Topologik fazo tushunchasi. Topologik fazo xossalari


Download 155.23 Kb.
bet1/7
Sana10.09.2022
Hajmi155.23 Kb.
#803977
  1   2   3   4   5   6   7
Bog'liq
tapologik fazolar ko\'paytmasi


Topologik va metrik fazolar va ularning xossalari
Reja:



  1. Topologik fazo tushunchasi.

  2. Topologik fazo xossalari.

  3. Metrik fazo ta‘rifi. Misollar.

  4. Metrik fazo xossalari.

Aytaylik Х ixtiyoriy to`plam bo`lsin.
Ta‘rif. Х to`plamning  to`plam ostilar to`plamida quyidagi uchta shart bajarilsa, yani
1)  ga tegishli ixtiyoriy to`plamlar oilasining yig`indisi yana shu  to`plamga tegishli bo`lsa;
2)  to`plamga tegishli ixtiyoriy ikkita to`plamning kesishmasi yana  to`plamga tegishli bo`lsa;
3)  to`plam va X to`plamning o`zi xam  to`plamga tegishli bo`lsa, u xolda X to`plamda topologik struktura yoki topologiya aniqlangan deyiladi.
Ta‘rif. X to`plamda  topologik struktura aniqlangan bo`lsa, u xolda (Х, ) topologik fazo deyiladi.
Х to`plamning elementlari nuqtalardan  to`plamning elementlari ochiq to`plamlardan iborat. 1)-3) shartlar topologik strukturaning aksiomalari deyiladi.
Bu aksiomalar ochiq to`plamlarning quyidagi xossalarini aniqlaydi.
1) istalgan sondagi ochik to`plamlarning birlashmasi yana ochiq to`plamdir;
2) istalgan ikkita ochiq to`plamning kesishmasi yana ochiq to`plamdir;
3) butun fazo va bo`sh to`plam ochiq to`plamdir.
Topologik fazoga misollar keltiramiz
1) Agar  to`plam Х to`plamning barcha to`plam ostilarining to`plami bilan ustma-ust tushsa (Х,) topologik fazoni diskret topologik fazo deyiladi.
2) Agar  to`plam faqat ikkita Х va  to`plamdan iborat bo`lsa, (Х,) topologik fazoni antidiskret yoki trivial topologiyali fazo deyiladi;
3) Aytaylik Х to`plam [0, ) nurdan iborat bo`lsin.  va , Х va (a,+) (a>0) ko`rinishdagi barsa nurlardan iborat bo`lsin. U xolda bu to`plamda 1)-3) aksiomalar bajariladi va (Х,) topologik fazoni strelka deb yuritiladi.
Ochiq to`plamlarning to`ldiruvchisi maxsus nomga ega bo`lib, uni yopiq to`plam deb yuritiladi, yani agar FХ to`plamning to`ldiruvchisi Х\F ochiq bo`lsa, F to`plamni yopiq to`plam deyiladi. Masalan, diskret fazoda barcha to`plamlar yopiq to`plamlardan iboratdir. Antidiskret fazoda esa fakat ikkita yopiq to`plam bor, yani  va Х.
Endi topologik struktura aksiomalaridan kelib chiqadigan yopiq to`plamlarning xossalarini sanab o`tamiz.
1. Yopiq to`plamlarning istalgan sonlagi kesishmasi yana yopiq to`plamdir.
2. Istalgan ikkita yopiq to`plamlarning birlashmasi yana yopiq to`plamdir.
3.  to`plam butun fazo yopiq to`plamdir.
Bu xossalarning isboti topologik struktura aksiomalaridan osongina kelib chiqadi.
Metrik fazo.
Faraz qilaylik Е - bo`sh bo`lmagan to`plam, R+ - nomanfiy xaqiqiy sonlar to`plamidan iborat bo`lsin.
Ta‘rif. Е to`plamda aniqlangan metrika deb, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi, yani
1) (х,у)=0  х=у;
2) (х,у)=(у,х), х,у Е dan olingan;
3) (x,y)+(y,z)  (x,z).
: ExE  R+ akslantirishga aytiladi.
Ta‘rif. Metrik fazo deb E to`plam va unda aniqlangan  akslantirishdan tashkil topgan to`plamga aytiladi va (Е,) ko`rinishda belgilanadi.
Е to`plamning elementlari nuqtalardan (х,у) nomanfiy son esa Х va У nuqtalar orasidagi masofa deyiladi.
1)-3) shartlar metrik fazoning aksiomalari deb yuritiladi.
Metrik fazoga misollar sifatida to`g`ri chiziq, tekislik va uch o`lchovli Yevklid fazosini keltirishimiz mumkin. to`g`ri chiziqning istalgan xam metrik fazo bo`la oladi.
Е to`plam sifatida barcha R xaqiqiy sonlar to`plamini olaylik. Agar  metrikani (x,y)=|x-y| ko`rinishda aniqlasak, bu to`g`ri chiziqdagi standart metrika deb yuritiladi. n - o`lchovli Yevklid fazosi, birinchi navbatda esa tekislik va oddiy uch o`lchovli fazo metrik fazoga yaqqol misol bo`la oladi.
Xar qanday metrik fazoning istalgan А to`plam ostisini mustakil metrik fazo deb qarash mumkin. Buning uchun ikki nuqta orasidagi masofa tushunchasini xuddi Е to`plamdagi kabi aniqlash kerak. Bunday metrika indutsirlangan metrika deyiladi va А to`plamni Е metrik fazoning osti deb yuritiladi.

Download 155.23 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling