Туплам доз ирги кунда математиканинг энг умумий ва шу билан бирга энг бошлангич тушунчаларидан биридир. Математикада туплам деганда нарсаларнинг, вддисаларнинг ихтиёрий мажмуи (синфи, бирлашмаси) тушунилади

Туплам доз ирги кунда математиканинг энг умумий ва шу билан бирга энг бошлангич тушунчаларидан биридир. Математикада туплам деганда нарсаларнинг, вддисаларнинг ихтиёрий мажмуи (синфи, бирлашмаси) тушунилади. Тупламни ташкил этувчи нарсалар, додисалар унинг элементлари деб аталади. Купинча тупламнинг элементлари узларининг бир ёки бир нечта хосса ва белгилари билан тупламга кирмаган нарсалардан, додисалардан ажралиб туради. Тупламга кирувчи барча элементлар турли х^собланади, яъни унда айнан бир хил элементлар булмайди. Одатда тупламларни катта лотин ^арфлари билан, уларнинг элементларини эса кичик лотин ^арфлари билан белгиланади. Тупламларга мисоллар: 1) Ер юзидаги барча одамлар туплами; 2) Ер юзидаги барча давлатлар туплами; 3) Ушбу 1, 2, 3, 4 сонлардан иборат туплам; элементлари бу усулда бирин-кетин таърифлаб берилган тупламларни куйидагича белгилаш кабул килинган: {1, 2, 3, 4}; 4) Nn = {1, 2, п) — 1 дан п сонигача булган натурал сонлар туплами; 5) N = {1, 2, 3, ...} — барча натурал сонлар туплами; 6) Z — барча бутун сонлар туплами; 7) Q — барча рационал сонлар туплами; 8) R — барча ^акик^й сонлар туплами. Бундан кейин х,ам JV, N, Z, Q, R белгиларни худди шу тупламлар учун ишлатамиз. www.ziyouz.com kutubxonasi Кулайлик учун бирорта х;ам элементга эга булмаган туплам хам курилади. Уни буш туплам деб аталади ва 0 билан белгиланади. Ушбу х G А ёзув билан х элемент А тупламнинг элементи эканлиги белгиланади; бу холда х элемент А тупламга тегишли (А тупламда ётади) дейилади. Акс хол яъни х элементнинг А тупламга тегишли эмаслиги х G А билан белгиланади. Таъриф. Агар А тупламнинг %ар бир элементи В тупламга хам тегишли булса, А туплам В тупламнинг цисм туплами (цисми) дейилади ва А С В ёки В О А билан белгиланади. Бу холда В туплам А тупламдан катта ёки тенг, А туплам эса В тупламдан кичик ёки тенг хам дейилади. Ушбу "С" ва белгилар эса тупламлар орасидаги тенгсизлик муносабати дейилади. Масалан, юцоридаги мисолимизда N туплам Z тупламнинг цисм туплами, N С Z. Бу таърифдан бевосита куйидаги хоссалар келиб чицади: 1) Буш туплам хар цандай А тупламнинг цисм тупламидир, яъни 0 С А\ 2) Хар цандай А туплам учун А С А (тенгсизликнинг рефлексивлик хоссаси); 3) Агар А С В ва В С С булса, у холда А С С (тенгсизликнинг транзитивлик хоссаси). Агар А С В булса, купинча А нинг элементлари В нинг А га кирмаган элементларидан бир ёки бир нечта хоссалар билан ажралиб туради. Бундай цисм тупламларни куйидагича белгилаймиз: А = {х G В \ х Е А н к белгилайдиган хоссалар }. Масалан, А = {п G N | п сони 3 га булинганда цолдиц 1}, яъни А туплам биринчи хади 1 ва айирмаси 3 булган арифметик прогрессия хадларидан иборат. Таъриф. Агар А С В ва В С А булса, А ва В тупламлар тенг дейилади ва А = В билан белгиланади. Акс хол, яъни А ва В тупламларнинг тенгмаслиги А * В билан белгиланади. www.ziyouz.com kutubxonasi Бу таърифдан тенглик муносабатининг куйидаги хоссалари бевосита келиб чикдди: 1) Хар к,андай А туплам учун А = А (тенгликнинг рефлексивлик хоссаси); 2)Агар А = В булса, у холда В = А (тенгликнинг симметриклик хоссаси); 3) Агар А = В ва В = С булса, у холда А = С (тенгликнинг транзитивлик хоссаси). Агар А ва В тупламлар учун А с В ва А В уринли булса, буни к,иск,ача А С В билан белгилаймиз. Ушбу "С" ва "Э" белгилар тупламлар орасидаги цатъий тенгсизлик муносабати дейилади. Ушбу А С В муносабатнинг маъноси шундан иборатки, А нинг хар бир элементи В га тегишли, аммо В нинг А га тегишли булмаган элементлари мавжуд. Масалан, юкррида келтирилган тупламлар учун NnG N c Z c Q c R . Равшанки, агар А С В ва В С С булса, А С С (к,атьий тенгсизликнинг транзитивлик хоссаси). Шуни айтиш керакки, А С В ва В С А шартлар бир вак,тда уринли эмас. Буш булмаган хар цандай А туплам иккита турли кдсм тупламга эга: 0 , А; бу к,исм тупламлар хосмас кдсм тупламлар дейилади. Бошк;а (яъни 0 С В С А шартни к;аноатлантирувчи) к;исм тупламлар хос кдсм тупламлар дейилади. Буш туплам ва битта элементдан иборат туплам хос кдсм тупламларга эга эмас. Элементларининг уз и хам туплам булган тупламлар куп учрайди. Улар тупламлар тизими дейилади. Масалан А туплам текисликдаги барча тугри чизикдардан иборат туплам булсин. Бу мисолда А тупламнинг элементи — тугри чизик^шнг узи — туплам булиб, бу туплам шу тугри чизикда ётувчи барча нук^алардан иборат. Бу ерда тугри чизик^инг узи А тупламга кирадию, аммо ундаги нук^аларнинг бирортаси хам А тупламнинг элементи эмас. Тупламлар тизими элементларини баъзан катта лотин Харфлари билан белгиланади. www.ziyouz.com kutubxonasi 2-§. ТУПЛАМЛАР АЛГЕБРАСИ Тупламлар устида бир нечта амаллар бажариб, бу амалларнинг хоссаларини урганамиз. А ва В — ихтиёрий тупламлар булсин. Бу иккита тупламдан иборат {А, В} тупламлар тизимини к;араймиз. Агар с Е А ва с G В шартларнинг иккаласи хам уринли булса, бундай с элемент А ва В тупламларнинг ({А, В) тизимнинг) умумий элементи дейилади. Таъриф.ЛваБ тупламларнинг барча умумий элементларидан тузилган туплам А ва В тупламларнинг кесишмаси (баъзан купайтмаси, умумий кисми) дейилади ва А П В билан белгиланади. ' Масалан, А ={0, 1, 2, 3} ва В ={1, 3, 5, 7} б^лса, у холда А П В={\, 3}. Кесишма амали таърифидан куйидаги хоссаларнинг Уринлилиги бевосита келиб чикади: aj) Хар к^ндайЛ туплам учунЛ ПА = А , А П 0 = 0П А = 0 . а2) Хар кандай А ва В тупламлар учун А П В =В П А (коммутативлик хоссаси). а3) Хар кандай А, В, С тупламлар учун (А П В) П С = = А П (В П Q (ассоциативлик хоссаси). а4) Хар кандай А ва В тупламлар учун А 2 А (1 В ва В D А Л В. а5) Агар А, В, С тупламлар учун А □ С ва В □ С булса, у холда А П В □ С. Агар А ва В тупламларнинг кесишмаси буш туплам, яъни А Л В = 0 булса, улар кесишмайдиган тупламлар дейилади. Агар х элемент учун х е А ва х G В шартларнинг камида бири уринли булса, бундай элемент {А, В) тизимга тегишли дейилади. Т а ъ р и ф. {А, В) тизимга тегишли булган барча элементлардан тузилган туплам А ва В тупламларнинг бирлашмаси (баъзан, йитндиси) дейилади ва A U В билан белгиланади. Масалан, агар А = {0, 1, 2, 3} ва В = {1, 3, 5, 7} булса, у холда A U В = {0, 1, 2, 3, 5, 7}. www.ziyouz.com kutubxonasi Бирлашма /амали таърифидан куйидаги хоссаларнинг уринлилиги бевосита келиб чицади: bj) Хар цандай А туплам учун A U A =А, A U 0 = 0 U А = А. Ь2) Хар цандай А ва В тупламлар учун A U В = В U А (коммутативлик хоссаси). Ь3) Хар цандай А, В, С тупламлар учун (A U В ) U С = А U (В U С) (ассоциативлик хоссаси). Ь4) Хар кдндай А ва В тупламлар учун А С A U В ва В С A U В.' Ь5) Агар А, В, С тупламлар учун А С С ва В С С булса, у холда A U В С С. Хар цандай А, В, С тупламлар учун кесишма ва бирлашма амалларини узаро бошайдиган цуйидаги айниятлар (дистрибутивлик хоссалари) уринли: с,) A U (В П С) = (A U В ) П (A U С). с2) А П (В U С) = (А П В ) U (A U С). Буларнинг биринчисини исботлаймиз. Бунинг учун A U ( B n Q C ( A U B ) n ( A U С)ваА1> (В П C ) D ( A U B ) П (A U С) муносабатларнинг иккаласи хам уринлилигини курсатиш кифоя. Юцоридаги (Ь4) хоссага кура А С A U В ва А С A U С. Бундан а5) хоссага асосан А С (A U В ) П (A U С). Юцоридаги а4) ва Ь4) хоссаларга асосан В Г\ С Q В С A U Вв а В П С С С С A U С. Бундан а5) муносабатга кура В П С С (A U В) П (A U С). Натижада Ь5) хоссага асосан A U (В П С) С (A U В) П (A U С). Энди A U (В Г \ С ) 3 (А 1 ) В ) П (А П С ) муносабатни исботлаймиз. Фараз цилайлик, х Е (A U B ) D (A U С). У Холда х Е А и В в а х Е А и С. Бу ерда икки хол булиши мумкин: 1) х Е А; 2) х Е А. Биринчи холда х Е А дан х Е A U (В П Q муносабат келиб чицади. Иккинчи холда х Е А, х Е A U В, х Е A U С муносабатлардан х Е В ва х Е С эканлиги, яъни х Е В Г\ С келиб чицади. Бундан х Е A U (В П С). Демак иккала холда хам хЕ А U (2?П С). Бу ерда х элементнинг ихтиёрийлигидан (A U В) П (A U С ) С A U (В П С) муносабатни оламиз. Шу билан с,) хосса исботланди. www.ziyouz.com kutubxonasi Иккинчи айниятнинг исботи биринчининг исботига ухшаш; уни исботлашни укувчига х,авола циламиз. Т а ъ р и ф. А тупламнинг В тупламга кирмаган элементларидан иборат туплам А ва В тупламларнинг айирмаси (баьзан В нинг А даги тулдирувчиси) дейилади ва А\В билан белгиланади. Масалан, агар А = {0, 1, 2, 3} ва В = {1, 3, 5, 7} булса, у хрлца А\В = {0, 2} ва В\А = {5, 7}. Бу мисолдан куринадики, тупламларни айириш амали учун коммутативлик хоссаси х;ар цандай А ва„# тупламлар учун уринли эмас. Бу амал учун ассоциативлик хоссаси х;ам уринли эмас. Бунга мос мисол топишни укувчига ^ в о ­ ла к,иламиз.