To`plam quvvati tushunchasi.
Agar ikkita chekli to`plam ekviva- lent bo`lsa, ularning elementlari
soni teng bo`ladi. Agar A va B to`plamlar ekvivalent bo`lsa, u
holda ular bir xil quvvatga ega deyiladi. Shunday qilib, quvvat
ixtiyoriy ikki ekvivalent to`plamlar uchun umumiylik
xususiyatidir. Chekli to`plamlar uchun quvvat tushunchasi odatdagi
to`plam elementlari soni tushunchasi bilan ustma-ust tushadi.
Natural sonlar to`plami va unga ekviva- lent to`plam quvvati uchun
ℵ
0
(alef nol deb o`qiladi) belgi ishlatiladi. [0, 1] kesmadagi barcha
haqiqiy sonlar to`plamiga ekvivalent to`plamlar haqida, ular
kontinuum quvvat ga ega deb gapiradilar. Bu quvvat uchun c yoki ℵ
simvol ishlatiladi. ℵ
0
va c orasida quvvat mavjudmi degan savol juda
chuqur muam- mo hisoblanadi. Analizda
uchraydigan cheksiz
to`plamlarning deyarli barchasi yoki ℵ
0
, yoki c quvvatga ega.
Sanoqli to`plamlar. Cheksiz to`plamlar ichida
eng soddasi sanoqli
to`plam deb ataluvchilaridir.
Ta'rif. Agar M to`plam bilan natural sonlar to`plami o`rtasida biyek-
tiv moslik o`rnatish mumkin bo`lsa, M ga sanoqli to`plam deyiladi.
Boshqacha ta'ri asak, agar M to`plam elementlarini natural sonlar
vositasida a1, a2, . . . , an, . . . cheksiz ketma-ketlik ko`rinishida
nomerlab chiqish mumkin bo`lsa, M ga sanoqli to`plam deyiladi.
1-xossa. Sanoqli to`plamning ixtiyoriy qism to`plami chekli yoki
sanoqlidir.
Isbot. Aytaylik
A sanoqli to`plam,
B esa uning qism to`plami
bo`lsin, ya'ni 𝐴 = {𝑎
1
, 𝑎
2
, . . . , 𝑎
𝑛
, . . . } . A ning B ga tegishli
elementlari 𝑎
𝑛1
, 𝑎
𝑛2
, . .. lar bo`lsin. Agar 𝑛
1
, 𝑛
2
, . .. sonlar
ichida eng kattasi mavjud bo`lsa, u holda B chekli to`plam
bo`ladi, aks holda sanoqli to`plam bo`ladi, chunki uning
elementlari natural sonlar bilan nomerlangan.
2-xossa. Chekli yoki sanoqlita sanoqli to`plamlar birlashmasi yana
sanoqli to`plamdir.
3-xossa. Har qanday cheksiz to`plam sanoqli qism to`plamga ega.
Isbot. Aytaylik,
M cheksiz to`plam bo`lsin. Undan ixtiyoriy
a
1
elementni tanlaymiz. M cheksiz to`plam bo`lgani uchun
unda
a
1
dan farqli a
2
elementni tanlash mumkin, undan keyin
a
1
va a
2
dan farqli a
3
elementni tanlaymiz, M cheksiz to`plam
bo`lgani uchun bu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin.
M cheksiz to`plam bo`lganligi uchun har bir element
tanlanganidan keyin unda cheksiz ko`p element qoladi.
Natijada A = {a
1
, a
2
, . . . , a
n
, . . .} sanoqli qism to`plamga ega
bo`lamiz.
