Solving Polynomial Equations


Download 408.88 Kb.
Pdf ko'rish
bet1/5
Sana02.04.2022
Hajmi408.88 Kb.
#623161
  1   2   3   4   5
Bog'liq
Cherowitzo SolvingPolyEqsIII
talabaning kundaligi, b1bf0c4e582f22ee5a27f8e43496933d, 3-var(amaliy), 3-var(M ISH 1 ), 9-мавзу, Эконометрик моделларнинг ахборот таъминоти, Qo\'llanma, E-aktiv, O‘RQ-499 15.10.2018, Kompyuterning quvvat manbai quvvatini hisoblash


Solving Polynomial 
Equations
Part III


Ferrari and the Biquadratic
Ferrari's solution of the quartic (biquadratic) equation involved the 
introduction of a new variable and then specializing this variable to 
put the equation into a form that could easily be solved. Finding the 
right specialization involved solving a cubic equation (called the 
resolvent of the original quartic). Here are the details, again using 
modern techniques.
Consider the general quartic equation
x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0,
and rewrite it as
x
4
+ ax
3
= -bx
2
-cx -d.
Now add ¼ a
2
x
2
to both sides to make the LHS a perfect square:
(x
2
+ ½ ax)
2
= (¼ a
2
– b)x
2
– cx -d.


Ferrari and the Biquadratic
We introduce a new variable by adding y(x
2
+ ½ ax) + ¼ y
2
to both 
sides of the equation (
this keeps the LHS a perfect square
):
(x
2
+ ½ ax + ½ y)
2
= (¼ a
2
– b + y)x
2
+ (-c + ½ ay)x + (-d + ¼ y
2
).
If we can chose a y so that the RHS is a perfect square, the resulting 
quartic equation would be very easy to solve. Now, a quadratic
Ax
2
+ Bx + C
is a perfect square (
has two equal roots
) if and only if B
2
– 4AC = 0. 
So we consider the equation (
resolvent
):
(-c + ½ ay)
2
= 4(¼ a
2
– b + y)(-d + ¼ y
2
) or
y
3
– by
2
+ (ac – 4d)y + 4bd – a
2
d – c
2
= 0

With y being any solution of this cubic, we obtain
(x
2
+ ½ ax + ½ y)
2
= (ex + f)
2

where (in general)

Download 408.88 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling