Toshkent davlat texnika universiteti "oliy matematika" kafedrasi


-misol.   bir jinsli differensial tenglamaning umumiy  echimini toping.  Yechish


Download 0.66 Mb.
Pdf ko'rish
bet4/4
Sana02.04.2020
Hajmi0.66 Mb.
1   2   3   4

7-misol. 

 bir jinsli differensial tenglamaning umumiy 

echimini toping. 

Yechish. Tenglama bir jinsli differensial tenglama   bo‘lganidan uni quyidagicha 

yozamiz 


dx

dy

x

y

x

y



2

2



Bunda 

 almashtirish kiritib, uni differensiallab 

 va 

bularni berilgan tenglamaga qo‘yib, 



z

dx

dz

x

z

z



2

  



 yoki   

 

ko‘rinishdagi o‘zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilib, uning o‘zgaruvchilarini 



ajratib integrallaymiz 

2

dx



dz

x

z

 


 



bu erda 


x

y

z

  o‘rniga qo‘ysak, 



 berilgan tenglamaning umumiy echimini 

xosil qilamiz. 



8-misol. a)

x

e

y

y

6

18



6





 chiziqli bir jinsli bo‘lmagan differensial tenglamaning 



umumiy echimi topilsin. (Bunda 

6





Yechish. 

0

6







y

y

 bir jinsli tenglamaning xarakteristik tenglamasi 

2

6

0



k

k



 

va  uning  ildizlari   

6

,

0



2

1





k

k

    bo‘lib,  umumiy  echimi 



x

e

C

C

y

6

2



1



  ko‘rinishda 

bo‘ladi.  Bir  jinsli  bo‘lmagan  tenglamada 

2

6



k

 



  b¢lgani  uchun  xususiy  echimni 

x

Ae

x

y

6

*



  ko‘rinishda qidiramiz. U  holda 



*

y

  dan  birinchi va ikkinchi  tartibli hosila 

olib,  berilgan  tenglamaga  qo‘ysak, 

18

36



6

36

12







Ax

A

Ax

A

  bo‘lib,  undan 

3



A



 

ekanligi kelib chiqadi. Bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning umumiy echimi 



c



x

y

ln

2



1

1

ln



2

1

1



ln

2

1



2

2





0



2





dy

x

ydx

x

y

z

x

y



zdx

xdz

dy



0

2





xdz

dx

z

C

z

x



1

ln

C



y

x

x



ln

14 

 

.



3

6

6



2

1

*



x

x

xe

e

C

C

y

y

y





 

 

b) 



x

x

y

y

3

sin



2

3

cos



9





  chiziqli  bir  jinsli  bo‘lmagan  differensial 



tenglamaning umumiy echimi topilsin. (Bunda 

0,

3i







Yechish.  Bu  tenglamani  xarakteristik  tenglamasi 

0

9





y



y

  va  uning  ildizlari 

qo‘shma  kompleks  sonlar  bo‘lib,  ya’ni 

i

k

i

k

3

,



3

2

1





  va  bu  ildizlar  tenglamaning 

o‘ng tomoniga karralidir.Bunday holda bir jinsli tenglamaning umumiy echimi 



x

C

x

C

y

3

sin



3

cos


2

1





 

bo‘ladi. 

Bir 

jinsli 


bo‘lmagan 

tenglamaning 

xususiy 

echiminini 

esa 





x

B

x

A

x

y

3

sin



3

cos


*



  ko‘rinishda  qidiramiz.  U  holda 

*

y

  dan  birinchi  va 

ikkinchi tartibli hosila olamiz, 

           

 

x

Bx

x

Ax

x

B

x

A

y

3

cos



3

3

sin



3

3

sin



3

cos


*





 

           

 

x

Bx

x

Ax

x

B

x

A

x

B

x

A

y

3

sin



9

3

cos



9

3

cos



3

3

sin



3

3

cos



3

3

sin



3

*







 

Ularni berilgan tenglamaga qo‘ysak,  



 

 


x

x

y

y

3

sin



2

3

cos



9





 dan 


x

x

x

B

x

A

3

sin



2

3

cos



3

sin


6

3

cos



6



 



tenglikni  hosil  qilamiz,    bu  erdagi  A  va  V  o‘zgarmas  sonlarni  noaniq  koeffitsientlar 

usulidan foydalanib topamiz, ya’ni:  

















3

1

6



1

2

6



1

6

B



A

B

A

 

Bir jinsli bo‘lmagan tenglamaning umumiy echimi 













x



x

x

x

C

x

C

y

y

y

3

sin



3

1

3



cos

6

1



3

sin


3

cos


2

1

*





Download 0.66 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling