Texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI AXBOROT

TEXNOLOGIYALARI VA KOMMUNIKATSIYALARINI

RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI

Muhammad Al-Xorazmiy nomidagi

Toshkent axborot texnologiyalari universiteti

Nukus filiali

“Kompyuter injiniringi” fakulteti ,,Kompyuter injiniring

AT-servis’’ yo'nalishi 106-20 guruh talabasi

Tursunboyev Nodirbekning Hisob(calculos) fanidan

MUSTAQIL ISHI

Bajardi: _________Tursunboyev Nodirbek

Tekshirdi:________Quvandiqova D

Nukus 2020

Mavzu : Nyuton formulalari yordamida funksiyalarni

approksimatsiyalash.

Reja:

1. 
   Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi.
   
2. 
   Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi.
   

Aksariyat hisoblash usullari masalaning qo'yilishida qatnashadigan funktsiyalarni unga biror muayyan ma’noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo'lgan funktsiyalarga almashtirish g'oyasiga asoslangan.

Interpolyatsiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik y=f(x) funktsiya jadval ko'rinishida berilgan bo'lsin:

Y_o=f(x₀), y ₁=f(x₁) ..... ,y_n=f(x_n)

Odatda interpolyatsiyalash masalasi quyidagicha ko‘rinishda qo‘yiladi: Shunday n- tartiblidan oshmagan P(x)*Pn{x) ko'phad topish kerakki, P(x_i) berilgan x_i=(i=0,1, .... n) nuqtalarda f(x) bilan bir xil qiy- matlarni qabul qilsin, ya’ni P(x_i)=y_i.

Bu masalaning geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: darajasi n dan ortmaydigan shunday

у=Р_n(х)=a₀xⁿ+ a₁x^n-1 ...+ а_n (1)

ko’phad qurilsinki, uning grafigi berilgan M(x_i, у_i ) (i=0,1,… n) nuqtalardan o'tsín (1- rasm). Bu yerdagi x_i (i=0,1,2,.. n) nuqtalar interpolyatsiya tugun nuqtalari yoki tugunIar deyiladi. R(x) esa interpolyatsiyaIоvchi funksiya deyiladi.

Odatda interpolyatsiyalash masalasi quyidagicha ko‘rinishda qo‘yiladi: Shunday n- tartiblidan oshmagan P(x)*Pn{x) ko'phad topish kerakki, P(x_i) berilgan x_i=(i=0,1, .... n) nuqtalarda f(x) bilan bir xil qiy- matlarni qabul qilsin, ya’ni P(x_i)=y_i.

Bu masalaning geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: darajasi n dan ortmaydigan shunday

у=Р_n(х)=a₀xⁿ+ a₁x^n-1 ...+ а_n (1)

ko’phad qurilsinki, uning grafigi berilgan M(x_i, у_i ) (i=0,1,… n) nuqtalardan o'tsín (1- rasm). Bu yerdagi x_i (i=0,1,2,.. n) nuqtalar interpolyatsiya tugun nuqtalari yoki tugunIar deyiladi. R(x) esa interpolyatsiyaIоvchi funksiya deyiladi.

(1-rasm)

(1-rasm)

Amalda topilgan R(x) interpolyatsion formula f(x) funktsiyaning berilgan x argumentning (interpolyatsiya tugunlaridan farqli) qiymatlarini hisoblash uchun qo'llaniladi. Ushbu operatsiya funksiyani interpolyatsiyalash deyiladi. (Agar xϵ (a, b) bo'lsa interpolyatsiyalash x ϵ[a, b]bo`lsa, ekstrapolyatsiyalash deyiladi).Biz f(x) funksiyani interpolyatsion L_n(x) ko‘phadga almashtirganimizda

ω_n(x) = f(x)- L_n(x),

xatolikka yo‘l qo‘yamiz. Bu interpolyatsiyalash xatoligi deyiladi. Tugun nuqtalarda xatolik nolga teng. [a ,b ] ga tegishli ixtiyoriy x nuqtadagi ifodasini topamiz va baholaymiz. Buning uchun quyidagi funksiyani qaraymiz:

(1)

bu yerda zϵ[a,b],K- o‘zgarmas va

2)

(1)dagi o ‘zgarmas K ni λ(x) = 0 shartdan topamiz

(3)

f(z) funksiya [a ,b] da n + 1 marta uzluksiz differensiallanuvchi bo`lsin deymiz. λ (z) funksiya [a ,b] da n + 2 ta nuqtada nolga teng,ular x ,x <sub>0</sub>,x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>. Roll teoremasiga asosan, λ '(z) [a ,b ] ga tegishli n + 1 ta, λ”(z) n ta nolga ega bo`ladi va hokazo.λ⁽ⁿ⁺¹⁾(z) [a,b] da kamida bitta nolga ega bo'ladi, ya'ni λ⁽ⁿ⁺¹⁾() = 0, €[a ,b ] (1) dan n + 1 marta hosila olib, z = , desak, quyidagiga ega b o ‘lamiz:
(4)

(3) va (4) dan

(5)

kelib chiqadi.Bundan

(6)

bunga ega bo`lamiz,b u yerda M_n+1=sup|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|

[a,b]

Bizga [a ,b] da aniqlangan f(x) funksiyaning [a ,b ] ga tegishli turli { x_k }_k=0ⁿ nuqtalarda qiymatlari ma’lum bo‘lsin.

Quyidagicha aniqlangan

miqdorlar birinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi, ular yordamida aniqlangan

miqdorlar ikkinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi.

Yuqori tartibli ayirmalar nisbati ham shunday aniqlanadi, masalan,

k-tartibli f(x_i,x_i+1,…,x_i+k) va f(x_i+1,x_i+2,…,x_i+k+1) ayirmalar nisbati

ma’lum bo ‘lsa, (k + 1) -tartibli ayirmalar nisbati

Ayirmalar nisbati quyidagi xossalarga ega. aniqlanadi, i = 0 ,1 ,...,n-k-1

Mavzu: Nyuton-Leybnis formulasi. Aniq integralning

tatbiqlari(Yassi shaklning yuzasi.Egri chiziq yoyi uzunligi

Hajmlarni hisoblash).

1. [a,b] kesmada f  x funksiya aniqlangan bo’lsin. [a,b] oraliqni a  x₀  x₁  ...  x_n  b nuqtalar bilan n ta bo’laklarga ajrataylik. Har bir [x_i1,x_i ] kesmadan bittadan

n

_i _i x_i1x_i  nuqta olib, J   f  _i x_i yig’indi tuzamiz, bunda x_i  x_i  x_i1 . J -

i1

ko’rinishdagi yig’indi,integral yig’indi deyiladi. Uning maxx_i  0 dagi limiti, (u mavjud va chekli bo’lsa) f  x funksiyaning a dan b gacha aniq integrali deyiladi hamda

b n

a f  x dx  maxlimxi 0 ^i1 f  _i x_i (9.1)

ko’rinishida yoziladi.

2.Aniq integralning xossalari.

b b

1. 
   f  x dx  f  x dx;  const; (9.2)
   
   1. 
      a
      
   2. 
      b b
      
2. 
   f  x  g x dx  f  x dx   g x dx; (9.3)
   
   1. 
      a a b a
      
3. 
    f  x dx    f  x dx; (9.4)
   
   1. 
      b a
      
4. 
    f  x dx 0; (9.5)
   

a

b c b

5. 
    f  x dx  f  x dx   f  x dx; (9.6)
   
   1. 
      a c
      
6. 
   Agar y  f  x funksiya [a,b] kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda a,b topiladiki,
   

b

 f  x dx f   b  a; (9.8)

a

bo’ladi.

8. 
   Agar y  f  x juft funksiya bo’lsa, u holda
   

a a

 f  x dx  2 f  x dx; (9.8)

a 0

8. 
   Agar y  f  x toq funksiya bo’lsa, u holda
   

a

 f  x dx  0 (9.9)

a

3. 
   Aniq integral Nyuton-Leybnits
   

b

 f  x dx F x^b_a  F b  F a (9.10)

a

formulasi orqali hisoblanadi.

b

3. 
   f  x dx integralni hisoblash uchun x t,  t   almashtirishni qo’llaymiz.
   

a

Agar [;] kesmada x  t ,  t , f t funksiyalar uzluksiz va    a,   b bo’lsa, quyidagi

2. 
   
   

 f  x dx  f     t  t dt (9.11)

a 

tenglik o’rinli.

3. 
   [a,b] kesmada u  ux,  x funksiyalar uzluksiz hosilalarga ega bo’lsa, quyidagi bo’laklab integrallash formulasi o’rinli bo’ladi:
   
   2. 
      b
      

 ud_{  u}^ba _du (9.12)

a a

1. 
   Uzluksiz y  f  x f  x  0 egri chiziq xa va x  b to’g’ri chiziqlar hamda Ox o’qining [a,b] kesmasi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
   

b

S   f  x dx (9.13)

a

formula bilan hisoblanadi (9.1-chizma).

y

x