Сонлар кетма-кетлигининг лимити 1 0 Сонлар кетма-кетлигининг лимити тушунчаси

Сонлар кетма-кетлигининг лимити 

1

0

  Сонлар  кетма-кетлигининг  лимити  тушунчаси.  Айтайлик, 

 

n

x

  кетма-

кетлик ва 

a

 сон берилган бўлсин. 

1  –  т  а  ъ  р  и  ф  .  Агар 

0







олинганда  ҳам  шундай 

 

N

n

n

0

0







 

топилсаки, 

0

n

n





 да 







a

x

n

 

бўлса, 

a

сон 

 

n

x

 кетма-кетликнинг   л и м и т и   дейилади ва  

a

x

lim

n

n







 

каби белгиланади. 

Хусусан, 

0

x

lim

n

n







 

бўлса, 

 

n

x

 чексиз кичик миқдор дейилади. 

Агар 

 

n

x

  кетма-кетлик  чекли  лимитга  эга  бўлса,  у  яқинлашувчи,  акс  ҳолда 

узоқлашувчи дейилади.  

2

0

. Кетма-кетлик лимитининг мавжудлиги ҳақида тасдиқлар: 

1) Агар 

 

n

x

 кетма-кетлик  ўсувчи бўлиб, юқоридан чегараланган бўлса, у 

яқинлашувчи бўлади. 

2)  Агар 

 

n

x

  кетма-кетлик  камаювчи  бўлиб,  қуйидан  чегараланган  бўлса,  у 

яқинлашувчи бўлади. 

3)  Агар 

 

n

x

  , 

 

n

y

  ва 

 

n

z

  кетма-кетликлар  учун    бирор  номердан  бошлаб 

барча  

n

 

N



 лар учун 

n

n

n

z

y

x





 бўлиб, 

a

z

lim

x

lim

n

n

n

n













 

бўлса, 

a

y

lim

n

n







 

бўлади. 

4) 

 

n

x

  кетма-кетликнинг  яқинлашувчи  бўлиши  учун 

0







  олинганда  ҳам 

шундай 

N

)

(

n

n

0

0







 топилиб, 

0

n

n





, 

0

n

m





 да 





m

n



 







m

n

x

x

 

бўлиши зарур ва етарли (Коши теоремаси (критерийси)) 

3

0

.  Яқинлашувчи  кетма-кетликлар  устида  амаллар.  Айтайлик, 

 

n

x

ва 

 

n

y

 

кетма-кетликлар чекли 

n

n

n

n

y

lim

,

x

lim









 

ларга эга бўлсин. У ҳолда: 

1) 





n

n

n

n

n

n

n

y

lim

x

lim

y

x

lim



















, 

2) 





n

n

n

n

n

n

n

y

lim

x

lim

y

x

lim



















, 

3) 





0

y

lim

y

lim

x

lim

y

x

lim

n

n

n

n

n

n

n

n

n





















, 

4) 

n

n

y

x



 бўлганда 

n

n

n

n

y

lim

x

lim











 бўлади. 

 

4

0

. 

e

 - с о н и . Ушбу 

n

n

n

1

1

x











 



 





,...

3

,

2

,

1

n



 

кетма-кетликнинг лимити (у яқинлашувчи бўлади) 

e

 сони дейилади: 

e

n

1

1

lim

n

n













 





 

e

-иррационал сон бўлиб, 

...

7182818284

,

2

e



бўлади. 

5

0

.  Чексиз  катта  миқдорлар.  Бирор 

 

n

x

  кетма-кетлик  берилган  бўлсин.  Агар 

0







 олиганда ҳам шундай 

 

N

n

n

0

0







 топилсаки, 

0

n

n





да 





n

x

 

бўлса, 

n

x

 кетма-кетликнинг лимити чексиз дейилади ва  









n

n

x

lim

 

каби ёзилади. Бундай кетма-кетлик чексиз катта миқдор дейилади. 

6

0

.  Кетма-кетликнинг  қуйи  ва  юқори  лимитлари.  Бирор 

 

n

x

  кетма-кетлик 

берилган бўлиб, 

 

k

n

x

 унинг қисмий кетма-кетлиги бўлсин. Одатда, 

 

k

n

x

 нинг лимити 

берилган 

 

n

x

кетма-кетликнинг қисмий лимити дейилади. 

 

 

n

x

  кетма-кетликнинг  қисмий  лимитларининг  энг  каттаси  (энг  кичиги) 

 

n

x

кетма-кетликнинг юқори (қуйи) лимити дейилади ва у  

 





















n

n

n

n

x

lim

x

lim

 

каби белгиланади. 

1 – м и с о л . Лимит таърифидан фойдаланиб 

0

5

n

n

1

lim

3

n











 

 

 

 

(1) 

бўлиши исботлансин. 

◄  (1)  муносабатни  исботлаш  учун 

0







олинганда  ҳам  шундай  натурал 

 





0

0

n

n

 топилишини кўрсатиш керакки, 

0

n

n





 да 

 







0

x

n

, 

 яъни  











0

5

n

n

1

3

 

(2) 

 

тенгсизлик бажарилсин. 

 

Равшанки. 

5

n

n

1

0

5

n

n

1

3

3













 

 

бўлиб,  

3

3

n

1

5

n

n

1







 

 

бўлади. Демак, 





3

n

1

 

тенгсизлик, яъни 

3

1

n





 

бажарилса, унда (2) тенгсизлик ҳам ўринли бўлади. Демак, юқорида айтилган 

0

n

 топилди 

ва уни  

1

1

n

3

0















 

деб олиш етарли бўлади.► 

 

2 – м и с о л . Ушбу 





,...

3

,

2

,

1

n

n

!

n

x

n

n





 

 

кетма-кетлик лимитининг мавжудлиги исботлансин ва унинг лимити топилсин. 

◄Равшанки, 

N

n





  да 

0

x

n



.  Бинобарин  берилган  кетма-кетлик  қуйидан 

чегараланган. 

Энди 













n

n

n

n

n

1

n

1

n

1

n

n

x

1

n

n

n

!

n

1

n

!

1

n

x



































 

 

бўлишини ҳамда 

1

1

n

n





 эканини эътиборга олиб, 

1

n

n

x

x





 тенгсизликнинг 

бажарилишини топамиз. Бундан 

 

n

x

 кетма-кетликнинг камаювчи эканлиги келиб 

чиқади. Демак, берилган кетма-кетлик чекли лимитга эга. Уни 

a

 билан белгилайлик: 

a

n

!

n

lim

n

n







 

Бернулли тенгсизлигига 













1

;

n

1

1

n

















  кўра 

 

2

n

1

n

1

n

1

1

n



















 

 

 

бўлиб, ундан 





n

n

n

2

1

n





 бўлиши келиб чиқади. Бу тенгсизликни эътиборга олиб 

топамиз: 

















1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

1

n

n

x

1

n

n

x

1

n

n

1

n

x

1

n

n

x

x

x

x































 

Кейинги тенгсизликдан 

1

n

n

n

n

x

lim

2

x

lim













, 

яъни 

a

2

a



 бўлиб, ундан 

0

a



 бўлиши келиб чиқади.  

Демак, 

0

n

!

n

lim

n

n







.► 

 

Сонлар кетма-кетлиги лимити таърифига кўра a  сони 

 

n

x

 кетма-

кетликнинг лимити эканлиги исботлансин. 

437. 

0

10

,

0

10

10

0

10

1

n

n

x

a

n

x

a

n

n

n









 

 



 





 

 

;  

438. 

0

,

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

n

n

n

x

a

n

n

x

a

n

n

n

n

n











 

 



 







 





 

 

;  

439. 

n

1

n

x

n





; 

1

a



. 

440. 

1

n

2

n

x

n





; 

2

1

a



 

441. 

 

3

n

2

1

x

n

n







; 

0

a



 

442. 

 

n

1

2

x

n

n







; 

0

a



 

443. 

0

1

sin

,

0

2

0,005

1

1

1

sin

0

sin

2

2

1

0,005

1

200

0,005

201

n

n

x

a

n

n

n

n

n

n

n

n

n

















 

 





















;  

 

 

 

444. 

 

 

1

2

1

2

2

0

1

,

0

1

1

1

0

1

1

1

1

n

n

n

n

n

x

a

n

n

n

x

a

n

n

n

n























 

 

 





 





 

 

;  

445. 

2

n

3

1

n

4

x

2

2

n







; 

3

4

a



 

446. 

6

n

5

n

4

4

n

3

n

2

x

2

2

n











; 

2

1

a



 

447. 

2

n

n

6

x

n







; 

6

a





 

448. 

2

n

n

3

1

x

2

2

n







; 

3

a





 

449. 

2

0

2

,

0

2

1

0,06

2

2

2

2

1

2

1

2

1 1112

n

n

x

a

n

x

a

n

n

n

n











 















 



 





 

 









;