To’g’ri chiziqning tekislikka perpendikulyarligi. • O’zaro perpendikulyar tekisliklar


Download 0.9 Mb.
Pdf ko'rish
Sana04.03.2020
Hajmi0.9 Mb.

8-ma’ruza. Tekislik va to’g’ri 

chiziq  


Reja 

• To’g’ri chiziqning tekislikka perpendikulyarligi. 

• O’zaro perpendikulyar tekisliklar. 

• To’g’ri chiziq va tekislik, hamda ikki tekislik orasidagi 



burchakni aniqlash. 

 

To’g’ri chiziqning tekislikka perpendikulyarligi. 

Ta’rif.  Agar  to’g’ri  chiziq  tekislikdagi  ikki  o’zaro  kesishuvchi  to’g’ri  chiziqqa 

perpendikulyar bo’lsa, bu to’g’ri chiziq tekislikka ham perpendikulyar bo’ladi.  

Bunda 

b



P



 va 

c



P



 bo’lib, 

b



c



 hamda 

a



b



 va 

a



c



 bo’lsa, 

a



P



 bo’ladi (4.46-rasm). Demak, 

tekislika perpendikulyar bulgan to’g’ri chiziq tekislikka tegishli har qanday to’g’ri chiziqqa 

perpendikulyar  bo’lgani  uchun,  bu  to’g’ri  chiziq  tekislikning  asosiy  chiziqlariga  ham 

perpendikulyar  bo’ladi.  Faraz  qilaylik, 

a

  to’g’ri  chiziq  tekislikning 

h

  gorizontali  va 

f

 

frontaliga perpendikulyar bo’lsin (7.1-

a

, rasm). 

7.1-

a

,b rasm. 

To’g’ri burchakning proyeksiyalanish xususiyatiga muvofiq 

AKD

 = 90

o

 va 

KD

 || 

H

 bo’lgani 

uchun  bu to’g’ri  burchakning gorizontal proyeksiyasi 

A



K



D

′ = 90

o

  bo’ladi. Demak, 

a

′ 



 



h

′ 

yoki (

a

′ 



 



P

n

) bo’ladi. 

Agar  tekislik  chizmada  izlari  bilan  berilgan  bo’lsa,  unga  perpendikulyar  bo’lgan  to’g’ri 

chiziqning  bir  nomli  proyeksiyalari  tekislikning  bir  nomli  izlariga  mos  ravishda 

perpendikulyar bo’ladi (7.2-rasm). 

To’g’ri  chiziq  va  tekislikning  o’zaro  perpendikulyarlik  alomatligidan  foydalanib  ko’pgina 

metrik masalalarni yechish mumkin. 

1-misol. 



ABC



  bilan  berilgan  tekislikning 

A

  uchidan  unga  perpendikulyar  o’tkazilsin  (7.3-

rasm). Misolni quyidagi algoritm bo’yicha yechamiz. 



ABC



 tekislikning 

h

(

h

′, 

h

″) gorizontali va 

f(f′, f″)

 frontali o’tkaziladi. 

Tekislikdagi 

A

 nuqtaning 

A

′ va 

A

″ proyeksiyalaridan ixtiyoriy uzunlikda 

A



E



h



′ va 

A



E



f″



 

qilib perpendikulyarning proyeksiyalarini yasaladi. 

 

7.2–rasm

 

7.3–rasm

 


2-misol. 

A

(

A

′, 

A

″) nuqta orqali 

l(l′, l″)

 to’g’ri chiziqqa 

perpendikulyar tekislik o’tkazilsin (7.2-rasm). Buning uchun: 

A

 nuqtaning 

A

′ va 

A

″ proyeksiyalaridan 

h



 



l′

 va 

h

″||

Ox

 qilib 

izlangan tekislik gorizontalining proyeksiyalari o’tkaziladi; 

A

 nuqtaning 

A

′ va 

A

″ proyeksiyalaridan 

f  ′

||

Ox

 va 

f  ″



l″



 qilib 

tekislik frontalining proyeksiyalari o’tkaziladi; 

hosil bo’lgan 

h



f



(

h



f′



 va 

h



f″



) kesishuvchi chiziqlar izlangan 

tekislikni ifoda qiladi.  

Tekislikning gorizontali 

h

 



 



l

 va frontali 

f  



 



l

 bo’lgani uchun bu 

tekislik 

l

 to’g’ri chiziqqa perpendikulyar bo’ladi. 

3-misol. 

A

(

A

′, 

A

″) nuqta orqali o’tuvchi va  

b

(

b

′, 

b

″) to’g’ri 

chiziqqa perpendikulyar bo’lgan tekislikning izlari qurilsin (7.3–

rasm). 

Buning uchun: 

A

 nuqtaning 

A

′ va 

A

″ proyeksiyalaridan tekislikning gorizontali h 

to’g’ri chiziq b chiziqqa perpendikulyar qilib o’tkaziladi (7.4-

rasm). 

gorizontalning frontal 

B

 izi yasaladi. 

Q

 tekislikning 

Q

V

 frontal izini 

Q

V



B



″ va 

Q

V



b



″ qilib o’tkaziladi. 

Tekislikning 

Q

H

 gorizontal izini esa 

Q

X

 dan 

Q

H



Q



X

 va 

Q

H



b



′ 

(yoki 

Q

H

||

h

′) qilib o’tkaziladi. 

7.2–rasm

 


7.3-7.4–rasm

 

Natijada, 



Q

H



b



′  va 

Q

V



b



"  bo’lgani  uchun 

Q



b



  bo’ladi.  Bu  misolni  tekislikning  frontal 

chizig’ini o’tkazish yo’li bilan ham yechish mumkin. 

Tekislikning ikki tekislikka perpendikulyarligi 

Ta’rif.  Agar  biror  tekislik  ikki  tekislikka  umumiy  bo’lgan  to’g’ri  chiziqqa  perpendikulyar 

bo’lsa, u holda bu tekislik mazkur tekisliklarga ham perpendikulyar bo’ladi.  

Ma’lumki,  Q  va  P  tekisliklarga  umumiy  bo’lgan  to’g’ri  chiziq  ularning  l  kesishish  chizig’i 

bo’ladi. Tekisliklarning l kesishish chizig’ida ixtiyoriy B nuqta tanlab olamiz (7.5-rasm). Bu 

nuqtadan l ga perpendikulyar qilib mos ravishda Q va P tekisliklarga tegishli bo’lgan a va b 

chiziqlarni o’tkazamiz. Natijada a



b kesishuvchi to’g’ri chiziqlar T tekislikni hosil qiladi. Bu 



tekislk esa berilgan Q va P tekisliklarga perpendikulyar bo’ladi. 

Demak, berilgan T tekislikka perpedikulyar bo’lgan l to’g’ri chiziqdan o’tuvchi har qanday 

tekislik unga perpendikulyar bo’ladi. 

7.5–7.6 - rasm

 


1-misol. 

P

(

P

H



P

V

) tekislikka perpendikulyar va 

Q

x

 dan o’tuvchi 

Q

 tekislik izlari bilan o’tkazilsin 

(7.7-rasm). 

Bu misolni yechish uchun: 

P

 tekislikka perpendikulyar bo’lgan ixtiyoriy 

a

 to’g’ri chiziq o’tkaziladi. 

Bu to’g’ri chiziq izlarining 

a

H

′, a

H



 va 

a

V

′, a

V



 proyeksiyalarini yasaladi. 

Izlangan 

Q

 tekislikning gorizontal 

Q

H

 izini  o’tkaziladi 

Q

H



a



H

′ va 

Q

H



Q



x

  qilib,  uning  frontal 

Q

V

 izini 

Q

V



a



V

″ va 

Q

V



Q



x

 qilib o’tkaziladi.  

Bu misolni quyidagicha yechish ham mumkin: 

Q

 tekislikka perpendikulyar va 

P

x

 dan o’tuvchi 

tekislikni  o’tkazish  uchun  (7.8-rasm) 

Q

  tekislikda  ixtiyoriy 

m



Q



  to’g’ri  chiziq  olamiz. 

P

 

tekislikning izlarini 

P



dan 

P

H



m



′ va 

P

V



m



″ qilib o’tkaziladi. Natijada, 

P

 



 



Q

 bo’ladi. 

2-misol.  Kesishuvchi 

a



b



(

a



b



′, 

a



b



″)  chiziqlar  bilan  berilgan  tekislikka 

d  (d′,  d″)

  to’g’ri 

chiziqdan  o’tuvchi  perpendikulyar  tekislik  o’tkazish  talab  qilinsin  (4.9-rasm).  Bu  misolni 

yechish uchun: 

berilgan tekislikning gorizontali va frontalining 

h

′, 

h

″ va 

f′, f″

 proyeksiyalarni o’tkaziladi; 

d

 to’g’ri chiziqning ixtiyoriy 

D

(

D

′, 

D

″) nuqtasidan 

n

 to’g’ri chiziqning proyeksiyalarini 

n′



h



′ va 

n″



f″



 qilib o’tkaziladi. Hosil bo’lgan 

d′



n′



 va 

d″



n″



 kesishuvchi chiziqlar berilgan tekislikka 

perpendikulyar tekislikning proyeksiyalari bo’ladi. 

 

6.7- rasm

 


To’g’ri chiziq va tekislik orasidagi burchakni 

aniqlash 

Ta’rif.  To’g’ri  chiziq  va  tekislik  orasidagi  burchak  deb,  mazkur  to’g’ri  chiziqning  berilgan 

tekislikdagi ortogonal proyeksiyasi orasidagi burchakka aytiladi.  

To’g’ri  chiziq  va  tekislik  orasidagi  burchakni  7.11,

a

-rasmda  ko’rsatilgan  fazoviy  modeldan 

foydalanib quyidagi yasash algoritmlari bilan aniqlash mumkin:  

Berilgan 

a

 to’g’ri chiziqni 

Q

 tekislik bilan kesishish nuqtasi aniqlanadi: 

K

 = 

a



Q



.

 

 

To’g’ri  chiziqda  ixtiyoriy 

B

  nuqta  tanlab  olinadi.  Bu  nuqtadan  berilgan 

Q

  tekislikka 

n

 

perpendikulyarni tushirib, uning 

Q

 tekislik bilan kesishuv nuqtasini aniqlanadi: 

B

′=

n



Q





So’ngra 

K

 va 

B

′ nuqtalarni o’zaro tutashtirish natijasida hosil bo’lgan  burchak 

a

 to’g’ri chiziq 

va 

Q

 tekislik orasidagi 



 burchak bo’ladi.  



Chizmada  to’g’ri  chiziq  bilan  tekislik  orasidagi  burchakni  aniqlash  uchun  Yuqorida 

keltirilgan  yasash  algoritmlarni  to’g’ri  chiziq  bilan  tekislikning  perpendikulyarligi  va 

kesishishi qoidalaridan foydalanib bajariladi. Bunda 



 burchak 



a

 to’g’ri chiziqning ixtiyoriy 

B

 

nuqtasidan 

Q

  tekislikka  tushirilgan  perpendikulyar  orasidagi 



  burchak  orqali  aniqlanadi 



(7.11-

a

,b  rasm). 





=  90



  bo’lgani  uchun 



=90



-



0

  bo’ladi. 

Q

(

b



c



)  tekislik  va 

a

  to’g’ri 

chiziq orasidagi 



 burchakni aniqlash uchun (4.66-rasm): 



tekislikning 

h

 (

h

′, 

h

″) gorizontali va 

f  (f′, f″)

 frontali o’tkaziladi; 

to’g’ri chiziqning ixtiyoriy 

A

(

A

′, 

A

″) nuqtasidan tekislikning gorizontali va frontaliga 

e(e′, e″)

 

perpendikulyar o’tkaziladi. Bunda: 

e′



h



′ va 

e″



f″



 bo’ladi va 



(



′, 



″) burchak belgilanadi.  



 

Ikki tekislik orasidagi burchakni aniqlash 

Ikki  tekislik  orasidagi  burchak  ularning  kesishish  chizig’iga  perpendikulyar  bo’lgan  ikki 

to’g’ri chiziqlar orasidagi chiziqli burchak bilan o’lchanadi. 

Bu chiziqli burchakni quyidagi yasash algoritmlari bilan aniqlanadi (4.12- 

a

, rasm). 

P

 va 

Q

 tekisliklarning 

l

 kesishish chizig’ini yasaladi. 

Tekisliklarning 

l

  kesishish  chizig’iga  tegishli  ixtiyoriy 

A



l



  nuqtadan  perpendikulyar  qilib 

T

 

tekislik o’tkaziladi. Bu tekislik 

Q

 va 

P

 tekisliklarga ham perpendikulyar bo’ladi. 

T

 tekislikning 

Q

 va 

P

 tekisliklar bilan kesishish 

a

 va 

b

 chiziqlar yasaladi: 

a

=

Q



T



 va 

b

=

P



T





Tekisliklarning kesishish chiziqlari orasidagi 

a



b



=



 izlangan burchak bo’ladi. 



7.12-rasm 

To’g’ri chiziqning tekislik bilan kesishishi 

P

  va 

Q

  ikki  tekisliklar  orasidagi  burchakni  quyidagicha  ham  aniqlash  mumkin  (7.12-b, 

rasm): 

Fazoning  ixtiyoriy 

D

  nuqtasidan  berilgan 

Q

  va 

P

  tekisliklarga 

ye

  va 

n

  perpendikulyarlar 

tushirib, bu perpendikulyarlar orasidagi 



 burchakning haqiqiy qiymatini aniqlash orqali 



 

burchak qiyimati 



=180



o

-



 formula orqali aniqlanadi. 



Agar 



 burchakning haqiqiy qiymati 



90

o

 bo’lsa, bu burchak ikki tekislik orasidagi burchak 

bo’ladi. 

7.13-rasmdagi 



ABC



  va 

a



b



  to’g’ri  chiziqlarning  proyeksiyalari  bilan  berilgan  tekisliklar 

orasidagi burchakni aniqlash uchun ixtiyoriy 

D

(

D

′, 

D

″) nuqta tanlab olinadi. Uning 

D

′ va 

D

″  proyeksiyalaridan  tekisliklarning  gorizontallari  va  frontallariga 

e



h



1

′, 

e



f



1

″  va 

n′



h



2

′, 

n″



f



2

″  qilib  perpendikulyarlar  o’tkaziladi.  Natijada,  hosil  bo’lgan 



(



′, 



″)  burchakning 



haqiqiy o’lchamini aniqlab, So’ngra 



=180



-



 burchak aniqlanadi. 



7.13–rasm

 

Download 0.9 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling