Тенгсизликлар


Download 1.59 Mb.
Pdf ko'rish
bet4/11
Sana18.09.2020
Hajmi1.59 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

5.

  

2



2

2

1



2

...


n

t a

a

a

=

+



+ +  deb belgilab,  

                           

(

)

(



)

{

}



(

)

1 2



2 3

1

1



1 2

1 3


1 4

1

2 3



2 4

2

3 4



3

1

2



2

2

2



1

2

1



2

...


...

...


...

.....


1

1

...



...

1

2



2

n n

n

n

n

n

n

n

n

n

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a a

a

a

a

a

a

a

t



+

+ +


+



+

+

+ +



+

+

+



+ +

+

+



+ +

+

+



+

+

=



=

+

+



+

+



=

 



munosabatlarni hosil qilamiz. Bu yerdan t<1 kelib chiqadi.  

Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts  tengsizligini qo’llab, 

(

)

(



)(

)

2



2

2

2



2

2

2



1 1

2 2


1

2

1



2

2

...



...

...


n n

n

a b

a b

a b

a

a

a

b

b

b

t

+

+ +



+

+ +



+

+ +


=

 

yoki 



1 1

2 2


...

n n

a b

a b

a b

t

+

+ +



 tengsizlikni topamiz. Bundan  



 

22

(



)

(

)



(

) (


)

(

)



(

)

(



)

1

1



2

2

2



3

1

1 1



2 2

2

1 2



2 3

1

...



...

1

1



....

1

1



1 1

2

2



n

n

n n

n

a b

a

a b

a

a b

a

a b

a b

a b

a a

a a

a a

t

t

t

+

+



+

+ +


+

=

+



+ +

+

+



+

+

+



+

− = −



+ <


 

 

6.

 Berilgan tengsizlikni chap tomonini T bilan belgilab, o’rta arifmetik va o’rta 

geometrik miqdorlar haqidagi Koshi tengsizligidan foydalanamiz, ya’ni: 

1

1



1

(1

)(1



)

(1

)(1



)

(1

)(1



)

1

1



1

2 1


1

2 1


1

2 1


1

1

3



2

2

ab



bc

ac

T

ab

a b

bc

b c

ac

a c

ab

bc

ac

a

b

b

c

a

c

a

b

b

c

a

c

b

a

c

b

c

a

a

b

b

c

a

c

a c b c b a

c a b a b c

=

+



+

=

+ − −



+ − −

+ − −


=

+

+











+



+

+

+



+















+



+

+

+



+

=



+

+



+

+

+



+



 

 

7.

 Tengsizlikni ikkala qismidagi qavslarni ochib ixchamlasak  

2

2



2

2

2



2

3

a



b

c

a

c

b

a b

c

b

c

a

c

b

a

b

c

a

+

+



+ + + ≥ + + +  (*) 

ifoda hosil bo’ladi.Endi 

,

,

a



b

c

x

y

z

b

c

a

=

=



=  deb belgilash kiritsak, u holda (*) 

tengsizlik 

2

2

2



1

1

1



3

x

y

z

x y z

x

y

z

+

+



+ + + ≥ + + +  (**) 

ko’rinishga keladi. 

1

xyz

=  ekanligidan quyidagi 

(

)

2



2

2

2



3

x y z

x

y

z

x y z

+ +


+

+



≥ + +  (1) 

va 


1

1

1



3

x

y

z

+ + ≥  (2) tengsizliklar o’rinli. (1) va (2) larni hadma-had qo’shib (**) ni 

hosil qilamiz. Bundan (*) isbotlandi. 

 

8.

 

1

a b



+ =  ekanligidan foydalanib yuqoridagi tengsizlikni quyidagi  

 

23

shaklda yozamiz: 



(

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

)



2

2

1



3

a

b

a b a

a b

a b b

a b

+



+

+

+



+

+

+



 

Bundan 


2

2

3



3

a b ab

a

b

+



+  yoki 

(

) (



)

(

) (



)

2

3



3

2

2



0

a

b

a b ab

a b

a b

+



+

=



+

≥  


 

9.

 

2



2

3

3



4

4

(



)

yz y

z

y z yz

y

z

+

=



+

+  tengsizlik o’rinli, chunki  



(

)

(



)

4

3



3

4

3



3

4

4



2

2

2



2

(

) 0



(

)

y



y z yz

z

y

z

y z

x y

z

xyz y

z

y

z



+

=



− ≥ ⇒

+



+

+



 

yoki   


                            

5

5



4

5

2



2

5

4



4

4

4



4

(

)



x

x

x

x

y

z

x

x y

z

x

y

z

=



+

+

+



+

+

+



 . 

Xuddi shunday,  

5

4

5



4

5

2



2

4

4



4

5

2



2

4

4



4

,

y



y

z

z

y

x

z

x

y

z

z

x

y

x

y

z



+

+

+



+

+

+



+

+

 . 



Bu tengsizliklarni hadma-had ko’shib, isboti talab qilingan tengsizlikni hosil 

qilamiz. 

 

10.

 Yuqoridagi tengsizlikni quyidagicha yozib olamiz: 

2

2

2



2

2

2



2

2

2



5

2

2



5

2

2



5

2

2



3

x

y

z

y

x

z

x

y

z

x

y

z

x

z

x

z

x

y

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+



+

+

+



+

 

va Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts  tengsizligini qo’llab, 



5

1

5



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2 2

2

2



(

)(

) ( ( )



)

(

)



x

y

z

yz y

z

x yz

y

z

x

y

z

+

+



+

+



+

+



+

+

 



yoki 

2

2



2

2

2



5

2

2



2

2

2



.

x

y

z

yz y

z

x

y

z

x

y

z

+

+



+

+



+

+

+



+

Xuddi shunday, 

2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

5

2



2

2

2



2

5

2



2

2

2



2

,

x



y

z

xz x

z

x

y

z

xy x

y

x

y

z

x

y

z

z

x

y

x

y

z

+

+



+

+

+



+

+

+



+



+

+

+



+

+

+



+

 

munosabatlarni hosil qilamiz. Bu tengsizliklarni hadma-had qo’shsak,  



2

2

2



2

2

2



2

2

2



5

2

2



5

2

2



5

2

2



2

2

2



2

3

x



y

z

x

y

z

x

y

z

xy yz zx

x

y

z

y

x

z

z

x

y

x

y

z

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+

≤ +



+

+



+

+

+



+

+

+



 

 

24

 



11

. , ,


α β γ

 uchburchak burchaklari uchun 

2

2

2



1 cos

cos


cos

2cos cos cos

α

β

γ



α

β

γ



=

+

+



+

 tenglikdan foydalanib,  

cos

cos


cos

cos


cos

cos


2

cos cos


cos cos

cos cos


cos cos

cos cos


cos cos

α

β



γ

α

β



γ

β

γ



γ

α

α



β

β

γ



γ

α

α



β



=

+

+



+  

ifodani hosil qilamiz .  

cos

cos


cos

,

,



cos cos

cos cos


cos cos

x

y

z

α

β



γ

β

γ



γ

α

α



β

=

=



=

 

deb belgilash kiritib



3

cos


cos

cos


2

α

β



γ

+

+



≤   tengsizlikdan foydalansak,  

1

1



1

3

2(



) 3

2

4(



2(

)) 9


8(

) 9(


2) 4(

) 5(


) 18

x

y

z

xyz

xy

yz

zx

x y z

xy

yz

zx

xyz

xy

yz

zx

x y z

x y z

x y z

+

≤ ⇔



+

+



+

+ + +



+

+



+

+



+ + +


+ +


=

+ + +


 

 

12. 

O’rta arifmetik va o’rta geometrik miqdorlar haqidagi Koshi tengsizligidan 

foydalanib,  

(

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

)



2

2

3



2

3

2



2

3

3



2

2

1



1

1

, 1



1

1

,



2

2

2



1

1

1



2

a

b

a

a

a

a

b

b

b b

c

c

c

c c

+

+



+

=

+



+



+

=

+



− +

+



+

=

+



− +

 



munosabatlarni topamiz. Endi quyidagi tengsizlikni isbotlasak yetarli: 

(

)(



) (

)(

) (



)(

)

(



) (

) (


)

(

)



(

)(

)(



)

(

)



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2 2

2 2


2 2

2

2



2

2 2 2


4

4

4



4

3

2



2

2

2



2

2

3



2

2

2



2

2

2



2

8 72


a

b

c

a

b

b

c

c

a

a

c

b

a

c

b

a

b

c

a b

b c

c a

a

b

c

a b c

+

+



≥ ⇔

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+



+

+



+

+

+



+

+ =



 

Bu tengsizlik quyidagi tengsizliklarni hadma-had qo’shishdan hosil qilinadi: 

(

)

(



)

4

2 2



2 2

2 2


2

2

2



2 2 2

3

3



3

48, 2


6

24

a b



b c

c a

abc

a

b

c

a b c

+

+



=

+



+

=



 

Bulardan isboti talab qilingan tengsizlikni hosil qilamiz. 



 

25

 



13.

 Birinchi navbatda

2

2

3



x y

x

y

+



+  tengsizlikni isbotlaymiz. Faraz qilaylik, 

2

2



3

x y

x

y

+

<

+

 bo’lsin.



3

4

2



3

x

y

x

y

+



+  tengsizlikdan foydalansak, farazimizga 

zid bo’lgan 

(

) (


) (

)

2



3

3

2



4

2

3



2

2

2



x

y

x x

y

y

x

y

+



+

+

+



+

  tengsizlik hosil bo’ladi. 



Shuning uchun  

(

)



2

2

3



3

4

2



2

3

3



4

3

3



2

3

3



2

2

1 2



1

2.

x y



x

y

x

y

x y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

+



+

+



+



+

+

+



+



+

− +


− ⇒

+



 

 

14.

 Umumiylikni chegaralamasdan  a b c

≥ ≥  deb olib, uchburchak    tengsiz-ligini 

qo’llasak, 

1

1



2

2

a b c



a

b a

= + + >


⇒ ≤ <   va bundan 

(

)



(*)

2

2



2

2

2



1

2

1



1

1

n



n

n

n

n

n

n

n

n

b

a

b

a

<

+



=

+

<

+

 . 


Endi qo’yidagini qaraymiz: 

1

....



2

2

2



n

n

n

n

n

n

n

c

n

c

b

b

c b

b

c



+

=



+

+

+



>

+





 (chunki 

1

2



n

n

n

cb

c

> ). 



Xuddi shunday,  

2

n



n

n

c

a

a

c



+

>

+





 .    


Demak,  

(

) (



)

1

1



1

2

2



n

n

n

n

n

n

c

c

b

c

a

b

b

a

+

+



+

< + + + = .     (**) 

(*) va (**) larni hadma-had qo’shib, isboti talab etilgan tengsizlikni hosil qilamiz. 

 


Download 1.59 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling