Sirt nuqtalarining klassifikatsiyasi

Sirt nuqtalarining klassifikatsiyasi ...

1

22 ma’ruza.

Eyler formulasi. Dyupen indikatrisasi.

Sirt nuqtalarining klassifikatsiyasi

1

.

B.A.Tursunov

Ma’ruza rejasi

1-§. Eyler formulasi.

2-§. Dyupen indikatrisasi.

3-§. Sirt nuqtalarining klassifikatsiyasi.

1§. Eyler formulasi.

Tarif-1. Sirt nuqtasida A

−1

B matritsaning xos vektorlari aniqlovchi yo’nalishlar bosh

yo’nalishlar, bosh yo’nalishlarga mos keluvchi normal egriliklar bosh egriliklar deb ataladi.

Endi T

p

Φ-urinma fazoda bazis sifatida birlik ~

e

1

va ~

e

2

xos vektorlarni olib, ixtiyoriy ~a

vektor uchun ϕ bilan ~a va ~

e

1

orasidagi burchakni belgilaylik.

Teorema-1 (Eyler). Ixtiyoriy ~a ∈ T

p

Φ urinma vektor uchun

k

n

(~a) = k

1

cos

2

ϕ + k

2

sin

2

ϕ

tenglik o’rinlidir.

Bu yerda k

1

, k

2

-bosh egriliklar bo’lib, aniqlik uchun k

1

≥ k

2

deb

hisoblaymiz.

Isbot. Urinma vektorni ~a = a

1

~

e

1

+ a

2

~

e

2

ko’rinishda yozib k

n

(~a) ni hisoblaymiz:

k

n

(~a) =

II(~a, ~a)

I(~a, ~a)

=

λ

1

a

2

1

+ λ

2

a

2

2

a

2

1

+ a

2

2

= λ

1

a

2

1

|a|

2

+ λ

2

a

2

2

|a|

2

=

= λ

1

cos

2

ϕ + λ

2

sin

2

ϕ = k

1

cos

2

ϕ + k

2

sin

2

ϕ.

Natija. Bosh egriliklar normal egrilikning ekstremal qiymatlaridir.

Haqiqatan ham, urinma fazoda ~

e

1

va ~

e

2

ortonormal bazislarni tanlasak, ~a yo’nalish

aniqlovchi k

n

(~a) normal egrilikni ϕ ning funksiyasi sifatida qaraymiz:

k

n

(ϕ) = k

1

cos

2

ϕ + k

2

sin

2

ϕ.

ϕ = 0 va ~a = ~

e

1

bo’lganda k

n

(0) = k

n

(~a) = k

1

,

ϕ =

π

2

da ~a

0

bo’lganda k

n

(

π

2

) = k

n

(~a) = k

2

.

Ixtiyoriy ϕ uchun yuqoridagi formulani

k = (k

1

− k

2

)cos

2

ϕ + k

2

ko’rinishda yozib,

k

0

(ϕ) = 2(k

1

− k

2

) cos ϕ sin ϕ = (k

1

− k

2

) sin 2ϕ

ni hosil qilamiz. sin 2ϕ = 0 tenglamani yechib ϕ = 0 va ϕ =

π

2

ni topamiz. Demak, k

1

va k

2

– k

n

(ϕ) funksiyaning ekstremal qiymatlaridir.

1

Bu ma’ruza matni A.Ya.Narmanovning ”Differensial geometriya” darsligidan olingan.

2

B.A.Tursunov

2-§. D’yupen indikatrisasi.

Regulyar Φ sirtning p nuqtasini fiksirlab, ixtiyoriy urinma ~a vektor bo’yicha k

n

(~a) nor-

mal egrilikni hisoblab, urinma tekislikda ~a yo’nalish bo’yicha boshi p nuqtada joylashgan

uzunligi

1

√

|k|

ga teng bo’lgan kesma olib, bu kesmalar uchlarining geometrik o’rnini D’yupen

indikatrisasi deb ataymiz.

D’yupen indikatrisasi ikkinchi tartibli chiziqdir. Uni isbotlash uchun Φ sirtning ~

r =

~

r(u, v) tenglama bilan aniqlangan parametrlash usulini tanlab, p(u

0

, v

0

) nuqtadan o’tuvchi

urinma tekislikda ~

r

u

(u

0

, v

0

), ~

r

v

(u

0

, v

0

) vektorlarni bazis sifatida olib, affin koordinatalar sis-

temasini kiritamiz. Ixtiyoriy ~a yo’nalish bo’yicha boshi p nuqtada va uzunligi

1

√

|k

n

(~

a)|

ga

teng bo’lgan kesma oxirini m(x, y) bilan belgilasak,

~

pm = ~

r

u

x + ~

r

v

y =

1

p|k

n

(~a)|

~

r

u

x + ~

r

v

y

|~r

u

x + ~

r

v

y|

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga oshirib,

E(u

0

, v

0

)x

2

+ 2F (u

0

, v

0

)xy + G(u

0

, v

0

)y

2

=

1

|k

n

(~a)|

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda

k

n

(~a) =

L(u

0

, v

0

)x

2

+ 2M (u

0

, v

0

)xy + N (u

0

, v

0

)y

2

E(u

0

, v

0

)x

2

+ 2F (u

0

, v

0

)xy + G(u

0

, v

0

)y

2

tenglikni hisobga olsak,

|L(u

0

, v

0

)x

2

+ 2M (u

0

, v

0

)xy + N (u

0

, v

0

)y

2

| = 1

tenglamani hosil qilamiz. Demak, D’yupen indikatrisasi ikkinchi tartibli chiziqdir.

3-§. Sirt nuqtalarining klassifikatsiyasi.

Analitik geometriya kursidan ma’lumki, ikkinchi tartibli chiziqlar uchun quyidagilarni

ayta olamiz. Agar

a) LN − M

2

> 0 bo’lsa, Dyupen indikatrisasi ellips bo’ladi;

b) LN − M

2

< 0 bo’lsa, D’yupen indikatrisasi giperbola bo’ladi;

c) LN − M

2

= 0 bo’lsa, D’yupen indikatrisasi 2 ta parallel to’g’ri chiziq bo’ladi.

elliptik nuqta,

giperbolik nuqta,

parabolik nuqta

Sirt nuqtalarining klassifikatsiyasi ...

3

Φ sirtning p nuqtasidagi bosh egriliklar k

1

, k

2

bo’lsa, H =

k

1

+k

2

2

va K = k

1

· k

2

ifodalar

mos ravishda Φ sirtning p nuqtadagi o’rta va to’liq (yoki Gauss) egriliklari deb ataladi. Bosh

egriliklar det |B − λA| = 0 tenglamaning yechimi ekanligini hisobga olsak,

K =

LN − M

2

EG − F

2

va H =

1

2

EN − 2F M + GL

EG − F

2

formulalarni hosil qilamiz. Birinchi kvadratik forma musbat aniqlangani uchun Gauss egrilig-

ining ishorasi LN − M

2

ifodaning ishorasiga bog’liqdir. Agar p

0

nuqtada K > 0 bo’lsa, uni

elliptik nuqta, ψ bo’lsa, giperbolik nuqta, agar K = 0 bo’lsa, p ni parabolik nuqta deb

ataymiz.

Birorta ~a yo’nalish bo’yicha k

n

(~a) = 0 bo’lsa, bunday yo’nalishni asimptotik yo’nalish

deb ataymiz. ~a = {x, y} vektor aniqlovchi yo’nalish asimptotik yo’nalish bo’lishi uchun Lx

2

+

2M xy + N y

2

= 0 bo’lishi zarur va yetarlidir (analitik geometriyadan berilgan yo’nalishninh

asimptotik bo’lish sharti).

Elliptik nuqtada asimptotik yo’nalishlar yo’q, giperbolik nuqtada ikkita asimptotik

yo’nalish mavjud, parabolik nuqtada bitta asimptotik yo’nalish mavjud, va nihoyat, yassilan-

ish nuqtasida (ya’ni k

1

= 0, k

2

= 0 bo’lganda) hamma yo’nalishlar asimptotik yo’nalishdir.

Φ sirtda silliq γ chiziq u = u(t), v = v(t) tenglama bilan berilib, uning har bir nuq-

tasida urinma vektori asimptotik yo’nalishni aniqlasa, bunday chiziq asimptotik chiziq dey-

iladi. Tabiiyki, sirtda to’g’ri chiziq yotsa, u asimptotik chiziq bo’ladi. Analitik geometriya

kursidan bilamizki, bir pallali giperboloidning har bir nuqtasida ikkita asimptotik yo’nalish

mavjud. γ asimptotik chiziq bo’lishi uchun u(t), v(t) funksiyalar Ldu

2

+2M dudv +N dv

2

= 0

differensial tenglamaning yechimlari bo’lishi zarur va yetarlidir. Φ sirtda u = const va

v = const tenglama bilan aniqlanadigan chiziqlar (ya’ni koordinata chiziqlari) asimptotik

chiziqlar bo’lishi uchun L = N = 0 bo’lishi zarur va yetarlidir.