Тенгсизликлар


Download 1.59 Mb.
Pdf ko'rish
bet8/11
Sana18.09.2020
Hajmi1.59 Mb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

47.

 Tengsizlikni chap qismini S bilan belgilab, Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts  

tengsizligini quyidagi usulda qo’llab, 

(

)

(



)

2

2



2

2

2



2 2

1 2


(1 2 )

(1 2 )


(

)

S a



bc

b

ac

c

ab

a

b

c

+



+

+

+



+

+



+

 yoki 


1

1 2


(

)

S



abc a b c

+



+ +

  


 

39

munosabatni hosil qilamiz.  



2

2

2



3

(

)



a

b

c

abc a b c

+

+



+ +  tengsizlikka ko’ra  

(

)

2



2

2

2



1

1

3



2

2

5



1

3

(



) 1

3

3



S

abc a b c

a

b

c



=

+

+ +



+

+

+



 

ekanligini hosil qilamiz. 

 

48.

 Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligini quyidagi usulda qo’llab,  

(

)

(



)

(

)



2

2

2



2

2

2



3

3

3



2

3

1



1

3

3



3

2

1



2

3

1



1

2

1



(

1)

...



1 2

3

... (



1)

2

2



3

(

1)



2

...


, 2

2001


...

1

i



i

i

i

i

i i

x

x

x

x

x

i

i

x

x

x

x

x

ёки

i

x

x

x

i i





⎞ ⋅ ≥



+

+

+ +



+

+ + + −








+



+ + +

≤ ≤



+

+ +


 

ekanligini topamiz. Bundan 



2001

2

1



2

1

1



1

1

1



2

...


2 1

1,999.


...

1 2 2 3


2000 2001

2001


i

i

i

x

x

x

x

=





+



+ +

=



>



+



+ +







 

 

49.

 Tengsizlikni 

1

1



1

3

a c a



b a b

c

b c

b

c b

c

a c

a b a

+

+



+

⎞ ⎛



⎞ ⎛



+ +

+ +



+ ≥


⎟ ⎜


⎟ ⎜

+



+

+



⎠ ⎝

⎠ ⎝


 yoki 


2

2

2



3

(

)



(

)

(



)

b

ac

c

ab

a

bc

b c b

c a c

a b a

+

+



+

+

+



+

+



+

 kurinishda yozamiz.Koshi-Bunyakovskiy-

Shvarts tengsizligini quyidagi usulda qo’llasak, 

(

)



(

)

2



2

2

3



(

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

)



(

)

(



)

(

)



(

)

3



3.

(

)



(

)

(



)

b c a

c a b

b

ac

c

ab

a

bc

b a c

b c b

c a c

a a b

b a c

c a b

a b c

b c a b a c c a b

b a c c a b a b c

+

+



+

+

+



+

+

+



+

+



+

+



+

+

+



+

+

+



+



=

+



+

+

 



 

50.

 Avval tengsizlikni induktsiya metodi yordamida 

2 ,

k

n

k N

=

∈  sonlar uchun 



isbotlaymiz. 2

n

=  da   


(

)(

)



2

1 2


1

2

1



2

1 2


1

2

1 2



1

1

1



2

0

1



1

1 (


1)(

1)(


1)

y y

y

y

y

y

y y

y

y

y y



+

=



+

+



+

+

+



+

 

2



k

n

=  da tengsizlik o’rinli bo’lsin deb faraz qilsak, u holda 

1

2

k



n

+

=



 da  

 

40

1



1

1

1



1

2

2



2 1

2

2



2

1

2



2

2

1 2



1

2

2



2 1 2

2

2



2

1

1



1

1

1



1

...


....

1

1



1

1

1



1

2

2



2

1

...



1

...


1

....


k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

y

y

y

y

y

y

y y

y

y

y

y

y y

y

+

+



+

+

+



+

+

+



+

⎞ ⎛



+

+ +



+

+

+



+



⎟ ⎜



⎟ ⎜

+



+

+

+



+

+



⎠ ⎝



+

+



+

+



 

munosabat o’rinli va tengsizlik 

2 ,

,

k



n

k N

=



 uchun isbotlandi. Endi tengsizlikni 

n N

∈  uchun isbotlaymiz. Buning uchun 

2

,

,



k

m

n k N

=

>



 uchun tengsizlik 

o’rinli deb faraz etsak va 

1

2



1 2

....


..

n

n

n

m

n

y

y

y

y y y

+

+



=

=

=



=

 deb olsak, u holda  

1

2

1 2



1 2

1

1



1

...


1

1

1 1



...

...


1

n

n

n

n

n

m n

m

y

y

y

y y

y

y y

y

+



+ +

+



+

+

+



+

+

 



bo’ladi. Bundan yuqoridagi tengsizlik isbotlanadi.  

 

51.

 

2

cos



i

i

x

α

=



,  

4

2



i

π

π



α



<   belgilash kiritsak, u holda tengsizlik  

2

2

1



1

2

2



1

1

cos



cos

(1 cos


)

(1 cos


)

n

n

n

i

i

i

i

n

n

i

i

i

i

α

α



α

α

=



=

=

=





Π





Π −






 

 ko’rinishga, yoki   



2

2

2



2

2

2



1

2

1



2

1

1



1

...


1

1

1



1

...


n

n

n

n

tg

tg

tg

tg

tg

tg

α

α



α

α

α



α

+

+ +



+

+



+

+

 



ko’rinishga keladi. Agar 

2

i



i

tg

y

α

=  deb belgilash kiritsak, 



1

i

y

≥  bo’ladi va  

1

2

1 2



1

1

1



...

1

1



1

1

...



n

n

n

n

y

y

y

y y

y

+

+



+

+



+

+

 ni isbotlash kerak bo’ladi.Bu tengsizlik 



esa 50- masalada isbotlangan. 

 

52.

 Tengsizlikni musbat 

1

2



, ,...,

n

x x

 sonlar uchun isbotlash yetarli. Koshi-

Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligini quyidagi usulda qo’llab,  



 

41

1



2

2

2



2

2

2



2

1

1



2

1

2



2

2

2



1

2

2



2

2

2



2

1

1



2

1

....



1

1

1



...

...


1

1

1



...

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n

x

x

x

x

x

+

+



+

<

+

+



+

+

+



+ +









<

+

+ + ⎜






+

+



+

+

+ +







 



munosabatni hosil qilamiz. Bundan  

2

2



2

1

2



2 2

2

2 2



2

2

2 2



1

1

2



1

2

..



1

(1

)



(1

)

(1



...

)

n



n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

+ +



<

+

+



+

+

+



+ +

 

ekanligini ko’rsatsak, yuqoridagi tengsizlik isbotlanadi. 



(

)

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



1

2

1



1

1

2



2

2

2



2

1

1



1

(1

...



)(1

...


)

1

...



1

1

1



...

1

...



k

k

k

k

k

k

k

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x



=

+



+

+ +


+

+ +


+

+

+ +



=

+



+ +

+

+ +



 

bo’lgani uchun  

2

2

2



2

2

1



1

1

1



1

1

1



...

1

...



n

k

k

k

n

x

x

x

x

x

=





< −

<



+

+ +


+

+ +




 

53.

 

3

3



3

3

9(



) (

)

a



b

c

a b c

+

+



+ +


 tengsizlikdan foydalanib,  

( )


(

)

3



3

3

3



2

2

2



3

3

3



3

2

3



3

3

1



1

1

1



1

1

6



6

6

9



6

6

6



4 3

( )


( )

3

1



1

1

1



3

3

3



3

3

3



(

)

4 3



3

3

3



3

b

c

a

b

c

a

a

b

c

a

b

c

ab

bc

ca

ab

bc

ac

abc

c

a

b

abc

ab bc ca

abc

abc



+

+

+



+

+



+

+ +


+ +

=





+

+





=

+

+



+

=



+

+



=

 



 

 

munosabatni hosil qilamiz.Endi 



3

3

1



abc

abc

  yoki 



2 2 2

1

27



a b c

 ekanligi 



ko’rsatamiz: 

3

2



1

(

)



( )( )( )

3

27



ab bc ca

abc

ab bc ca

+

+



=



=





 


 

42

54.

 

1

(



)

bc a b c

=



+  ekanligidan 

2

2



3

2

2



3

3

3



2

3

3



3

3

3



(

)

(1



)

2

(



)

2

1



1

1

1



3

3

3



3

2

3



9

abcx

a b c c b x

a b c c b x

ax

bc

bc

bc

bc

ax

bc

bc

bc ax

bc

ax

bc

=



+



+

=

+



=



+





=

+



+



+

+

=



+

+









 

munosabatni hosil qilamiz. Xuddi shunday  

3

3

1



1

1

1



3

, 3


3

9

3



9

abcy by

ac

abcz cz

ab

+



+

+



+  

tengsizliklar o’rinli.bu tengsizliklarni hadma-had qo’shib isboti talab etilgan 

tengsizlikni hosil qilamiz. 

 

55.

 Tengsizlikni ikkala qismiga umumiy maxraj tanlab, 

1

1



1

1

1



1

1

1



1

1

1



n

n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

i

a

a

n

a

a

=

=



=

=



+



+



∑ ∑

 yoki  


1

1

1



1

1

1



(

1)

1



n

n

n

i

i

i

i

i

i

i

n

a a

a

a

=

=



=

+



+



 

munosabatni hosil qilamiz. Umumiylikni chegaralamasdan 



1

2

...



n

a

a

a

≥ ≥  deb 



olsak, oxirgi tengsizlik Chebishev tengsizligia ko’ra o’rinlidir.  

 

56. 

1

2

1



....

n

a

a

a

k

+



+

+

=  deb olamiz. U holda isboti talab etilgan tengsizlikka teng 



kuchli bo’lgan 

0

0



2

2

2



0

0

0



0

1

1



(

) (


1)(

)(

)



(

)

(



1).

n

n

n

n

n

n

a

k a

k

a

k a

k

n

n

n

n

n k a

a

k

n

a

k a

k

k k a

a

a a n

+ +


+

+





+

+



+



+

+



+

+



 

tengsizlikni hosil qilamiz. 



0

0

2



n

n

a

a

a a

+



 ekanligidan 

(

)



0

1

n



k

n

a a



 

tengsizlikni isbotlasak yuqoridagi tengsizlik isbotlandi. 

2

1

1



(

1,2,....,

1)

i

i

i

a

a

a

i

n

+



=



−  tengsizlikka ko’ra 

0

1



2

1

1



2

3

...



n

n

a

a

a

a

a

a

a

a



≤ ≤


  yoki 

0

1



1

2

2



......

n

n

n

a a

a a

a a





  munosabatni hosil qilamiz. Bundan,  

 

43

1



2

1

1



1

2

2



1

1

2



2

0

0



0

0

...



(

) (


) ... 2

1

2



... 2

2

... 2



(

1)

2



n

n

n

n

n

n

n

n

n

K a

a

a

a

a

a

a

a a

n

a a

a a

a a

a a

n

a a





= +

+ +


=

+

+



+

+ ≥


+

+



+ ≥

+

+ = ⋅



=

 



ekanligi kelib chiqadi. 

 


Download 1.59 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling