Сонлар кетма-кетлигининг лимити 1 0 Сонлар кетма-кетлигининг лимити тушунчаси


Download 0.59 Mb.
Pdf ko'rish
bet1/3
Sana15.12.2020
Hajmi0.59 Mb.
#167726
  1   2   3
Bog'liq
ket-ket lim
11-259, 11-259, matem 1, matem 1, yuk kotarish va tashish mashina mexanizmlaridan foydalanishda hayot, 1 мавзу, 1-kurs talabalri YN savollari KUNDUZGI, 605f5b7e00963

Сонлар кетма-кетлигининг лимити 

1

0

  Сонлар  кетма-кетлигининг  лимити  тушунчаси.  Айтайлик, 

 


n

x

  кетма-


кетлик ва 

a

 сон берилган бўлсин. 



1  –  т  а  ъ  р  и  ф  .  Агар 

0





олинганда  ҳам  шундай 

 


N

n

n

0

0





 

топилсаки, 

0

n

n



 да 





a

x

n

 

бўлса, 

a

сон 

 


n

x

 кетма-кетликнинг   л и м и т и   дейилади ва  

a

x

lim

n

n





 

каби белгиланади. 

Хусусан, 



0

x

lim

n

n



 

бўлса, 



 

n

x

 чексиз кичик миқдор дейилади. 

Агар 

 


n

x

  кетма-кетлик  чекли  лимитга  эга  бўлса,  у  яқинлашувчи,  акс  ҳолда 

узоқлашувчи дейилади.  

2

0

. Кетма-кетлик лимитининг мавжудлиги ҳақида тасдиқлар

1) Агар 


 

n

x

 кетма-кетлик  ўсувчи бўлиб, юқоридан чегараланган бўлса, у 



яқинлашувчи бўлади. 

2)  Агар 

 

n

x

  кетма-кетлик  камаювчи  бўлиб,  қуйидан  чегараланган  бўлса,  у 

яқинлашувчи бўлади. 

3)  Агар 

 

n

x

  , 


 

n

y

  ва 


 

n

z

  кетма-кетликлар  учун    бирор  номердан  бошлаб 

барча  

n

 

N

 лар учун 



n

n

n

z

y

x



 бўлиб, 

a

z

lim

x

lim

n

n

n

n





 

бўлса, 



a

y

lim

n

n



 

бўлади. 



4) 

 


n

x

  кетма-кетликнинг  яқинлашувчи  бўлиши  учун 



0



  олинганда  ҳам 

шундай 

N

)

(

n

n

0

0



 топилиб, 



0

n

n





0

n

m



 да 



m

n

 





m

n

x

x

 

бўлиши зарур ва етарли (Коши теоремаси (критерийси)) 



3

0

.  Яқинлашувчи  кетма-кетликлар  устида  амаллар.  Айтайлик, 

 


n

x

ва 


 

n

y

 

кетма-кетликлар чекли 



n

n

n

n

y

lim

,

x

lim



 



ларга эга бўлсин. У ҳолда: 

1) 




n



n

n

n

n

n

n

y

lim

x

lim

y

x

lim







2) 





n



n

n

n

n

n

n

y

lim

x

lim

y

x

lim









3) 



0

y

lim

y

lim

x

lim

y

x

lim

n

n

n

n

n

n

n

n

n









4) 

n

n

y

x

 бўлганда 



n

n

n

n

y

lim

x

lim





 бўлади. 

 

4

0



e

 - с о н и Ушбу 

n

n

n

1

1

x





 



 



,...



3

,

2

,

1

n



 



кетма-кетликнинг лимити (у яқинлашувчи бўлади) 

e

 сони дейилади: 

e

n

1

1

lim

n

n





 




 



e

-иррационал сон бўлиб, 



...

7182818284

,

2

e

бўлади. 



5

0

.  Чексиз  катта  миқдорлар.  Бирор 

 


n

x

  кетма-кетлик  берилган  бўлсин.  Агар 



0



 олиганда ҳам шундай 

 

N

n

n

0

0



 топилсаки, 



0

n

n



да 



n

x

 

бўлса, 



n

x

 кетма-кетликнинг лимити чексиз дейилади ва  







n

n

x

lim

 

каби ёзилади. Бундай кетма-кетлик чексиз катта миқдор дейилади. 



6

0

.  Кетма-кетликнинг  қуйи  ва  юқори  лимитлари.  Бирор 

 


n

x

  кетма-кетлик 

берилган бўлиб, 

 


k

n

x

 унинг қисмий кетма-кетлиги бўлсин. Одатда, 

 

k

n

x

 нинг лимити 

берилган 

 


n

x

кетма-кетликнинг қисмий лимити дейилади. 

 

 


n

x

  кетма-кетликнинг  қисмий  лимитларининг  энг  каттаси  (энг  кичиги) 

 

n

x

кетма-кетликнинг юқори (қуйи) лимити дейилади ва у  

 











n



n

n

n

x

lim

x

lim

 

каби белгиланади. 



1 – м и с о л . Лимит таърифидан фойдаланиб 

0

5

n

n

1

lim

3

n





 

 

 

 

(1) 

бўлиши исботлансин. 

◄  (1)  муносабатни  исботлаш  учун 



0



олинганда  ҳам  шундай  натурал 

 





0

0

n

n

 топилишини кўрсатиш керакки, 



0

n

n



 да 

 





0



x

n

 яъни  







0



5

n

n

1

3

 

(2) 

 

тенгсизлик бажарилсин. 



 

Равшанки. 

5

n

n

1

0

5

n

n

1

3

3





 

 



бўлиб,  

3

3

n

1

5

n

n

1



 

 



бўлади. Демак, 



3

n

1

 

тенгсизлик, яъни 



3

1

n



 

бажарилса, унда (2) тенгсизлик ҳам ўринли бўлади. Демак, юқорида айтилган 



0

n

 топилди 

ва уни  

1

1

n

3

0









 



деб олиш етарли бўлади.► 

 

2 – м и с о л Ушбу 



,...



3

,

2

,

1

n

n

!

n

x

n

n



 

 

кетма-кетлик лимитининг мавжудлиги исботлансин ва унинг лимити топилсин. 

◄Равшанки, 



N

n



  да 

0

x

n

.  Бинобарин  берилган  кетма-кетлик  қуйидан 



чегараланган. 

Энди 






n

n

n

n

n

1

n

1

n

1

n

n

x

1

n

n

n

!

n

1

n

!

1

n

x













 

 

бўлишини ҳамда 



1

1

n

n



 эканини эътиборга олиб, 

1

n

n

x

x



 тенгсизликнинг 

бажарилишини топамиз. Бундан 

 

n

x

 кетма-кетликнинг камаювчи эканлиги келиб 

чиқади. Демак, берилган кетма-кетлик чекли лимитга эга. Уни 

a

 билан белгилайлик: 



a

n

!

n

lim

n

n



 

Бернулли тенгсизлигига 







1

;

n

1

1

n







  кўра 

 


2

n

1

n

1

n

1

1

n







 


 

 

бўлиб, ундан 





n



n

n

2

1

n



 бўлиши келиб чиқади. Бу тенгсизликни эътиборга олиб 

топамиз: 









1



n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

1

n

n

x

1

n

n

x

1

n

n

1

n

x

1

n

n

x

x

x

x











 

Кейинги тенгсизликдан 



1

n

n

n

n

x

lim

2

x

lim





яъни 



a

2

a

 бўлиб, ундан 



0

a

 бўлиши келиб чиқади.  



Демак, 

0

n

!

n

lim

n

n



.► 


 

Сонлар кетма-кетлиги лимити таърифига кўра a  сони 

 


n

x

 кетма-

кетликнинг лимити эканлиги исботлансин. 

437

0

10



,

0

10



10

0

10



1

n

n

x

a

n

x

a

n

n

n



 



 

 



 



 

;  


438

0

,



1

1

1



1

1

1



1

1

1



1

1

n



n

n

x

a

n

n

x

a

n

n

n

n

n





 

 


 




 



 

 


;  

439

n

1

n

x

n





1

a



440. 

1

n

2

n

x

n





2

1

a

 



441. 

 


3

n

2

1

x

n

n





0



a

 



442

 


n

1

2

x

n

n





0



a

 



443. 

0

1



sin

,

0



2

0,005


1

1

1



sin

0

sin



2

2

1



0,005

1

200



0,005

201


n

n

x

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n







 

 








;  


 

 

 

444. 

 


 

1

2



1

2

2



0

1

,



0

1

1



1

0

1



1

1

1



n

n

n

n

n

x

a

n

n

n

x

a

n

n

n

n









 

 


 



 



 

 


;  

445. 

2

n

3

1

n

4

x

2

2

n





3



4

a

 



446. 

6

n

5

n

4

4

n

3

n

2

x

2

2

n







2

1

a

 



447. 

2

n

n

6

x

n





6



a



 

448. 

2

n

n

3

1

x

2

2

n





3



a



 

449. 

2

0



2

,

0



2

1

0,06



2

2

2



2

1

2



1

2

1 1112



n

n

x

a

n

x

a

n

n

n

n





 





 



 


 



 



;  



Download 0.59 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling