u holda (1) tenglik (2)

Faraz qilaylik tenglikda  nol vektor bo’lsin, ya’ni

.                              (1)

U holda (1) tenglik

                                                                                 (2)

bir jinsli tenglamalar sistemasiga teng kuchli bo’ladi. Bir jinsli tenglamalar sistemasi hama vaqt birgalikda va u agar birgalikda aniq bo’lsa, ya’ni aynan nol yechimga ega bo’lsa, (1) tenglik  bo’lganda o’rinli va agar (2) tenglamalar sistemasibirgalikda aniqmas bo’lsa, ya’ni uning nollardan boshqa nol bo’lmagan yechimlari ham mavjud bo’lib, bu yechimlar uchun (1) tenglik o’rinli bo’ladi.

          arifmetik fazoda vektorlar orasidagi chiziqli munosibatlarni o’rganish muhim ahamiyatga egadir.

         TA’RIF 1.  vektorlar sistemasiga chiziqli bog’lanmagan (erkli) vektorlar sistemasi deyiladi, agar (1) tenglik  lar aynan   bo’lganda o’rinli bo’lsa, agarda (1) tenglik  larning kamida bittasi noldan farqli bo’lgan  uchun o’rinli bo’lsa, u holda birinchi vektorlar sistemasiga ziziqli bog’langan (erksiz) vektorlar sistemasi deyiladi. Shuni ta’kidlaymizki  vektor chiziqli erkli bo’ladi, chunki  dan  bo’ladi.

         Bizga endi  maydonda  arifmetik fazo berilgan bo’lsin. U holda quyidagi teorema o’rinli.

         TEOREMA 2.  Agar  vektorla sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda vektorlar sistemasining bizlar bir vektor qolganlarining chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi.

         Isbot. Faraz qilaylik  

Tenglik  da o’rinli bo’lsin. U holda  bo’lib, bundan

tenglik hosil bo’ladi va demak  vekior vektorlar sistemasidagi qolgan vektorlarning chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi.

         Bu teoremadan quyidagi natijani olamiz:

         NATIJA 3.  Agar  vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’lsa, u holda vektorlar sistemasidagi birontasi ham vektor qolganlarini chiziqli kombinasiyalaridan iborat bo’ladi.

         Bu muhim tushunchani boshqa formasini ko’rsatishimiz mumkin, ya’ni agar  vektorlar sistemasi biror vektor qolganlarini chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lsa, u holda bergar vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi. Haqiqatdan, agar masalan  qolgan vektorlarni chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’lsa, ya’ni

tenglik qandaydir  lar uchun o’rinli bo’lsa, u holda  

tenglik  noldan farqli element o’rinli va demak berilgan vektorlar sistemasi chizivli bog’langan.

         Keltirilgan ta’rif va tasdiqlardan biz quyidagilarni aytib o’tamiz: noldan farqli har qanday vektor chiziqli, nol vektorni o’zi chiziqli bog’langan va umuman vektorlar sistemasida hyech bo’lmaganda bita vektor nol vektor bo’lsa, sistema chiziqli bog’langan va agarda ikkita  va  vektorlar proporsional bo’lsa, ya’ni  dan  tenglik o’rinli bo’lsa  va  vektorlar chiziqli bog’langan va umuman vektorlarsistemasida qandaydir ikkita vektorlari proporsional bo’lsa, vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan. Shuni ta’kidlaymizki vektorlarning proporsionalligi chiziqli kombinasiya tushunchasini xususiy holidir.

Bundan tashqari agar vektorlar sistemasining biror qism vektorlar sistemasi chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda vektorlar sistemasining o’zi ham chiziqli bladi (tekshiring!) va aksincha vektorlar sistemasi erkli bo’lsa, u holda uning istalgan qism vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’ladi. Umuman, agar vektorlar sistemasining istalgan qism vektor sistemasi chiziqli erkli bo’lsa, u holda shu vektorlar sistema ham chiziqli erkli bo’ladi.

Endi quyidagi teoremani keltiramiz:

TEOREMA 4. Agar  sistemasi chiziqli erkli bo’lib, qandaydir noldan farqli  vektor uchun  vektorlar chiziqli bog’langan bo’lsa, u holda  vektor yagona ravishda  vektorlarsistemasini chiziqli kombinasiyasidan iborat bo’ladi.

Bu teoremani isbotini o’quvchining ixtiyoriga havola qilamiz.

Endi bizga ort deb ataluvchi

vektorlar sistemasi berilgan bo’lsin. U holda bu vektorlar chiziqli bog’lanmagan, chunki

bo’ladi va  uchun  ta vektorlar sistemasi chiziqli bog’langandir, chunki  vektor uchun  tenglik o’rinlidir.

         Bu keltirilgan misolga qarib biz umuman  vektorlar sistemasining soni  bo’lsa, ular chiziqli bog’langan bo’ladi deb ayta olamiz.

O’z navbatida keltirilgan misol va undan kelib chiqqan xulosaga qarab, biz  arifmetik fazoda eng ko’pi bilan  ta vektorlar sistemasi chiziqli erkli ekanligini va bunga asosan  ga  o’lchamli fazo o’rniga t o’lchovli fazo ham deb ataymiz.