Sonli ketma-ketliklarning yaqinlashishi

Sonli ketma-ketliklarning yaqinlashishi.
Ushbu
, , . . . , , . . . (1)
Haqiqiy sonlar ketma-ketligi berilgan bo’lsin.
Ta’rif. Quyidagi
(2)
Ifoda qator (sonli qator) deb ataladi. (2) qator qisqacha kabi belgilanadi.

Yuqoridagi (1) ketma-ketlikning , , … , ,… elementlari qatorning hadlari deyiladi. esa qatorning umumiy xadi deyiladi. (2) qatorning hadlaridan quyidagi
,
,
,
. . . . . . . . . . . . . . .
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Yig’indilarni tuzamiz. Bu yig’indilar qatorning qismiy yig’indilari deyiladi. Demak, (2) qator berilgan holda har doim bu qatorning qismiy yig’indilaridan iborat ushbu
: , , , . . . , , . . .
Sonlar ketma-ketligini hosil qilish mumkin.
2-ta’rif. Agar da (2) qatorning qismiy yig’indilaridan iborat ketma-ketlik chekli limitga ega, ya’ni:

Bo’lsa, u holda qator yaqinlashuvchi deyiladi. Bu limitning qiymati _A son (2) qatorning yig’indisi deyiladi va quyidagicha yoziladi:

3-tarif. Agar da (2) qatorning qismiy yig’ndilaridan iborat ketma- ketlikning limiti cheksiz bo’lsa yoki bu limit mavjud bo’lmasa, u holda (2) qator uzoqlashuvchi deyiladi.
Misollar.
1. Ushbu

Qatorni qaraylik, bu qatorning qismiy yig’indisini hisoblab, uning limitini topamiz:

Demak, berilgan qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi 2 ga teng:
.
2. Quyidagi

Qator uzoqlashuvchi, chunki bu qatorning qismiy yig’indisi

bo’lib,
3. Quyidagi

qator ham uzoqlashuvchi, chunki bu qatorning qismiy yig’indisi

bo’lib, ketma-ketlik limitga ega emas.
4. Geometrik progressiya , . . . , . . . hadlaridan tuzilgan

qatorni qaraylik. Odatda bu qator geometric qator deyiladi. Bu qatorning qismiy yig’indisini yozamiz:

Agar bo’lsa,

bo’ladi. Demak, bu holda geometric qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi songa teng.
Agar bo’lsa bo’lib, qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Agar bo’lsa, da bo’lib, qator uzoqlashuvchi, bo’lganda esa ketma-ketlik limitga ega emas. Demak, bu holda ham qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Shunday qilib, geometric qator bo’lganda yaqinlashuvchi, va bo’lganda uzoqlashuvchi bo’ladi.
5. Quyidagi
(3)
qatorni olaylik. Bu qator garmonik qator deb ataladi (Ma’lumki, agar va sonlar uchun

Tenglik o’rinlibo’lsa, c son a va b sonlarning o’rta garmonik qiymati deyiladi. Berilgan (3) qatorning ikkinchi hadidan boshlab, har bir hadi o’ziga bevosita qo’shni bo’lgan ikki hadining o’rta qiymatini tashkil etadi. (3) qatorning garmonik qator deb atalishi ham shundan kelib chiqqan.) (3) qatorning birinchi ta hadidan tuzilgan

qismiy yig’indisini olib, uni quyidagicha yozib olamiz:

endi ushbu
,
,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

tengsizliklarni e’tiborga olsak, unda

tengsizlik o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Ravshanki, ketma-ketlik o’suvchi. Demak, _.Shunday qilib, garmonik qator uzoqlashuvchi.