Topologik fazo tushunchasi. Topologik fazo xossalari


Download 155.23 Kb.
bet4/7
Sana10.09.2022
Hajmi155.23 Kb.
#803977
1   2   3   4   5   6   7
Bog'liq
tapologik fazolar ko\'paytmasi

Ta‘rif. Agar (Х,) fazo quyidagi Borelp-Lebeg aksiomasini qanoatlantirsa, yani
Xar bir ochiq qoplama chekli sondagi qoplama ostidan iborat, yani agar X=UX bo`lsa, bu yerda Х, , u xolda shunday chekli sondagi 1,2,...,n indekslar mavjudki, ular uchun X=XUXU...UX bajarilsa, (Х,) fazoni kompakt fazo deyiladi.
Agar АХ bo`lib, (Х,) fazo kompakt bo`lsa, A to`plam kompakt to`plam bo`ladi.
Ta‘rif. Agar (Х,) topologik fazoning A va V to`plam ostilari В= ва А = shartlarni qanoatlantirsa ularni ajratilgan to`plam ostilar deyiladi.
Ta‘rif. Topologik fazodagi istalgan bog`liq ochiq to`plam soxa deyiladi.
Kompakt fazoga misollar.
Xar qanday antidiskret fazo kompaktdir.
Xar qanday chekli topologik fazo kompaktdir.
Chekli sondagi ochiq to`plamlarga ega bo`lgan xar qanday kompaktdir.
Cheksiz nuqtaga ega bo`lgan diskret fazo kompaktdir.
R sonlar to`g`ri chizig`i kompakt emas.
Agar Ап affin fазода R={0,e1,e2,...,en} реперни kiritsak, u xolda xar bir хАп nuqta Rn sonli fazoning iborat bo`lgan n tenglama tartiblangan х1, х2, ..., хп koordinatalarga ega bo`ladi. Demak, Ап affin fazoda R reperning berilishi f:AnRn akslantirishni aniqlaydi. Bu akslantirish esa gomeomorfizmdan iborat. Shunday qilib, Ап affin koordinat sistemaning berilishini, bu fazoni Rn sonli fazoga o`tkazuvchi gomeomorfizm deb qarash mumkin.
Aytaylik (Х,) ajraluvchan topologik fazo bo`lsin.
Ta‘rif. n - o`lchovli koordinat sistema yoki n - o`lchovli karta deb, X to`plamning qandaydir U ochiq tenglama ostisiga aytiladi. Bunda U ochiq to`plam ostisiga o`kazuvchi gomeomorfizmga aytiladi. Bunda U ochiq to`plam ostisini n - o`lchovli kartaning koordinat atrofi deyiladi.
Ta‘rif. n - o`lchovli topologik ko`pxillik deb, sanoqli bazaga ega bo`lgan bog`liq ajraluvchan n o`lchovli kartali koordinat atrofli Х= qoplamasi mavjud bo`lgan topologik fazoga aytiladi. Bu yerda U - n - o`lchovli kartaning koordinat atrofidan iborat.
n- o`lchovli topologik ko`pxillikni yoki qisqacha ko`pxillikni Хп орqали белгилаймиз.
Ko`pxillikka misollar keltiraylik.
1) Rn sonli fazo bog`liq, ajraluvchan sanoqli bazaga ega. n- o`lchovli karta sifatida Rn fazoning ayniy almashtirishini olamiz. Demak, Rn - topologik ko`pxillikdan iborat.
2) Е3 fazoda r radiusli s sferani olamiz. 0 koordinat boshini s sferaning markazi ga joylashtiramiz. Bu kartaning koordinat atrofi sferani to`la qoplaydi. Sfera Е3 Fazoda ikki o`lchovli ko`pxillikdan iborat.
Topologiyada o`lchovli chegarali ko`pxilliklar xam o`rganiladi.
Ta‘rif. n - o`lchovli chegarali ko`pxillik deb, sanoqli bazaga egi bo`lgan xar bir nuqtasining Rn yoki +Rn fazoga gomeomorf atrofi mavjud bo`lgan bog`liq ajraluvchan (Х,) topologik fazoga aytiladi.
Ta‘rif. Х ko`pxillikning chegarasi deb, atrofi +Rn fazoga gomeomorf bo`lgan lekin Rn ga gomeomorf bo`lmagan хХ nuqtalar to`plamiga aytiladi.
Misollar.
1) R sonlar to`g`ri chizig`ining [a,b] kesmasi bir o`lchovli chegarali ko`pxillikdan iborat;
2) Yevklid tekisligidagi yopiq V(a,r) doira ikki o`lchovli chegarali ko`pxillikdan iborat bo`lib, uning chegarasi s(a,r) aylanadan iborat.
Shuni eslatib o`tamizki, xar qanday chegarali ko`pxillik kompakt bo`lavermaydi. Masalan, affin fazodagi yarim tekislik kompakt emas.
Endi ko`pxillikning o`lchoviga to`xtalib o`tamiz. Shunday savolga javob beramiz: n - o`lchovli ko`pxillik bir vaqtning o`zida m - o`lchovli ko`pxillik (mn) bo`lishi mumkinmi?
Bu savolga yo`q deb javob beramiz. Shuning uchun ko`pxillikning o`lchovi uning topologik invariantidan iborat bo`ladi. Bu fikrning isboti uchun shu narsani etiborga olish kerakki, aks xolda biz ko`pxillikning biror nuqtasida xam Rm fazodagi ochiq to`plamga xam, Rn fazodagi ochiq to`plamga gomeomorf bo`lgan atrofini topgan bo`lar edik. Lekin bu narsa quyidagi teoremaning tasdig`iga asosan bo`lishi mumkin emas.
TEOREMA. Agar Rn Yevklid fazosidagi А va В o`zaro gomeomorf bo`lib, A to`plam ochiq bo`lsa, V to`plam xam ochiq bo`ladi.
NATIJA. Turli o`lchovli Yevklid fazolari gomeomorf emas, yani mn shartda Rm Rn.
Bu teorema Brauer teoremasi deb yuritiladi va n=0 da maonoga ega emas, n=1 da esa oson isbotlanadi.
Differentsial geometriyaning asosiy oboektlari chiziq bilan sirt ekanini ta`kidlab o`tdik va chiziq bilan sirtni tenglamalashda odatdagi analitik geometriya muloxazalaridan foydalandik. Chiziq tekislikda
F(x,y)=0 yoki x=(t), y=(t) (1)
Tenglamalar bilan fazoda
x=x(t), y=y(t), z=z(t) (2)
tenglamalar bilan sirt esa bitta tenglama
F(x,y,z)=0
bilan yoki uchta tenglama
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) (3)
bilan aniqlangan geoemetrik obraz sifatida ta‘riflanishini bilamiz.
Tegishli funktsiyalari uzluksiz va yetarli tartibda differentsiallanuvchi faraz qilib, ular bilan bemalol ish ko`rdik.
Biroq funktsiyalarga nisbatan qo`yilgan bu talablar sekin-asta vujudga kelgan. Aniqlik uchun chiziq olib, XIX asrning ikkinchi yarmida Jordan tomonidan berilgan ta‘rifni qaraylik.
"Chiziq" deb koordinatalari ushbu
x=(t), y=(t), 0  t  1 (4)
uzluksiz funktsiyalar bilan ifodalanuvchi tekislik nuqtalarining to`plamiga aytiladi.
Juda xam umumiy bo`lgan bu ta‘rifga javob beruvchi chiziqlar xili cheksiz ko`p bo`lib, ular orasida egri chiziq xaqidagi tasavvurimizga zid geometrik obrazlar xam bor. Masalan, chiziq o`z-o`zini cheksiz marta kesishi mumkin. Italiyalik matematik Peano 1890 yilda ushbu faktni isbotladi: 0t1 kesmada shunday uzluksiz (t), (t) funktsiyalar tanlash mumkinki, koordinatalari x=(t), y=(t) tenglamalarni qanoatlantiruvchi nuqtalar (yani kvadrat ichidagi, tomonlaridagi nuqtalar) kvadratni to`la to`kis to`ldiradi, boshqacha aytganda shu kvadratda xar qanday М(х,у) nuqtani olsak xam t ning shunday kiymati topiladiki, (0t1), bu qiymatlarda x=(t), y=(t) tenglamalar kanoatlanadi - chiziq kvadratning xamma nuqtalaridan o`tadi.
Geometriya tili bilan aytganda Peano chizig`i kvadrat ichiga to`g`ri chiziqning 0,1 kesmani bo`laklarga bo`lib, ko`rsatdik va bu kesmaning obrazi bo`lgan Peano chizig`ining bir qismini ko`rsatdik.
Matematikada to`plam deganda qandaydir elementlarning majmuasini tushunamiz. To`plam tushunchasi asosiy xisoblanib, unga ta‘rif berilmaydi. Misollar keltiraylik:
To`g`ri chiziqdagi nuqtalar to`plami;
Biror idishdagi molekulalar to`plami;
Kutubxonadagi kitoblar to`plami va boshqalar
Fazoda nuqtaviy M to`plam berilgan bo`lsin deylik. Bu to`plamning xar bir x nuqtaga fazoning qandaydir u nuqtasi mos keltirilgan bo`lsa, biz M to`plam fazoga akslangan deb ataymiz va bunday akslatishni f xarfi bilan belgilaymiz va mana bunday yozamiz (f(M)).
Fazoning f(x) nuqtasi х nuqtaning obrazi deyiladi. М to`plamdagi barcha nuqtalar obrazlaridan tuzilgan to`plam shu to`plamning obrazi deyiladi, uni f(M) shaklida ishoralaymiz.

Download 155.23 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling