Tеorеma. (Koshi tеorеmasi)

REJA:

1. 
   Kompleks oʻzgaruvchili funksiyalarning integrali
   
2. 
   Analitik funksiyalar
   
3. 
   Garmonik funksiyalar
   
4. 
   Koshining integral formulasi
   

Tеorеma. (Koshi tеorеmasi). Agar funksiya bir bog’lamli D sohada golomorf bo’lsa, u holda funksiyaning D sohada yotuvchi har qanday silliq (bo’lakli silliq) yopiq chiziq (yopiq kontur) bo’yicha intеgrali nolga tеng bo’ladi:
. (1)
Teoremani quyidagicha ham ifodalash mumkin.
Teorema. Faraz qilaylik, bir boglamli, chegarasi to’g’rilanuvchi yopiq chiziqdan tashkil topgan soha bo’lsin. Agar funksiyasi sohaning yopig’i ning biror atrofida golomorf bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Bu teoremani funksiya faqat da golomorf bo’lgan hol uchun ham isbotlash mumkin.
Teorema. bir bog’lamli, chegarasi to’g’rilanuvchi soha bo’lib, funksiyasi da golomorf, da uzluksiz bo’lsin. U holda

bo’ladi.
Teorema. (Ko’p bog’lamli soha uchun). Faraz qilaylik, chegarasi to’g’rilanuvchi chiziqlardan tashkil topgan ko’p bog’lamli soha bo’lsin. Agar da golomorf, da uzluksiz bo’lsa, u holda
(2)
(100) tenglekni quyidagicha ham yozish mumkin
(3)
INTEGRALNI HISOBLASH
Ba’zan (1) ga asoslanib ((3) integral quyidagicha yoziladi:
(5)
Buning o’ng tomonidagi har bir had egri chiziqli integraldan iborat.Integralning hisoblashning turli usullari mavjud. Agar chiziqning tenglamasi Dekart koordinatalari sistemasida berilgan bo’lsa:
(6)
(5) dagi va o’rniga (6) dan qiymatlar qo’yilib aniq integralga aylantiriladi. Agar chiziqning
(7)
Parametrik tenglamalari, ya’ni berilgan bo’lsa, uni (3) ga qo’yib yana aniq integral hosil qilinadi:
(8)
Chap tomondagi integral belgisi ostidagi funksiyaning haqiqiy qismi bilan, mavhum qismini esa bilan belgiladik. Integrallashga doir ba’zi tushunchalarni esga olib o’tamiz.
1). Agar va funksiyalar bir bog’lamli sohada analitik, ya’ni hosilaga ega bo’lsa, va nuqtalar shu sohadan ixtiyoriy olingan bo’lsa, u holda quyidagi bo’laklab integrallash formulasi o’rinli bo’ladi:
(9)
2). Integralni soddalashtirilish uchun ba’zan o’zgartiruvchili boshqa bir o’zgaruvchiga orqali almashtirishga to’g’ri keladi:
(10)
bundagi chiziq ning tekislikdagi aksidan iborat.
3). Agar chiziq markazi nuqtaga joylashgan aylanadan iborat bo’lsa, integralni osonroq hisoblash uchun ushbu aylana tenglamasidan foydalanamiz:
(11)
4). Agar chiziq nuqtad chiquvchi to’g’ri chiziq-nurdan iborat bo’lsa ham
(11) dan foydalanish tavsiya etiladi, bunda o’zgarmas bo’ladi.( ).
Misollar.

1. 
   Ushbu integralni hisoblang:
   

Bu yerda chiziq aylananing yuqori yarmi, ya’ni
Yechilishi. ni hisoblash uchun (11) dan foydalanamiz, bizning misolda
Shuning uchun

chunki
va .

2. 
   Ushbu integralni hisoblang:
   

Bu yerda chiziq nuqtalardan o’tadigan paraboladan iborat.
Yechilishi.


Endi va o’rniga qiymatlarini qo’yib, Oraliqda aniq integralni olish kifoya, natijada.

3. 
   Ushbu integralni hisoblang:
   

Bu yerda chiziq nuqtalarni tutashtiruvchi to’g’ri chiziq kesmasidan iborat.
Yechilishi. Berilishiga ko’ra
Гning parametric tenglamalarini tuzib olaylik


u holda