Bu iki sonuçtan ω A ω
yani A saylabilir sonsuz bir kümedir. imdi pozitif rasyonel saylar Q + ve negatif rasyonel saylar Q − ile gösterelim. Sonra f : A → Q
+ , f
(x, y) = x y 204 BÖLÜM 17. SAYILABLR KÜMELER dönü³ümünü tammlayalm. Bunun bbö oldu§u apaçktr. Öyleyse, Q + ≈ ω dr. Öte yandan x → −x bire-bir e³lemesinden görülebilece§i gibi Q + ≈ Q
− dr.
Q = Q
+ ∪ {0} ∪ Q − oldu§undan, Sonuç 17.3.1 uyarnca Q rasyonel saylar kümesinin saylabilir son- suz bir küme oldu§u görülür. ⊡ Teorem 17.3.5. Saylabilir sayda saylabilir kümelerin bile³imi saylabilir bir kümedir. spat:
Sonuç 17.3.1 dü³ünürsek, yalnz saylabilir sonsuz tane saylabilir kümelerin bile³iminin saylabilir oldu§unu göstermemiz yetecektir. Bu ko³ulu sa§layan kümeler A 0 , A 1 , A
2 , . . . , A n , . . .
olsun. imdi B i = A i − j A j (i = 0, 1, 2, 3, . . .) kümeler dizisini tanmlayalm. Bu ³ekilde tanmlanan {B i | i ∈ ω}
ailesinin ayrk ve i∈ω B i = i∈ω A i oldu§u açktr. Teorem 17.3.1 gere§ince, her i ∈ ω için B i kümesi saylabilir bir kümedir. u halde, sonlu ya da sonsuz olu³una göre, srasyla, B i = {b i 0 , b i 1 , b i 2 , . . . , b in } B i = {b i 0 , b i 1 , b i 2 , . . . , b in , . . .
} yazabiliriz. imdi bir f :
B i → ω × ω, f (b ij = (i, j) fonksiyonunu tanmlayalm. Bunun bire-bir bir fonksiyon oldu§u kolayca göste- rilebilir. Öyleyse i∈ω
B i ω dr; yani bu bile³im saylabilir bir kümedir. ⊡ Teorem 17.3.6. Terimleri saylabilir bir kümeye ait olan bütün sonlu dizilerin kümesi saylabilir bir kümedir. spat: Verilen saylabilir kümeye A diyelim. Sabit bir n says alnd§nda, terimleri A dan alnan n-sral bütün ö§elerin olu³turdu§u kümeyi i∈ω
A i , A i = A, (i = l, 2, 3, ..., n) 17.4. GERÇEL SAYILAR 205
³eklinde yazabiliriz. imdi n yi bütün sonlu saylar üzerinde kaydrd§mz za- man, ayn yolla, bütün sonlu dizilerin kümesini elde edebiliriz. Bu kümeyi S =
n i =1 A i ³eklinde yazabiliriz. Sonuç 17.3.2 gere§ince, bu ifadede parantez içinde bulunan Π n i =1 A i kartezyen çarpmlar saylabilir birer kümedir. Teorem 17.3.5 gere§ince, saylabilir sayda saylabilir kümelerin bile³imi saylabilirdir. Dolaysyla S kümesi saylabilir bir kümedir. ⊡ Sonuç 17.3.4. Saylabilir bir alfabeden olu³an bütün kelimeler kümesi sayla- bilir bir kümedir. Teorem 17.3.7. Cebirsel saylar kümesi saylabilir bir kümedir. spat: Tamsay katsayl a n x n + a n− 1 x n− 1 + a n− 2 x n− 2 + · · · + a 1 x + a 0 ³eklindeki polinomlarn kökü olan karma³k saylara cebirsel saylar diyoruz. Rasyonel saylarn bir alt kümesi oldu§undan, Z tamsaylar kümesi saylabilir kümedir. Öyleyse, Teorem 17.3.6 gere§ince, yukardaki gibi yazlabilen bütün polinomlarm kümesi saylabilir. Bir polinomun ancak sonlu sayda kökü ola- ca§ndan, Sonuç 17.3.4 uyarnca, saylabilir tane polinonun saylabilir (sonlu) köklerinin olu³turdu§u küme saylabilir bir kümedir. ⊡ Teorem 17.3.8. Saylabilir bir kümenin bütün sonlu alt-kümelerinin olu³tur- du§u aile saylabilir bir kümedir. spat: Söz konusu saylabilir küme olarak ω do§al saylar kümesini alrsak, teoremin genelli§i bozulmaz. ω nn her sonlu A alt kümesinin ö§elerini küçükten büyü§e do§ru bir tek ³ekilde sralayabiliriz. Ö§e says n (n ∈ ω) olmak üzere A , kümesinin ö§elerinin, do§al srada, A = A n = {a
0 , a
1 , a
2 , . . . , a n }
sraland§n varsayalm. A = A n kümesinin ö§elerini (a 0 , a
1 , a
2 , . . . , a n )
dizisine e³leyebiliriz. Bu e³leme, ω nn bütün sonlu alt kümeleri ailesinden sonlu diziler ailesine bire-birdir. Tabii (a 0
1 , a
2 , . . . , a n ) ∈
n i =1 A i = ω n , A
i = ω
yazabiliriz. Teorem 17.3.6 gere§ince, bu ³ekildeki sonlu dizilerin olu³turdu§u küme saylabilir olacaktr. ⊡ 17.4 GERÇEL SAYILAR 17.4.1 Dedekind Kesimi Gerçel saylar kurmann yollarndan birisi ve ilk kurgulanan Dedekind Kesimi yöntemidir. 206 BÖLÜM 17. SAYILABLR KÜMELER Tanm 17.4.1. Rasyonel saylarn a³a§daki üç özeli§e sahip olan her A alt kümesi bir Dedekind kesimidir: 1. A = ∅ ve A = Q 2. (a ∈ A) ∧ (b < a) ⇒ b ∈ A 3. (a ∈ A)∃a ′ ∈ A : a < a ′ A ∪ A ′ = Q
ve A ∩ A ′ = ∅ dir. Dolaysyla, her Dedekind kesimi rasyonel saylar iki ayrk kümeye ayrr. Dedekind kesimine ait her ö§e, tümleyene ait her ö§eden küçüktür. Bu nedenle, Dedekind kesimine alt yar küme, tümleyenine ise üst yar küme denilir. Tanm 17.4.2. Rasyonel saylar kümesinin bütün Dedekind kesimlerinin olu³- turdu§u küme gerçel saylar kümesidir. Gerçel saylar kümesi üzerinde toplama, çkarma, çarpma ve bölme i³lem- leriyle sralama ba§nts Dedekind kesimi yardmyla tanmlanabilir. 17.5 PROBLEMLER 1. Öklid düzlemindeki rasyonel koordinatl noktalar kümesinin saylabilir oldu§unu gösteriniz. 2. Gerçel eksen üzerinde, birbirini kesmeyen aralklardan olu³an her ailenin saylabilir oldu§unu gösteriniz. 3. Bir f : R → R fonksiyonu x < y ⇒ f(x) < f(y) olacak ³ekilde veriliyor. f fonksiyonunun süreksizlik yerlerinin saylabilir bir küme olu³turdu§unu gösteriniz. 4. Saylabilir bir kümeyi, birbirlerinden ayrk saylabilir tane saylabilir kü- melerin bile³imi olarak yaznz. 5. Do§ru ya da düzlem üzerinde ancak sonlu tane y§lma noktasna sahip sonsuz bir noktalar kümesi veriliyor. Bu kümenin saylabilir oldu§unu ve ifadenin kar³tnn do§ru olamayaca§n bir örnekle gösteriniz. 6. Rasyonel saylardan gerçel saylar kurmann ba³ka bir yolu topolojik yön- temdir. Terimleri rasyonel saylar olan Cauchy dizilerini D ile gösterelim. ,D kümesi üzerinde, ayn limite giden dizileri denk sayan bir denklik ba§n- ts kurulabilir. Bu ba§ntnn denklik sn arnn olu³turdu§u küme gerçel saylar kümesidir. Gerçel saylar kümesi üzerinde toplama, çkarma, çarpma ve bölme i³lem- leri, dizilerin analizden bilinen i³lemleri yardmyla tanmlanabilir. Bunu yapmay deneyiniz. Download 139,43 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|