Sonli qatorlar


Download 0.5 Mb.
Pdf ko'rish
bet1/4
Sana13.05.2020
Hajmi0.5 Mb.
  1   2   3   4

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI  

OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI 

ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI 

FIZIKA MATEMATIKA FAKULTETI 

 

III-KURS  M3 GURUH TALABASI  

ABDULLAYEVA XURSHIDANING 

 

“SONLI QATORLAR”  

mavzusida tayyorlagan 

 

 

 

KURS ISHI 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АНДИЖОН-2015 

 

 

 



 

R E J A 

 

1.   Asosiy   tushunchalar 

2.  Yaqinlashuvchi  qatorlar. Koshi  teoremasi 

3 .  Musbat  qatorlar 

   Xulosa 

  Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati  

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 


 

 



 

Asosiy   tushunchalar 

Biz mazkur  bobda,  sonli  qatorlarni,  ularning  yaqinlashishi,  uzoqlashishi, 

yaqinlashish    alomatlari    hamda    yaqinlashuvchi    qatorlarning    xossalarini  

o’rganamiz. 

Ushbu  





,

,

,



,

,

3



2

1

n



a

a

a

a

             

)

1

(



 

haqiqiy  sonlar  ketma—ketligi  berilgan  bo’lsin. 

 

1—ta’rif.   Quyidagi 







n



a

a

a

a

3

2



1

      


)

2

(



      

ifoda  qator   ( sonli  qator )  deb  ataladi.  Uni  





1

n

n

a

  kabi  belgilanadi: 





1

n

n

a







n

a

a

a

a

3

2



1

)



1

(

  ketma–ketlikning 



,



,

,

,



,

3

2



1

n

a

a

a

a

 elementlari  qatorning  hadlari  deyiladi, 



n

a

 esa  qatorning  umumiy (



n

– chi )  hadi  deyiladi.  

)

2

(



  qatorning   hadlaridan  

quyidagi  

                

.........

..........

..........

..........

,

...



..........

..........

..........

,

,



,

2

1



3

2

1



3

2

1



2

1

1



n

n

a

a

a

A

a

a

a

A

a

a

A

a

A









 

yig’indilarni  tuzamiz .  Ular  qatorning  qismiy  yig’indilari  deyiladi.   

 

Demak,   



)

2

(



    qator    berilgan    holda    har    doim    bu    qatorning    qismiy  

yig’indilaridan  iborat  ushbu  



n

A



,

,



,

,

,



3

2

1



n

A

A

A

A

 

sonlar  ketma –ketligini  hosil  qilish  mumkin.  



 

 2—ta’rif.    Agar   



n



   da   

)

2



(

  qatorning   qismiy    yig’indilaridan   iborat  



n

A

   ketma–ketlik  chekli  limitga  ega,  ya’ni   

                               

)

(



lim

R

A

A

A

n

n



 



 

 



 

bo’lsa ,  

)

2

(



  qator  yaqinlashuvchi  deyiladi. 

 

Bu    limitning    qiymati   



A

    son     

)

2

(



    qatorning    yig’indisi    deyiladi    va  

quyidagicha  yoziladi: 









n



a

a

a

A

2

1





1

n

n

a

 

3—ta’rif.   Agar   



n



   da  

)

2



(

  qatorning  qismiy  yig’indilaridan  iborat 



n

A

  ketma–ketlikning  limiti  cheksiz  bo’lsa  yoki  bu  limit  mavjud  bo’lmasa,  u  

holda   

)

2



(

  qator  uzoqlashuvchi  deyiladi.  Masalan: 

1)  Ushbu   









n



n

)

1



(

1

3



2

1

2



1

1

1



 

qator  yaqinlashuvchi,  chunki  



n

n

n

n

n

A

n

1

2



1

1

1



3

1

2



1

2

1



1

1

)



1

(

1



3

2

1



2

1

1



1













 





 










2

lim





n

n

A

.  


2)  Quyidagi   







n

3

2

1



 

qator  uzoqlashuvchi,  chunki  

2

)

1



(

3

2



1







n



n

n

A

n

 



bo’lib,  





n



n

A

lim


3)  Quyidagi   





1



1

1

1



 

qator  ham  uzoqlashuvchi ,  chunki   

 









lsa


bo'

son  


   

  toq


 

agar


,

1

lsa,



bo'

son  


juft  

  

 



agar

,

0



1

1

1



n

n

A

n

 



bo’lib,  

n

A

   ketma–ketlik  limitga  ega  emas . 

 

1—misol.  Geometrik progressiya 



,

,

,



,

1



n

aq

aq

a

  hadlaridan  tuzilgan    







1

2



n

aq

aq

aq

a

 


 

 



 

qatorni    yaqinlashuvchilikka      tekshirilsin.    Odatda    bu    qator    geometrik    qator  

deyiladi.  

 

  Ravshanki,  



                     

)

1



(

.

1



1

2









q

q

aq

a

aq

aq

aq

a

A

n

n

n

 



 

Agar   


1



q

  bo’lsa , 

q

a

A

n

n



1



lim

 

bo’ladi . Demak, bu  holda  geometrik  qator   yaqinlashuvchi  va  uning  yig’in– 



disi 

q

a

1



  songa  teng . 

 

Agar   



1



q

  bo’lsa ,  





n



n

A

lim


  bo’lib,  qator  uzoqlashuvchi  bo’ladi.   

 

Agar  



1



q

  bo’lsa,   



n

  da  




na

A

n

  bo’lib  qator  uzoqlashuvchi,  

1





q

    bo’lganda    esa 



n

A

    ketma–ketlik    limitga   ega    emas.   Demak,   bu   holda  

ham  qator  uzoqlashuvchi  bo’ladi. 

 

Shunday  qilib  geometrik   qator  



1



q

  bo’lganda  yaqinlashuvchi,  

1



q

  

bo’lganda   esa  uzoqlashuvchi  bo’ladi.  



 

2—misol.   Quyidagi   

                                     

)

3

(



1

3

1



2

1

1









n

 

qatorni    uzoqlashuvchi    bo’lishi    ko’rsatilsin.    Bu    qator    garmonik    qator    deb  



ataladi. 

 

  



)

2

(



  qatorning  birinchi   

k

2

  ta  



)

(

N



k

  hadidan  tuzilgan 



k

k

k

A

2

1



1

2

1



4

1

3



1

2

1



1

1

2











 

qismiy   yig’indisini  olib,  unu  quyidagicha  yozib  olamiz. 

.

2

1



2

2

1



1

2

1



16

1

10



1

9

1



8

1

7



1

6

1



5

1

4



1

3

1



2

1

1



1

1

2





























 





 




k

k

k

k

A



 

Endi  ushbu   



 

 



 

                    

2

1

2



1

2

2



1

2

1



2

1

2



1

2

2



1

1

2



1

,

2



1

16

1



8

16

1



16

1

16



1

9

1



,

2

1



8

1

4



8

1

8



1

8

1



8

1

8



1

7

1



6

1

5



1

,

2



1

4

1



4

1

4



1

3

1



1

1

1





























k

k

k

k

k

k

k

k

























 



 

tengsizliklarni  etiborga  olsak,  unda  

2

1

1



2





k

A

k

 

tengsizlikning    o’rinli    bo’lishi    kelib    chiqadi.  Ravshanki,   



k

A

2

    ketma—ketlik  



o’suvchi  va  





k



A

n

2

lim



.  Shunday  qilib,  garmonik  qator  uzoqlashuvchi. 

 

3—misol.   Ushbu 

                         









n

n

1

)



1

(

4



1

3

1



2

1

1



1

         

)

4

(



 

qatorni  yaqinlashuvchiligi,  yig’indisi   

2

ln

   ga  tengligi  ko’rsatilsin.  



 

 Bu  qatorning  qismiy  yig’indisini  yozamiz: 



n

A

n

n

1

)



1

(

4



1

3

1



2

1

1



1









 

Ma’lumki,   

)

(

)



1

(

4



3

2

)



1

ln(


4

3

2



x

r

n

x

x

x

x

x

x

n

n

n









 

bunda   


1

0





x

  uchun   

1

1

)



(



n

x

r

n

 

tengsizlik  o’rinli .  Yuqoridagi  formulada   



1



x

   deb  topamiz: 

)

1



(

2

ln



n

n

r

A



natijada  ushbu   

1

1

)



1

(

2



ln





n



r

A

n

n

 


 

 



 

tengsizlikka  kelamiz.  Undan  

2

ln

lim





n

n

A

 

kelib  chiqadi.   Demak,   



)

4

(



  qator  yaqinlashuvchi  va  uning  yig’indisi  

2

ln



  ga  

teng.  


 

Aytaylik    





1

n

n

a







n

a

a

a

a

3

2



1

 

qator  berilgan  bo’lsin.  Bu  qatorning  dastlabki 



m

 ta  hadini tashlash  natija-sida  

hosil  bo’lgan  ushbu   

                          

)

5

(



1

2

1









m

n

n

m

m

a

a

a

 



qator   



1

n



n

a

  qatorning  (  



m

— chi  hadidan  keyingi )  qoldig’i  deyiladi. 



 

2.  Yaqinlashuvchi  qatorlar. Koshi  teoremasi 

 

 



1

0

. Yaqinlashuvchi  qatorning  xossalari.  Biror  

                               











n

n

n

a

a

a

a

2

1



1

               

)

2

(



       

qator    berilgan    bo’lsin.    Agar    qator    yaqinlashuvchi    bo’lsa,    u    ma’lum    xos-

salarga  ega  bo’ladi. 

 

1—xossa. Agar 

)

2

(



 qator yaqinlashuvchi  bo’lsa,  uning  istalgan 

)

5



(

   


qoldig’i  ham  yaqinlashuvchi  bo’ladi  va   aksincha.   

 

 



)

2

(



    qator    berilgan    bo’lsin.    Biror 

m

    natural    sonni    tayinlab,   

)

5

(



  

qatorning  qismiy  yig’indisini  



k

A

  bilan  belgilaylik: 



k

m

m

m

k

a

a

a

A







2

1



 

Ravshanki ,   

                         

)

(



m

n

A

A

A

A

A

A

m

n

m

n

m

k

m

k





)



6

(

    



bunda  

m

m

a

a

a

A





2

1

  bo’ladi. 



 

  

)



2

(

  qator   yaqinlashuvchi  bo’lsin.  Ta’rifga  ko’ra 



 

 



 

.

lim



A

A

k

m

k



   (



A

— chekli  son) 

bo’ladi.  





k

  da   


)

6

.



11

(

  tenglikdan  limitga  o’tib  topamiz: 



m

k

k

A

A

A



lim



Bu esa  


)

5

(



   qatorning  yaqinlashuvchi  ekanini  bildiradi. 

 

Endi   



)

5

(



  qator  yaqinlashuvchi  bo’lsin.  U  holda  ta’rifga  ko’ra 

A

A

k

k



lim


          (

A

— chekli  son) 

bo’ladi. 

)

6



(

  tenglikda  





n



  da  limitga  o’tsak,  u  holda   

m

n

n

A

A

A



lim



 

bo’lishi  kelib  chiqadi.  Bu esa  

)

2

(



 qatorning  yaqinlashuvchi  ekanini  bildiradi.   

 

Shunday      qilib,    qatorning    dastlabki    chekli    sondagi      hadlarini    tashlab   



yuborish    yoki      qatorning    boshiga    chekli    sondagi    yangi    hadlarni    qo’shish  

uning  yaqinlashuvchiligi  xususiyatiga  ta’sir  qilmaydi. 

 


Download 0.5 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling